STATYSTYKA

28.02.2010

Książki : Statystyka, elementy teorii i zadania - Ostasiewicz, Ruslak, Siedlecka

Statystyka podstawy teoretyczne - przykłady i zadania - Sobczyk

Statystyka dla studentów ekonomii - przykłady i zadania (zbiór zadań) 1,5,6, -ksero wzorów

Analiza struktury dla szeregu szczegółowego

1/ Szereg szczegółowy (oceny w szeregu) 2,3,5,3,4,2,5

2/ Szereg punktowy

xi	2	3	4	5
ni	8	30	40	10

3/ Szereg przedziałowy

xi	150-160	160-170	170-180	180-190
ni	10	35	25	7

Zad. 1/ Poniższy szereg przedstawia wydatki miesięczne na kino w grupie studentów (w zł.)

20,0,30,10,20,40,20 wyznacz miary średniej zmienności i asymetrii charakteryzującej

ten rozkład.

1/ Porządkujemy rosnąco elementy szeregu : 0,10,20,20,20,30,40

I. miary średnie

1/ średnia arytmetyczna

_{1 k}

X = n ∑ x_i

i = 1

n - liczebność w zbiorowości n = 7

x_{i -} wartość cechy

₁

X = 7 ^. 140 = 20

Średnie wydatki na kino w danej grupie studentów wyniosły 20 zł.

2/ Dominanta (moda) - to wartość, która w szeregu występuje najczęściej D= M ₀ = 20

3/ Mediana - kwanty 2, wartość środkowa dzieli szereg w proporcji 50% na 50%

M_e = Q₂ = 20

50% elementów w szeregu jest mniejsza lub równa 20 i 50% elementów jest większa lub = 20

Uwaga : 3,5,7,8,10,11

n= 6

7+8 ₁

M_e = 2 = 7 2

Q₁ = 5

4/ Kwantyl pierwszy dzieli szereg w proporcji 25% na 75%

10 +20

0,10,20,20,20,30,40 Q₁ = 2 = 15

Odp. 25% studentów wydaje na kin nie więcej niż 15 zł. i 75% studentów wydaje co najmniej 15 zł.

5/ Kwantyl trzeci dzieli szereg w proporcji 75% na 25%.

3,5,7,8,0,11

Q₃ = 10

20 + 30

0,10,20,20,20,30,40 Q₃ = 2 = 25

Odp. 75% studentów wydaje na kino nie więcej niż 25 zł. i 25% studentów wydaje co najmniej 25 zł.

II. Miary zmienności (rozproszenia)

1 n

6/ Wariancja s² (x) = n Σ (x_i - x)²

i = 1

od każdego odjąć 20 , bo taka była średnia podnieść do ²

xi	xi - x	(xi - x)˛	(xi - x)
0	-20	400	20
10	-10	100	10
20	0	0	0
20	0	0	0
20	0	0	0
30	10	100	10
40	20	400	20
		1000	60

1

s˛ (x) = 7 ^. 1000 = 143

7/ Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji (na egz.!)

s(x) = s˛ (x) = 143 = 12

8/ Współczynnik zmienności dla miar klasycznych

s (x)

v (x) = x . 100%

12

v (x) = 20 . 100% = 60%

Odp. Szereg charakteryzuje się dużą zmiennością.

9/ Typowy obszar zmienności dla miar klasycznych.

udowodnione

Do przedziału należy około 68 % jednostek zbiorowości

x typ Є ( x - s (x) ; ( x + s (x) )

x typ Є (20 - 12; 20 +12)

x typ Є (8; 32)

Odp. Około 68%studentów wydało na kino kwotę należącą do przedziału od 8 do 32 zł.

Dla większych zbiorowości obliczamy także

x typ Є ( x - 2 s (x) ; ( x + 2 s (x) ) - 95% udowodnione

x typ Є ( x - 3 s (x) ; ( x + 3 s (x) ) - 99,8%

x - 2 (x) x - s (x) x + s (x) x + 2 (s)

x - 3 (x) x x + 3 (x)

68 %

95 %

99,8%

10/ Odchylenie średnie (przeciętne)

1 n

d (x) = n Σ x_i -x

i = 1

1

d (x) = 7 ^. 60 = 9

d (x) < S (X)

Zawsze odchylenie przeciętne jest nie większe niż odchylenie standardowe

11/ Odchylenie ćwiartkowe

Q₃ - Q₁ 25 - 15

Q = 2 = 2 = 5

12/ Typowy obszar zmienności dla miar pozycyjnych

Do przedziału

x typ Є (Me - Q ; Me + Q)

należy około 50% środkowych elementów szeregu po usunięciu 25% elementów najmniejszych i 25% elementów największych.

x typ Є (20-5; 20+5)

x typ Є (15; 25)

Odp. 50% studentów wydało na kino kwotę należącą do przedziału od 15-25 zł.

13/ Współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych :

Q

V _Q = Me ^. 100 %

5

V _Q = 20 ^. 100 % = 25%

Środkowe 50% elementów szeregu cechuje się umiarkowaną zmiennością.

III. Miary asymetrii

n_i

rozkład symetryczny

x_i

n_i

_{asymetria lewostronna}

x_i

n_i

asymetria prawostronna

x_i

n_{i rozkład symetryczny}

_{3 20 występuje 3 razy}

₂

₁

0 10 20 30 40 x_i

_{14/ Współczynnik skośności Pearsona}

_{x - D}

A _{s = S (x)}

Znak współczynnika A_s informuje o kierunku asymetrii, gdy A_s > 0 to asymetria jest prawostronna, A_{s < 0 to} asymetria jest lewostronna, A_{s = 0 rozkład symetryczny.}

Wartość bezwzględna współczynnika A_s świadczy o sile asymetrii.

Im moduł z A_s bliższy 1 tym asymetria silniejsza.

Im moduł z A_s bliższy 0 tym asymetria słabsza.

_{20 - 20 0}

A _{s = 12 = 12 = 0}

_{Rozkład symetryczny}

_{15/ Pozycyjny współczynnik asymetrii}

(Q₃ - Q₂) _- (Q₂ - Q₁) (25 - 20) _- (20 - 15) 5 - 5 0

A_{Q =} (Q₃ - Q₂) ₊ (Q₂ - Q₁) ⁼ (25 - 20) ₊ (20 - 15) = 5 + 5 = 10 = 0

Środkowe 50% elementów szeregu cechuje także rozkład symetryczny.

Zad. 2/ Liczba dni nieobecności w pracy w m-cu dla grupy pracowników była następująca :

3,5,2,0,2,0,2,8

wykorzystując poznane miary scharakteryzuj rozkład

Porządek : 0,0,2,2, 2,3,5,8 = 22 , liczebność 8

Q₁ Q₃

I Średnia arytmetyczna :

1/

¹

X = 8 ^. 22 = 2,75 ≈ 3

2/ D = 2

2+2

3/ Me = 2 = 2

50% elementów w szeregu jest mniejsza lub równa 2 i 50% elementów w szeregu jest większa lub = 2.

4/

0+2

Q₁ = 2 = 1

25% nieobecności w pracy była nie większa niż 1 dni i 75% nieobecności było co najmniej

1 dzień.

5/

3+5

Q₃ = 2 = 4

75% nieobecności w pracy była nie większa niż 4 dni i 25% nieobecności było co najmniej

4 dni.

1 n

6/ Wariancja s² (x) = n Σ (x_i - x)²

i = 1

od każdego odjąć 3 , bo taka była średnia podnieść do ²

xi	xi - x	(xi - x)²	(xi - x)
0	-3	9	3
0	-3	9	3
2	-1	1	1
2	-1	1	1
2	-1	1	1
3	-1	1	1
5	2	4	2
8	5	25	5
		50	17

1

s² (x) = 8 ^. 50 = 6,25 ≈ 6

7/ Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji (na egz.!)

s(x) = s² (x) = 6 = 2

8/ Współczynnik zmienności dla miar klasycznych

s (x)

v (x) = x . 100%

2

v (x) = 3 . 100% = 66,66% ≈ 67%

Odp. Szereg charakteryzuje się dużą zmiennością.

9/ Do przedziału należy około 68 % jednostek zbiorowości

x typ Є ( x - s (x) ; ( x + s (x) )

x typ Є (3 - 2; 3 +2)

x typ Є (1; 5)

Odp. Około 68% pracowników było nieobecnych w pracy przez ilość dni należących do przedziału od 1 do 5.

10/ Odchylenie przeciętne

1

d (x) = 8 ^. 17 = 2,125≈ 2

11/ Odchylenie ćwiartkowe

Q₃ - Q₁ 4 - 1

Q = 2 = 2 = 1,5 ≈ 2

12/ Typowy obszar zmienności dla miar pozycyjnych

Do przedziału

x typ Є (Me - Q ; Me + Q)

należy około 50% środkowych elementów szeregu po usunięciu 25% elementów najmniejszych i 25% elementów największych.

x typ Є (2-2; 2+2)

x typ Є (0 ; 4)

Odp. 50% pracowników było nieobecnych w pracy przez ilość dni należących do przedziału od 0-4.

13/ Współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych :

Q

V _Q = Me ^. 100 %

2

V _Q = 2 ^. 100 % = 100%

Środkowe 50% elementów szeregu cechuje się dużą zmiennością.

_{14/ Współczynnik skośności Pearsona}

_{x - D}

A _{s = S (x)}

_{3 - 2 1}

A _{s = 2 = 2 = 0,5}

_{Asymetria prawostronna}

_{15/ Pozycyjny współczynnik asymetrii}

(Q₃ - Q₂) _- (Q₂ - Q₁) (4 - 2) _- (2 - 1) 2 - 1 1

A_{Q =} (Q₃ - Q₂) ₊ (Q₂ - Q₁) ⁼ (4 - 2) ₊ (2 - 1) = 2 + 1 = 3

Środkowe 50% elementów szeregu cechuje także asymetria prawostronna.

---