Przekształcenie Laplace'a i jego własności

by Dres  (literą  oznaczyłem znak transformaty, bo pierdolony MS Equator nie ma takiego znaczka :/)

Def.: Transformatą Laplace'a fukcji zmiennej rzeczywistej f(t) nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej niezależnej s = c + j, określoną wzorem:

Funkcja f(t) jest oryginałem, a F(s) - transformatą (obrazem funkcji f(t) przez transformację Laplace'a).

Transformatą odwrotną nazywamy wyrażenie:

Własności transformaty Laplace'a:

• liniowość

• transformata sumy funkcji

• transformata pochodnych funkcji

,

gdzie
jest wartością początkową funkcji f(t) w punkcie t = 0 z prawej strony (granica)

,

gdzie
jest pochodną

w praktyce ogólny wzór jest następujący:

• transformata całek funkcji

• transformata funkcji okresowej

Tw. Jeżeli dana jest funkcja okresowa
, gdzie k = 1,2,3...

oraz
jest transformatą funkcji f(t) za jeden okres, to

• twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym

• twierdzenie o przesunięciu zespolonym

gdzie  jest dowolną liczbą zespoloną

• twierdzenie o wartości końcowej

• twierdzenie o wartości początkowej

Transformaty wybranych funkcji: