POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI FILIA w JELENIEJ GÓRZE				SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 9 TEMAT: Wyznaczanie momentu bezwładności brył metodą Wahadła torsyjnego.
Imię i nazwisko:			Numer kolejny ćwiczenia 4		Zaliczenie
Grupa 3	Wydział E-ka	Rok I	Data wykonania ćwiczenia 18 marca 1999

1. WSTĘP TEORETYCZNY.

Wahadłem nazywamy bryłę sztywną, która pod działaniem przyłożonych sił wykonuje ruch drgający wokół nieruchomego punktu lub osi. W naszym doświadczeniu do wyznaczenia momentu bezwładności brył posłużymy się wahadłem torsyjnym. Jest to ciało sztywne, umocowane do drutu i wykonujące ruch drgający wokół osi pionowej pod działaniem momentu sił odkształconego sprężyście (skręconego) drutu.

Po wychyleniu wahadła o kąt α pojawi się moment siły zawracający wahadło do położenia równowagi. Jest to moment sił sprężystych przeciwstawiających się odkształceniu drutu (jego skręcaniu ). Dla małych kątów wychyleń M.= -Dα , gdzie D- moment kierujący sił sprężystych. Jeżeli na ciało mogące wykonywać tylko ruchy obrotowe wokół ustalonej osi działa moment siły M. Wprost proporcjonalny do kąta wychylenia α z położenia równowagi trwałej, a zwrócony zawsze tak, aby temu wychyleniu przeciwdziałać, to ciało będzie pod jego wpływem wykonywało obrotowe drgania harmoniczne.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki ruchu obrotowego ( M=Iε )

Podstawiając do powyższego równania moment siły dany wzorem M= -Dα otrzymujemy różniczkowe równanie ruchu wahadła w postaci:

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja :

Największe wychylenie wahadła z położenia równowagi α=α₀ nazywamy amplitudą drgań. Wielkość ψ=ωt+ϕ nazywamy fazą drgań, ϕ jest fazą początkową (fazą w chwili rozpoczęcia pomiaru czasu).

Równanie:

Jest kinematycznym równaniem ruchu drgającego harmonicznego. Prędkość kątową wahadła drgającego harmonicznie uzyskujemy obliczając pochodną, względem czasu, wychylenia:

Stan ruchu wahadła określony jest wychyleniem z położenia równowagi i prędkością kątową. Okresem drgań nazywamy czas T, po którym stan ruchu się powtarza. Żądamy zatem, aby wychylenie α i prędkość kątowa dα /dt wahadła miały po czasie T znowu takie same wartości. Ponieważ okresem funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus jest kąt 2π , więc zgodnie z definicją, okres drgań spełnia zależność:

Stąd wzór na okres drgań harmonicznych wahadła:

Stwierdzamy, że okres małych drgań wahadła nie zależy od wychylenia wahadła z położenia równowagi, zależy natomiast od jego momentu bezwładności I oraz momentu kierującego D.

SPOSÓB WYKONANIA DOŚWIADCZENIA. ETAPY POMIARU.

W ramce przyrządu mocujemy wybraną do badania bryłę. Ustawiamy elektromagnes na zadany kąt α=40⁰ i mocujemy go nakrętką do płyty. Następnie okręcając ramkę powodujemy utrzymanie jej w żądanym położeniu przez elektromagnes. Po zwolnieniu ramka wykonuje drgania skrętne, których liczbę i czas trwania podaje mikrosekundomierz. Skręcona ramka wywiera na oś moment siły M proporcjonalny do α . Równanie ruchu drgającego ramki możemy zapisać w postaci:

gdzie: D- kątowy moment kierujący

Znając D, ω=2π/T możemy wyznaczyć I.

1. wyznaczanie momentu kierującego

Moment kierujący wyznaczamy z zależności:

2. wyznaczanie momentu siły M.

Prostopadle do ramki działa siła F, która powoduje wychylenie jej o kąt α , równy kątowi zadanemu przez elektromagnes. Jej wartość odczytujemy z wykresu ( w naszym doświadczeniu dla α=40⁰ siła F przyjmuje wartość 0,16 N. Mierząc ramię działania siły ( od środka ramki do elektromagnesu) wyznaczamy moment siły M=F r, a następnie D.

3. wyznaczanie okresu drgań T

Mierzymy czas t trwania pojedynczego „wahnięcia” dla n drgań i wyznaczamy T korzystając z zależności:

4. wyznaczanie momentu bezwładności I

Korzystając ze znanych wartości F, r, T, α wyznaczamy moment bezwładności bryły z zależności:

gdzie: F- siła powodująca wychylenie z położenia równowagi kąta α

r- ramię siły

T- okres drgań

α- kąt wychylenia pod działaniem siły F

2. CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

Zadaniem naszym podczas przeprowadzanego doświadczenia było odczytywanie czasu t dla przyjętych n=20 „wahnięć” dla zadanego kąta α=40⁰ , stałej siły F (wyznaczonej z wykresu), ramienia r oraz wszystkich różnych osi obrotu danej bryły.

Uzyskane wyniki zestawione zostały w tabelach. Osie obrotu i przyporządkowane im numery prezentują rysunki.

( nr nad tabelą oznacza oś, wg której wyznaczaliśmy moment bezwładności)

BĄK KULISTY

BĄK SYMETRYCZNY BĄK ASYMETRYCZNY

PRZYKŁADOWE OBLICZENIA.

Liczenie I oraz ΔI dla bąka kulistego (dla osi głównej).

Obliczanie ΔI metodą różniczki zupełnej:

Błędy przyrządów:

ΔF=0,0025 N - (z wykresu, jako najmniejsza jednostka (krateczka) )

Δr=0,001 m.

ΔT=0,001 s

Δα=0,017 rad

Zatem:

3. WNIOSKI.

Podczas przeprowadzania doświadczenia zauważyliśmy, że po włączeniu prądu płynącego przez elektromagnes, na skutek działania momentu sił sprężystych w skręconym drucie (na którym przymocowana była ramka wraz z bryłą) wahadło wykonywało drgania obrotowe. Układ elektroniczny, włączany automatycznie w chwili wyłączenia elektromagnesu mierzył czas trwania pomiaru i liczbę n drgań wykonanych w tym czasie. Okres drgań T=t/n zgodnie ze wzorem

zależał od momentu bezwładności wahadła i momentu kierującego D.

Mierząc okres drgań układu z bryłą odpowiednio zamontowaną w uchwycie wyznaczaliśmy momenty bezwładności I bryły względem żądanej osi (co było celem ćwiczenia). Dla każdej bryły przeprowadzając kilka pomiarów momentu bezwładności względem różnych osi obrotu otrzymaliśmy szereg wartości zestawionych w tabeli.

z

x

y

---