9. Ruch harmoniczny

W poprzednich rozdziałach poznaliśmy dwa rodzaje ruchu wynikające ze stałości (ruch postępowy) lub zmienności (ruch obrotowy) orientacji ciała w przestrzeni. Teraz zajmiemy się ruchem drgającym (drganiami) charakteryzującym się powtarzalnością położenia ciała w czasie. Szczególnym przypadkiem ruchu drgającego są drgania periodyczne charakte-ryzujące się powtarzalnością położenia w równych odstępach czasu (okres T).

s(t) = s(t+T)

5a. Kinematyka ruchu harmonicznego

Bardziej szczególnym przypadkiem jest z kolei ruch harmoniczny (drgania harmoniczne), w którym położenie ciała opisane jest przy pomocy funkcji sinus lub cosinus.

W równaniach tych x oznacza wychylenie z położenia równowagi trwałej, A amplitudę czyli maksymalne wychylenie z położenia równowagi trwałej, nawias nazywamy fazą Φ=ωt+ϕ, a prędkość kątowa ω=2π/T=2πf.

Rys. 34 Drgania harmoniczne

Rysunek 34 przedstawia koralik z masą m zamocowany dwoma sprężynami i wykonujący poziome drgania harmoniczne.

Podstawową własnością ruchu harmonicznego jest fakt, że na ciało wychylone z położenia równowagi trwałej działa siła o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia, w tym samym kierunku i o przeciwnym zwrocie.

Biorąc pod uwagę, że F=ma zapiszemy powyższy związek w postaci równania różniczkowego:

,

którego rozwiązaniem jest równanie
. Obliczenie drugiej pochodnej tego równania i wstawienie jej do równania różniczkowego umożliwia powiązanie współczynnika „k” z masą i prędkością kątową.

Wykorzystując wzór ω=2/T otrzymujemy:

,

lub:

.

Ostatni wzór jest godny zapamiętania gdyż wiele problemów z zakresu tej tematyki sprowadza się do wyznaczenia współczynnika „k” co umożliwia wyliczenie okresu drgań takiego ruchu. Przykładem takiego ruchu może być ruch ciała wrzuconego do tunelu (rysunek 35) wydrążonego w Ziemi wzdłuż jego średnicy (zakładając kulisty kształt Ziemi i stałość gęstości masy).

Rys.35. Ruch w tunelu w Ziemi

Wykorzystując prawo Gaussa obliczymy siłę działającą na ciało o masie m^* będące w odległości r od środka Ziemi.

Ponieważ „m” oznacza masę Ziemi w kuli o promieniu „r” to

,

a po wstawieniu tego związku do poprzedniego wzoru otrzymamy:

.

Oznacza to, że otrzymaliśmy wzór na wartość siły harmonicznej (przeciwnej do wychylenia liczonego od środka Ziemi). Stała stojąca przed r pełni rolę współczynnika k i może służyć do wyznaczenia okresu ruchu.

1. Przemiany energii w ruchu harmonicznym

W rozdziale 5.1 wyliczono wzór na prędkość ciała w ruchu harmonicznym. Po wstawieniu go do wzoru na energię kinetyczną otrzymujemy:

.

Obliczmy teraz energię potencjalną powstałą wskutek pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną równoważącą siłę harmoniczną (jako pole powierzchni pod wykresem F(x) - rysunek 36).

Rys.36. Energia potencjalna w ruchu harmonicznym

Wartość energii potencjalnej będzie równa wartości pola powierzchni zaznaczonego trójkąta:

.

Wstawiając podany wyżej wzór na wychylenie x otrzymujemy:

.

Całkowita energia mechaniczna w ruchu harmonicznym nie tłumionym (bez oporów) będzie równa:

.

W ostatniej linijce wykorzystaliśmy jedynkę trygonometryczną i uzyskaliśmy związek, z którego wynika, że energia mechaniczna w tym ruchu jest stała i równa maksymalnej energii kinetycznej lub maksymalnej energii potencjalnej. W ruchu tym mamy więc, podobnie jak w rzucie pionowym do góry przemiany energii kinetycznej w potencjalną i odwrotnie (rysunek 37).

Rys. 37. Przemiany energii w ruchu harmonicznym

---