BAZA ORTONORMALNA

Rozwiązanie

Forma kwadratowa 

ma następującą macierz względem bazy kanonicznej: 

Baza ortonormalna, w której forma 
 ma postać kanoniczną, będzie złożona z wersorów własnych macierzy 
. Obliczmy zatem jej wartości własne. 

Wartościami własnymi macierzy 
 są zatem liczby 

Szukamy wektorów własnych odpowiadających pierwszej wartości własnej 
 rozwiązując układ równań liniowych: 

Łatwo wyliczyć, że wszystkie wektory własne dla 
 są postaci 

Wybierzmy jeden z nich, np. 

Szukamy bazy ortonormalnej, więc musimy znormalizować wektor 
, tzn. podzielić jego współrzędne przez jego normę 
 tak, by otrzymać wersor, czyli wektor o normie równej 1. Obliczamy 

Pierwszym wektorem szukanej bazy jest wektor o współrzędnych 

Podobnie znajdujemy wektor własny odpowiadający wartości własnej 
, rozwiązując ukąld równań 

i wybierając jedno z rozwiązań, np. 

Po normalizacji otrzymujemy drugi wektor o współrzędnych 

W bazie złożonej z tych dwóch wektorów forma kwadratowa 
 ma postać kanoniczną