POLITECHNIKA WROCŁAWSKA
Wydział: Inżynieria Środowiska
Kierunek: Inżynieria Środowiska
ĆW. 4.
WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
KRZYSZTOF SIEROŃ
GRUPA IV
ROK II
1. TEORIA:
1.1. Celem ćwiczenia było wyznaczenie modułu sztywności przez pomiar okresu sprężystych drgań obrotowych wahadła torsyjnego oraz zapoznanie się z pojęciem sprężystości ciał, ich naprężeniami i odkształceniami.
1.2. Sprężystość ciał stałych i siły międzycząsteczkowe:
Ciało nazywamy sprężystym, jeśli odkształcenia wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił. Ciała stałe występują zazwyczaj w postaci sieci krystalicznej, a stan w jakim się znajdują jest stanem równowagi stałej, wynikającym z faktu, iż na cząstki ciała stałego działają siły odziaływania międzycząsteczkowego - przyciągania oraz odpychania. Przy pewnej odległości wzajemnej cząstek siły te równoważą się, tworząc stan równowagi.
Jeśli pręt zaczniemy rozciągać siłą działającą wzdłuż jego osi, to spowoduje to wydłużenie pręta. Wzrost odległości między cząsteczkami pręta spowoduje spadek sił odpychania, a wzrost sił przyciągania międzycząsteczkowego. Powstaje wypadkowa siła przeciwdziałająca sile zewnętrznej. Przyrost długości ustanie w momencie zrównoważenia obu tych sił. Jeśli siłę zewnętrzną usuniemy, to pod wpływem wewnętrznej siły cząstki ciała stałego będą zbliżać się do siebie, aż do zrównoważenia sił. Jeżeli cząstki powrócą do początkowych położeń, to odkształcenie było sprężyste, jeżeli odkształcenie nie zaniknie całkowicie to pozostałą część odkształcenia nazywamy plastycznym. Gdy naprężenia wywołane siłą zewnętrzną przekroczą granicę wytrzymałości, to pręt ulegnie przerwaniu.
1.3. Prawo Hooke'a.
Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.
, gdzie E - moduł Younga
G - moduł sztywności
1.4. Moduł sztywności:
Jeżeli na ciało działa moment sił zewnętrznych, to reakcją będzie powstanie momentu wewnętrznego, który przeciwdziała momentowi zawnętrznemu. Co do wartości, moment sił wewnętrznych wynosi:
M =
Doświadczalnie, za pomocą wahadła torsyjnego, moduł sztywności można obliczyć ze wzoru:
, gdzie m - masa dodatkowej tarczy
D - średnica tarczy
l - długość drutu
d - średnica drutu
t1,t2 - czasy 100 „wahnięć” tarczy
2. WARTOŚCI MIERZONE:
|
di [m] |
Δdi [m] |
Di [m] |
ΔDi [m] |
t1i [s] |
Δt1i [s] |
t2i [s] |
Δt2i [s] |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
0.000580 0.000580 0.000570 0.000580 0.000570 0.000570 0.000580 0.000580 0.000570 0.000570 |
-0.000005 -0.000005 0.000005 -0.000005 0.000005 0.000005 -0.000005 -0.000005 0.000005 0.000005 |
0.1398 0.1398 0.1398 0.1398 0.1398 0.1398 0.1398 0.1398 0.1398 0.1398 |
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 |
940.670 940.855 940.725
|
0.080 -0.105 0.025 |
784.446 784.255 784.292 |
-0.115 0.076 0.039 |
średnie |
0.000575 |
σdi=2.7 10-11 |
0.1398 |
0.00 |
940.75 |
T = 0.013 |
784.331 |
T = 0.015 |
wyniki |
d= 0.000575 ± 2.7 10-11 |
D = 0.1398 ± 0.00 |
t1 = 940.75 ± 0.013 |
t2 = 784.331 ± 0.015 |
||||
gdzie T = tn,α σt , tn,α = 4.3
d - średnica drutu
D - średnica tarczy dodatkowej
t1 - czas dla wahadła z tarczą dodatkową
t2 - czas dla wahadła bez tarczy
L.p. |
l [m] |
Δl [m] |
m [kg] |
Δm [kg] |
G [N/m2] |
ΔG [N/m2] |
ε [%] |
wartości |
0.635 |
0.001 |
0.376 |
0.0001 |
8.0*1010 |
1.616*108 |
0.202 |
wyniki |
l = 0.635 ± 0.001 m |
m = 0.376 ± 0.0001 kg |
G= 8.0 *1010 ± 1.616*108 |
||||
gdzie l - długość drutu
m - masa tarczy dodatkowej
3. PRZYKŁADOWE OBLICZENIA:
3.1. Średnia wartość:
d =
3.2. Odchylenie standardowe średniej:
σdi = 2.7 *10-11
3.3. Moduł sztywności:
G = 8.0 * 1010 N/m2
3.4. Obliczanie błędu bezwzględnego, logarytmując i różniczkując wzór na moduł sztywności:
lnG = ln m + 2ln D + ln l - 4 ln d - ln a , gdzie a =(t12 - t22)
Δa = 2Δt(t1 + t2) Δt1 = Δt2 = Δt
Δa/a = (2 Δt)/(t1 - t2)
3.5. Błąd bezwzględny wynosi:
ΔG = 1.616* 10 8
3.6. Błąd względny wynosi:
ε = ΔG/G * 100%=0.202%
4. WNIOSKI:
Wartość obliczonego modułu sztywności wynosi 8.0 * 10 10 i zbliżona jest do rzeczywistej wartości modułu sztywności dla stali. Na wartość wyniku miało wpływ kilka błędów cząstkowych, a mianowicie:
- błąd pomiaru masy oraz średnicy dodatkowej tarczy
- błąd pomiaru długości oraz średnicy drutu wahadła torsyjnego
- błąd urządzenia mierzącego czas 100 „wahnięć”
Wartość modułu sztywności jest duża, więc błąd bezwzględny jest również duży, natomiast błąd względny jest stosunkowo mały na warunki i potrzeby doświadczenia.