Estymacja Punktowa i Przedziałowa

Proszę listę z zadaniami wydrukować i przynieść na zajęcia.

Zad.1 W celu polepszenia jakości reklam lokalna stacja radiowa chce określić przeciętny wiek swoich słuchaczy. Wybrano losowo 150 słuchaczy i otrzymano średnią wieku równą 38,6 lat oraz wariancję z próby równą 25 lat ². Oszacować metodą przedziałową przeciętny wiek wszystkich słuchaczy (współczynnik ufności 0,94).

Zad.2 Rozkład opłat za mieszanie w pewnym mieście można uznać za normalny N(μ, 122). Badanie 100 gospodarstw wykazało, że średnie miesięczne opłaty wynoszą 440 zł. Przy współczynniku ufności 0,9 oszacować metodą przedziałową przeciętne opłaty za mieszkanie wszystkich gospodarstw w tym mieście.

Zad.3 Na podstawie 26 losowo wybranych rozmów telefonicznych obliczono średnią długość rozmowy oraz wariancję długości rozmów telefonicznych, które wyniosły odpowiednio 4,2 minuty oraz 1,44 minuty². Zakładając, że czas rozmów ma rozkład normalny:

a) Oszacować przedziałowo średnią długość rozmowy telefonicznej na poziomie ufności 0,95 oraz 0,99. Porównać długości obu wyznaczonych przedziałów i wyjaśnić, w jaki sposób długość przedziału zależy od przyjętego poziomu ufności.

b*) Wyznaczyć liczność próby n, dla której długość przedziału ufności na poziomie ufności 0,95 wynosi 0,1.

Zad.4 Spośród kandydatów na studia ekonomiczne wybrano w losowaniu niezależnym 120 osób i zbadano je testem logicznego myślenia. Otrzymano następujące wyniki (w punktach):

Wyniki testu	5-15	15-25	25-35	35-45	45-55
Liczba osób	2	16	25	50	27

a) Oszacować metodą punktową i przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród wszystkich kandydatów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95 i 0,99. Które oszacowanie jest bardziej precyzyjne?

b) Metodą punktową oszacować wariancję wyników testu. Na poziomie ufności 0,95 podać przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego wyników wszystkich kandydatów.

Zad.5 Miesięczne wydatki na książki i gazety studentów pewnej uczelni można uznać za cechę o rozkładzie normalnym. Na podstawie 10-elementowej próby losowej otrzymano wariancję 19,36 (zł)² oraz średnią równą 20 zł. Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego tych wydatków wszystkich studentów tej uczelni, przy współczynniku ufności 0,95.

Zad.6 Na podstawie losowej próby 120 tabliczek czekolady otrzymano średnią wagę równą 95g oraz odchylenie standardowe 10g. Przyjmując współczynnik ufności 0,98 oszacować przedziałowo odchylenie standardowe w rozkładzie wagi wszystkich produkowanych tabliczek czekolady.

Zad.7 W pewnym banku szef działu obsługi klientów przeprowadził ankietę, aby zorientować się w jakości usług świadczonych przez swoich podwładnych. Ankietowani mieli odpowiedzieć na pytanie, czy są zadowoleni z jakości usług. Na 432 zapytanych klientów 384 było zadowolonych. Oszacować jaki procent wszystkich klientów stanowią klienci zadowoleni z obsługi, na poziomie ufności wynoszącym 0,93.

Zad.8 Do napełnienia dwukilowych puszek farbą olejną używa się automatu dozującego. Wiadomo, że rozkład dozowanych ilości farby jest normalny z odchyleniem standardowym wynoszącym 1,1 dag. Po ustawieniu automatu dokonano 9 losowych pomiarów wagi zawartości puszek i otrzymano wyniki: 200,8; 199,0; 198,6; 197,8; 200,2; 199; 200; 197; 198,6. Wyznaczyć przedział ufności dla nieznanej przeciętnej wagi farby dozowanej przez automat, przyjmując współczynnik ufności 0,95.

Zad.9 W 8-osobowej losowo wybranej grupie studentów zmierzono czas rozwiązania pewnego zadania. Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 23.

1. Oszacować metodą punktową i przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości studentów. Przyjąć współczynnik ufności 0,98.

2. Oszacować metodą punktową wariancję czasu niezbędnego do rozwiązania tego zadania.

3. Na poziomie ufności 0,95 podać przedział ufności dla odchylenia standardowego czasu niezbędnego do rozwiązania tego zadania.

Zad.10 Metodą punktową i przedziałową oszacować średni czas obsługi klienta przy kasie w dużym sklepie samoobsługowym. Rozkład czasu obsługi jest nieznany. Dokonano pomiaru czasu obsługi 200 losowo wybranych klientów i otrzymano: średni czas obsługi 56s i odchylenie standardowe 8s.

(
)

Zad.11 Czas obsługi w okienku bankowym nie powinien mieć dużej wariancji, gdyż w przeciwnym przypadku kolejki maja tendencję do rozrastania się. Bank regularnie sprawdza czas obsługi w okienkach, by oceniać jego wariancję. Obserwacja 22 czasów obsługi losowo wybranych klientów dała wariancję równą 8 minut². Metodą punktową i przedziałową oszacować wariancję czasu obsługi w okienku bankowym. Przyjąć współczynnik ufności 0,95.

Zad.12 Firma transportowa chce oszacować odchylenie standardowe czasu, jaki towar znajduje się w tranzycie przez pewien kraj. W pobranej losowo próbie 50 przesyłek średni czas równa się 2,6 dnia, a odchylenie standardowe 0,4 dnia. Jaki jest 99% przedział ufności dla odchylenia standardowego czasu znajdowania się towaru w tranzycie?

Zad.13 W celu sprawdzenia dokładności pracy automatu wytwarzającego śruby dokonano pomiaru średnicy 10 losowo wybranych śrub otrzymując wyniki (w mm): 7,0; 7,4; 6,8; 7,2; 6,8; 7,3; 7,2; 7,0; 6,9; 7,4. Przyjmując, że rozkład średnicy śrub wytwarzanych przez automat jest normalny, na podstawie próby oszacować przedział ufności dla nieznanej wariancji średnicy wytwarzanych śrub.

Zad.14 W grupie 3600 losowo wybranych pasażerów warszawskiego metra 1584 osoby stwierdziły, że metro jest dla nich jedynym środkiem dojazdu do pracy. Zbudować przedział ufności dla nieznanej frakcji osób, dla których metro jest jedynym środkiem dojazdu do pracy wśród ogółu pasażerów. Przyjąć
.

Zad.15 W celu oszacowania średniego czasu poświęcanego tygodniowo przez studentów pewnej uczelni na studiowanie w bibliotece wylosowano niezależnie próbę 132 studentów i otrzymano z niej następujące wyniki (czas studiowania w godzinach):

Czas (w h)	Liczba studentów
0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12	10 28 42 30 15 7

1. Przyjmując współczynnik ufności 0,9 oszacować metodą przedziałową średni tygodniowy czas studiowania przez studentów w bibliotece,

2. Oszacować metodą punktową i przedziałową procent studentów tej uczelni, którzy na studiowanie w bibliotece przeznaczają mniej niż 6 godzin tygodniowo. Przyjąć
   .

Zad.16 Aby ocenić jakość partii towaru wybrano 140 sztuk i okazało się, że 6 miało pewne braki. Na poziomie ufności 0,9 ocenić, jaki procent całej produkcji stanowią produkty uszkodzone.

Zad.17 Instytut Badań Marketingowych chciał uzyskać od mężczyzn, na podstawie próby prostej 400 osobowej, informacje na temat przyzwyczajeń dotyczących golenia. 240 ankietowanych przyznało, że regularnie używa do golenia maszynki elektrycznej. Wyznaczyć 99% przedział ufności dla frakcji panów golących się za pomocą maszynki elektrycznej.

---