Podstawowe pojęcia algebry liniowej (uzupełnienie)

Określenie przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem

(niepusty zbiór elementów, w którym zdefiniowano operację dodawania elementów oraz mnożenia elementów przez skalar).

Jakie warunki muszą spełniać operacje mnożenia i dodawania?

Dlaczego mówimy o przestrzeni liniowej?

Przestrzeń liniowa rzeczywista i zespolona

Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów

Przyjmijmy, że φ₁, φ₂, φ₃, ... są elementami przestrzeni liniowej (wektorami), natomiast c₁, c₂, c₃, ... są skalarami.

Jeżeli istnieją liczby c₁, c₂, ..., c_n (z których co najmniej jedna jest różna od zera) takie, że równość c₁φ₁+ c₂φ₂+ c₃φ₃+...+ c_nφ_n=0 jest spełniona, to wektory φ₁, φ₂, ..., φ_n nazywamy liniowo zależnymi (w przeciwnym wypadku wektory te nazywamy liniowo niezależnymi).

Przykład:

Jeżeli mamy wektory φ₁=[2,0], φ₂=[5,0], to możemy pokazać, że wektory te są liniowo zależne, gdyż można wybrać c₁= -2.5 i c₂= 1

i zapisać, że -2.5×[2,0] + 1×[5,0] = 0

uwaga: [0,0] - wektor zerowy będzie spełniał rolę elementu zerowego przestrzeni liniowej/

(czyli będzie spełniona równość c₁φ₁+ c₂φ₂ = 0).

Fakt, że wektory φ₁ i φ₂ są liniowo zależne oznacza, że jeden z nich można wyrazić za pomocą drugiego.

Wynika to z równania c₁φ₁+ c₂φ₂ = 0

Jeżeli do naszego zbioru dwóch liniowo zależnych wektorów (φ₁=[2,0], φ₂=[5,0]) dodamy jakikolwiek wektor φ₃, to taki zbiór trzech wektorów będzie na pewno liniowo zależny.

/ponieważ współczynnik c₃ występujący w równaniu

c₁φ₁+ c₂φ₂+ c₃φ₃=0 można wziąć jako równy zero i wtedy równanie to będzie ponownie spełnione/.

To stwierdzenie jest ogólne i można je rozszerzyć na dowolną liczbę dodawanych wektorów - wynikowy zbiór, uzyskany z połączenia wektorów liniowo zależnych z dowolnymi wektorami będzie zawsze liniowo zależny (jako całość).

Uwaga ogólna: jeżeli mamy dany zbiór wektorów liniowo zależnych φ₁, φ₂, ..., φ_n to przynajmniej jeden z nich można wyrazić za pomocą wektorów pozostałych

/inaczej mówiąc: przynajmniej jeden z nich jest kombinacją liniową wektorów pozostałych/.

Dla wektorów liniowo niezależnych, równość

c₁φ₁+ c₂φ₂+ c₃φ₃+...+ c_nφ_n=0

może być spełniona jedynie wtedy, gdy wszystkie współczynniki c są równe zero.

Np. wektory φ₁=[2,0], φ₂=[0,5] są liniowo niezależne.

Kombinacja liniowa

Kombinacją liniową wektorów φ₁, φ₂, ..., φ_n nazywamy wyrażenie c₁φ₁+ c₂φ₂+...+ c_nφ_n

Jeżeli dany wektor, np. wektor Φ, można zapisać jako

Φ= c₁φ₁+ c₂φ₂+...+ c_nφ_n,

to mówimy, że wektor Φ jest kombinacją liniową wektorów φ₁, φ₂, ..., φ_n.

/stwierdzenie, że wektor Φ jest kombinacją liniową wektorów φ₁, φ₂, ..., φ_n oznacza tyle, że wektor Φ możemy zbudować z elementów φ₁, φ₂, ..., φ_n, biorąc każdy z tych elementów z odpowiednim wkładem, czyli współczynnikiem c/

Skalary c₁, c₂, c_{3, ...,} c_n nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.

Wymiar przestrzeni liniowej

Wymiar przestrzeni to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów, które można znaleźć w tej przestrzeni. Wymiar jest zgodny z intuicją, gdy myślimy o znanych nam przestrzeniach. Np. prosta, która można uważać za zbiór odcinków (w tym sensie prosta jest przestrzenią liniową, a wektorami tej przestrzeni są odcinki leżące na tej prostej) ma „jeden wymiar”, czyli jej wymiar wynosi 1.

Płaszczyzna (przestrzeń liniowa, której wektorami są leżące na niej odcinki) ma wymiar 2. Znana z geometrii kartezjańska przestrzeń, której elementami są wektory określane przez trzy liczby (współrzędne) w prostokątnym układzie współrzędnych, ma wymiar równy 3.

Wymiar przestrzeni a liniowa niezależność wektorów

W przestrzeni o wymiarze równym na przykład 2, której przykładem jest płaszczyzna będąca zbiorem wektorów [x,y] można znaleźć co najwyżej dwa wektory liniowo niezależne. Jeżeli do takiej pary dodamy jakikolwiek trzeci wektor, to mamy już zbiór trzech wektorów liniowo zależnych. Czyli, że jeden z wektorów można będzie wyrazić jako kombinację liniową pozostałych). Inaczej mówiąc, jeden z tych trzech wektorów da się „zbudować” z dwóch pozostałych wektorów

Baza

Określenie bazy: bazą w n-wymiarowej przestrzeni L nazywamy zbiór n wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni.

Baza jest jakby fragmentem przestrzeni liniowej (bo jest to po prostu zbiór kilku wektorów należących do tej przestrzeni).

Uwagi dotyczące bazy:

1. Liczba wektorów bazy jest zawsze taka, jak wymiar przestrzeni.

2. W każdej przestrzeni istnieje baza.

3. Co więcej, w każdej przestrzeni istnieje nieskończenie wiele baz.

4. Każda baza w danej przestrzeni zawiera tyle samo wektorów bazy.

5. Wszystkie bazy, które można znaleźć w danej przestrzeni są formalnie równoważne (tzn. nie ma baz lepszych i gorszych). Ze względów technicznych (np. z punktu widzenia wykonywanych rachunków) niektóre bazy są po prostu wygodniejsze niż inne.

6. Baza generuje przestrzeń liniową, inaczej mówiąc: przestrzeń liniowa jest rozpięta na wektorach bazowych, jest liniową powłoką bazy.

Przykład: baza wersorów w kartezjańskiej przestrzeni 3-wymiarowej.

Iloczyn skalarny (jako przykład funkcjonału)

Iloczyn skalarny jest funkcjonałem dwuargumentowym, czyli pewną funkcją dwóch argumentów (zmiennych), która każdej parze wektorów x,y, należących do pewnej przestrzeni liniowej, przyporządkowuje liczbę (skalar), przy czym to przyporządkowanie musi spełniać określone aksjomaty

Iloczyn skalarny dwóch wektorów x oraz y zapisuje się zazwyczaj jako (x,y) lub <x|y>

Iloczyn skalarny w przestrzeni funkcyjnej

Elementami (czyli wektorami) przestrzeni liniowej mogą być również funkcje ciągłe (argumentu t) określone w przedziale <a,b>. Iloczyn skalarny dwóch dowolnych funkcji f(t) i g(t) należących do tej przestrzeni, określa się zazwyczaj jako całkę z ich iloczynu:

Ortogonalność (dwóch wektorów)

Dwa wektory określamy jako ortogonalne jeżeli ich iloczyn skalarny znika (czyli jest równy zero).

A zatem, jeżeli (x,y) = 0 to wektory x oraz y są wzajemnie ortogonalne.

Analogicznie: funkcje f(t) i g(t) są wzajemnie ortogonalne jeżeli ich iloczyn skalarny (wyrażony powyżej) znika, czyli

Unormowanie wektora

Wektor x należący do przestrzeni liniowej L nazywamy unormowanym (lub znormalizowanym), jeżeli iloczyn skalarny tego wektora z sobą samym jest równy 1.

A zatem, jeżeli (x,x)=1 to mówimy, że wektor x jest unormowany.

Jeżeli mamy do czynienia z przestrzeniami funkcyjnymi, których elementami są funkcje ciągłe (np. ψ₁, ψ₂, ψ₃,...) to o danej funkcji ψ (np. ψ₁) powiemy, że jest unormowana, jeżeli

przy czym całkujemy po całym zakresie zmienności wszystkich zmiennych.

W sytuacji, gdy elementami przestrzeni liniowej są funkcje zmiennej zespolonej, powyższy warunek unormowania wygląda następująco:

(również w tym przypadku całkujemy po całym zakresie zmienności wszystkich zmiennych).

Przekształcenia przestrzeni liniowej (operatory)

Przekształceniem przestrzeni L nazywamy funkcję, która każdemu wektorowi x przestrzeni L przyporządkowuje wektor y tej przestrzeni.

Kolorem żółtym zdefiniowano przekształcenie A przestrzeni L

Kolorem czarnym zdefiniowano przekształcenie B przestrzeni L

Różnica między przekształceniem (operatorem) a iloczynem skalarnym

Zbiorem wartości dla funkcjonału jest ciało skalarów, czyli liczby. Zbiorem wartości dla przekształceń jest przestrzeń, czyli wektory. Dlatego np. iloczyn skalarny jest funkcjonałem, a nie przekształceniem, bo iloczyn skalarny jest zawsze liczbą.

Kolorem żółtym zdefiniowano pewne przekształcenie w przestrzeni L

Kolorem granatowym zdefiniowano iloczyn skalarny

19

---