Marek Kopyto

Nr indeksu : 94597

Wprowadzenie do systemów telekomunikacyjnych

Seminarium rok 2000/2001

Zadanie 1/7

1) Treść zadania:

Znaleźć transformaty Fouriera, wykorzystując jej własności, następujących funkcji:

a) f{t}

A

-2 -1 1 2

t

A/2

rys.1

b) g(t)

A

t

-2 0 1

rys.2

c)

h(t)

A

cos t

- π/2 π/2

rys.3

2) Wprowadzenie teoretyczne:

Ciągła transformata Fouriera jest przekształceniem całkowym opisanym wzorem:

gdzie: f(t) - sygnał, którego transformatę wyznaczamy

ω - pulsacja sygnału

Własności ciągłej transformaty Fouriera:

1. liniowość

F{a*f(t) + b*h(t)}= a*F{f(t)} + b*F{h(t)}

2. transformata pochodnej funkcji:

)

3. przesunięcie w czasie:

F{f(t-t_o) = e^-jωt_o *F{f(t)}

4. splot funkcji:

3) Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia transformat podanych wyżej przebiegów skorzystam z własności liniowości oraz transformaty pochodnej funkcji

a) Różniczkując sygnał podany na rys.1 otrzymuję następujący przebieg

A f `(t)

-2 -1,5 0 1,5 2 t

-A

Sygnałowi przedstawionemu na rysunku odpowiada transformata F{jω}*jω, gdzie F{jω} transformata sygnału f(t).

Różniczkując drugi raz otrzymujemy

2Aδ(t +1,5 ) f`(t) 2Aδ(t - 1,5 )

2A

-2 -1,5 0 1,5 2

t

-A

-Aδ(t +2 ) -Aδ(t - 2)

-2A -2Aδ(t)

Z kolei temu sygnałowi odpowiada transformata -ω² F(jω).

Czyli:

Korzystając również z faktu, że:

F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, możemy napisać :

b) Podobnie postępując jak w przykładzie a) z sygnałem przedstawionym na rys. 2 otrzymujemy:

g `(t)

A/2

-2 0 1 t

-A

Sygnałowi temu odpowiada transformata jωF{g(t)) gdzie g(t) sygnał przedstawiony na rys.2.

Różniczkując po raz drugi otrzymujemy:

g ``(t)

Aδ(t - 1)

0,5Aδ(t + 2)

-2 0 1 t

-1,5 Aδ(t)

Z kolei temu sygnałowi odpowiada transformata -ω² F(jω).

Czyli:

Korzystając również z faktu, że:

F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, możemy napisać :

c) Różniczkując sygnał przedstawiony na rys.3 otrzymujemy:

h`(t)

A

-Asint

π/2

-π/2 0 t

-A

Sygnałowi temu odpowiada transformata jωF{h(t)) gdzie h(t) sygnał przedstawiony na rys.3.

Różniczkując po raz drugi otrzymujemy:

g``(t)

A Aδ(t + π/2 ) Aδ(t - π/2 )

-π/2 π/2 t

-Acost

-A

Sygnał ten możemy zapisać:

Ponieważ:

to:

Korzystając również z faktu, że:

F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, transformacie pochodnej funkcji oraz własności liniowości możemy napisać :

Ponieważ:

to

4)Wnioski:

Ciągła transformata Fouriera jest typem analizy widmowej.

Stosując różniczkowanie oraz korzystając z innych podstawowych własności tej transformacji można dosyć szybko i skutecznie określić widmo amplitudowe oraz fazowe badanego sygnału. Przy czym widmo amplitudowe jest modułem z transformaty Fouriera, a widmo fazowe argumentem tej transformaty.

3