Analiza drgań harmonicznych

Badanie zjawiska dyspersji fal poprzecznych.

Nawrot Piotr

Var Bogya de Csepy Marcin

Rok 2001/2002 semestr I

Grupa 2 sekcja 4

Wstęp

Struną nazywamy walec, którego przekrój jest tak mały, że praktycznie nie stawia on oporu przy wyginaniu. Struny produkuje się z metalu, lub jelit baranich. Jeżeli napiętą strunę szarpniemy, to powstanie zaburzenie będzie rozchodzić się wzdłuż struny. Ponieważ struna na obu końcach jest umocowana, więc fala odbita od środka gęstszego daje po nałożeniu z falą padającą falę stojącą. Na obu końcach powstają nieruchome węzły, a wszystkie pozostałe punkty mają tę samą fazę drgań i wychylają się równocześnie w jedną stronę(dla częstotliwości podstawowej v₀ struny, na końcach mamy węzły, w środku strzałki) Dla wyższych tonów harmonicznych obok węzłów na końcu struny powstają wzdłuż struny węzły, dzieląc ją na równe części. Liczba węzłów powstających wzdłuż struny odpowiada liczbie wyższym harmonicznym o częstotliwości 2v₀, 3v₀, 4v₀ itd.

Prędkość rozchodzenia się fali wzdłuż struny określa wzór

gdzie:

*-przekrój struny *-gęstość materiału struny F- siła napinająca

Dla częstotliwości podstawowej v₀ długość fali *₀ jest równa podwójnej długości struny l. Zatem *₀=2l oraz v₀=v/*₀ częstotliwość podstawowa struny wyraża się zatem wzorem:

Natomiast częstotliwość wyższych harmonicznych obliczamy ze wzoru:

W wyrażeniu tym k jest liczbą węzłów występujących wzdłuż struny. Drganie podstawowe i wyższe harmoniczne tworzą tzw. układ drgań własnych struny.

Wskutek przekazywania energii cząstkom otoczenia lub wskutek przejścia jej w inny rodzaj energii energia układu drgającego stopniowo maleje, wszystkie drgania są zatem drganiami tłumionymi.

Dyspersją fal nazywamy zależność prędkości fazowej fal sinusoidalnych w ośrodku od ich częstości. Ośrodek, w którym takie zjawisko jest obserwowane, nazywamy ośrodkiem dyspersyjnym. Dyspersja fal dźwiękowych w ośrodku nieograniczonym zależy od własności ośrodka, przy czym zawsze towarzyszy jej pochłanianie dźwięku.

Przebieg ćwiczenia

Stanowisko pomiarowe składa się z poziomej struny długości ok. 1 m
zamocowanej z obu stron , komputera PC pracującego jako generator przebiegu prostokątnego o zadanej częstotliwości (z krokiem syntezy 1 Hz), którego zadaniem jest wprawianie w drgania struny oraz przetwornika piezoelektrycznego połączonego z oscyloskopem, którego zadaniem jest wskazywanie przebiegu drgań struny - w celu wychwytywania strzałek.

Pomiary miały na celu znalezienie kolejnych częstotliwości rezonansowych struny. W celu znalezienia tych częstotliwości należało ustawić elektromagnes w miejscu strzałki a następnie ustawić częstotliwość, dla której amplituda drgań jest największa. Po znalezieniu częstotliwości dla której amplituda drgań była największa, jej wartość zostawała nanoszona na ekran komputera jako kolejny punkt wykresu.

Opracowanie wyników i analiza błędów.

Błąd pomiaru f_n= 2 [Hz].

(1 Hz wynikający z samego błędu skoku generatora oraz 1 Hz wynikający
z błędu odczytu na oscylatorze)

Długość struny l=0,925 * 0,005 [m].

Prędkość fali wyraża się wzorem:

gdzie f n - częstotliwość w n-tym pomiarze

v_n -prędkość w n-tym pomiarze

n - numer kolejnego pomiaru

l - długość struny

Ponieważ zarówno l jak i kolejne f obciążone są pewnymi błędami (l i f), więc wartości prędkości też nie są ich pozbawione. Obliczamy je w oparciu o różniczkę zupełną:

Widać, że błąd ten nie jest stały to znaczy, że konieczne jest do obliczenia średniej prędkości z powyższych pomiarów wzoru na średnią ważoną, gdzie po podstawieniu wartości liczbowych ostatecznie otrzymujemy:

V_śr= 86,1469 * 0,6033 [m/s]

po zaokrągleniu:

v_śr= 86,15 ± 0,61 [m/s]

Część dotycząca dyspersji zobrazowana jest na wykresie przedstawiającym prostą idealną wyznaczoną na podstawie pierwszego pomiaru oraz przebieg rzeczywisty otrzymany w doświadczeniu.

Wnioski

Głównym celem tego doświadczenia było zaobserwowanie zjawiska dyspersji fali poprzecznej, powstającej w strunie pod wpływem siły wymuszającej. Na załączonym wykresie zaznaczono przebieg idealny wynikający z mnożenia częstotliwości podstawowej oraz przebieg rzeczywisty mierzony. Wyraźnie odchylenie dla większych częstotliwości bardzo dobrze ilustruje całe zjawisko.

Przyrządy użyte w opisywanym doświadczeniu były dokładne więc ich błędy standardowe nie wpływały w znaczącym stopniu na wyniki pomiarów. Stąd też bardzo mały jest błąd obliczonej wartości. Stosunkowo duże błędy może wprowadzać brak odpowiedniej izolacji badanego układu od otoczenia. Ruch studentów w pracowni lub potrącanie stołu, na którym znajdował się układ wprowadza dodatkowe zakłócenia i błędy pomiarowe. Należało by też zmierzyć dokładniej długość struny ustawiając przymiar dokładnie w miejscu jej podparcia. Zaobserwowane zjawisko dyspersji wpływa w znacznym stopniu na wynik końcowy ponieważ prędkość dla pierwszej zmierzonej częstotliwości w znacznym stopniu różni się od prędkości dla ostatniego pomiaru. Otrzymana wielkość jest wielkością średnią obliczoną dla stosunkowo szerokiego zakresu częstotliwości.

---