FUNKCJA KWADRATOWA

Należy powtórzyć:

• postać ogólna, iloczynowa i kanoniczna trójmianu kwadratowego;

• równania i nierówności kwadratowe;

• wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;

• zastosowanie współrzędnych wierzchołka paraboli w zadaniach optymalizacyjnych;

• wzory viete'a;

• równania i nierówności kwadratowe z parametrem.

1. Rozwiąż równania:

a) 4x² - 5x + 1 = 0 b) 2x² + 4 x + 1 = 0 c) 3x² - 2x + 4 = 0.

2. Rozwiąż nierówności:

a)
b) x² - 2x + 1 < 0 c) x² + 4x + 5 > 0 .

3. Naszkicuj wykres funkcji :

a) f(x)=4x² - 5x + 1 b) f(x)=2x² + 4 x + 1 c) f(x)=3x² - 2x + 4 .

4. Trójmian f(x) = - x² - 5x + 6 przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej.

5. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że ma ona dwa różne miejsca zerowe , których suma równa jest 2, a iloczyn - 2. Czy istnieje tylko jedna taka funkcja?

6. Wyznacz równanie stycznej do paraboli
   przecinającej oś OX pod kątem
   .

7. Określ znaki współczynników a, b, c funkcji
   , której wykres przedstawiono na rysunku:

8. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, która przyjmuje wartość najmniejszą równą 2 dla x = 1, i której wykres przechodzi przez punkt (- 1, 3).

9. Wyznacz wartość największą i wartość najmniejszą funkcji f(x)= - 2x² + 4x - 3 w przedziale
   .

10. Dany jest prostokąt o obwodzie L oraz szerokości b .Naszkicuj wykres funkcji P(b) pola prostokąta od jego szerokości. Dla jakiej wartości b pole to jest największe?

11. Dane jest równanie ax²+bx+c=0, gdzie x჎R. Podaj warunki na to, by równanie to miało: a) jeden pierwiastek b) dwa różne pierwiastki c) dwa różne pierwiastki dodatnie d) dwa różne pierwiastki ujemne e) dwa pierwiastki różnych znaków?

12. Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby pierwiastków równania
    w zależności od wartości parametru m.

13. Dla jakich wartości parametru p równanie x²+(3p-2)x+2p²-5p-3=0 a)ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie; b)ma dwa dodatnie pierwiastki rzeczywiste?

14. Dane jest równanie ax²+bx+c=0, gdzie x჎R. Podaj warunki na to, by równanie to miało dwa różne pierwiastki ujemne.

15. Dana jest nierówność ax²+bx+cႳ0. Podaj warunki, żeby zbiorem rozwiązań nierówności był cały zbiór liczb rzeczywistych.

16. Dla jakich wartości parametru m równanie mx²-(m-3)x+1=0 ma dwa różne rozwiązania dodatnie, których suma jest nie większa od 1?

17. Dla jakich wartości parametru p równanie -x²+(p-2)x-p²+6p-8=0 a) ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału
    b)ma dwa pierwiastki różnych znaków takie, że ich suma nie należy do przedziału (-1 ½ ; 1 ½)?

18. Dana jest funkcja f(x)= ax²+bx+c. Podaj warunki, żeby zbiorem wartości funkcji był przedział ს0;+Ⴅ).

19. Dana jest nierówność ax²+bx+cႣ0. Podaj warunki, żeby zbiorem rozwiązań nierówności był cały zbiór liczb rzeczywistych.

20. Dana jest funkcja f(x)=ax²+bx+c. Podaj warunki, żeby zbiorem wartości funkcji był przedział (-Ⴅ;0ჱ.

2