Jeśli umiemy już obliczać pochodne, to możemy powrócić do całek.
Całkowanie to po prostu działanie odwrotne w stosunku do różniczkowania. Mamy pochodną funkcji i chcemy znaleźć właśnie tę funkcję:

y' =	dy		dy = y'^.dx		y = ∫y'^.dx
						dx

Pochodna stałej, jak pamiętamy, jest równa zeru i dlatego po wyznaczeniu całki możemy dodać do niej dowolną stałą c. Całkowanie, w przeciwieństwie do różniczkowania, nie jest działaniem jednoznacznym.

Podobnie, jak przy obliczaniu pochodnych, całka sumy funkcji równa jest sumie całek. Tak samo, całka iloczynu stałej przez funkcję równa jest iloczynowi tej stałej i całki funkcji (stałą możemy wyłączyć przed znak całki).

y = ∫(u + v) dx = ∫u dx + ∫v dx

y = ∫c ^. f(x) dx = c ^. ∫f(x) dx

Ale na tym podobieństwa praktycznie się kończą.
Stosowane najczęściej metody rozwiązywania całek to całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie.

Przy całkowaniu przez części korzysta się ze wzoru:    ∫u dv = uv - ∫v du   (tę zależność uzyskuje się ze wzoru na pochodną iloczynu).

Całkowanie przez części stosowane jest niekiedy kilkakrotnie, zanim uda nam się coś osiągnąć. Dotyczy to szczególnie funkcji trygonometrycznych.

Wyznaczenie, przy pomocy całki, pola ograniczonego przez jakąś krzywą.
Obliczamy pole zawarte między sinusoidą y = sinx i osią x, w zakresie od 0 do π (zakreskowane na rysunku).

P =	π	sinx dx = (- cosx)	π	= ( - cos π ) - ( - cos 0 ) = 1 + 1 = 2
			∫
			0			0

Szukane pole równe jest 2.

Jak widzimy, wartość całki oznaczonej obliczamy odejmując jej wartość dla dolnej granicy całkowania od jej wartości dla górnej granicy. Przy rozwiązywaniu całek nieoznaczonych mogliśmy w wyniku dodać dowolną stałą c. Przy całkach oznaczonych dodanie tej stałej nic by nie zmieniło, gdyż i tak by znikła przy odejmowaniu wartości dla jej zastosowań. Można by powiedzieć, że całka ma "wrodzone zdolności" w tym kierunku. W innych przypadkach, niezależnie od rozwiązania samej całki, trzeba najpierw opisać zadanie odpowiednim równaniem.

Chcemy tym razem obliczyć długość L krzywej będącej wykresem jakiejś funkcji y = f(x), w zakresie od x₁ do x₂:

L =	x2		(suma nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów dL)
				∫ dL
				x1

Patrząc na rysunek obok, możemy zapisać (na podstawie twierdzenia Pitagorasa):

(dL)2 = (dx)2 + (dy)2 ,  czyli  (dL)2 = (dx)2 + (y' . dx)2 = (dx)2 . [1 + (y')2]dL = [ 1 + (y')2 ]1/2 . dx

Aby znaleźć szukaną długość krzywej, trzeba będzie najpierw obliczyć pochodną y' a później przypuszczalnie pomęczyć się nieco z całkowaniem funkcji, w której występuje pierwiastek kwadratowy:

L =	x2
		∫ [ 1 + (y')^2 ]^1/2 . dx
		x1

Obliczenie objętości bryły.
Obliczamy objętość górnej połowy kuli z rysunku obok (dla z w zakresie od 0 do R, gdzie R = promień kuli).
Dzielimy kulę na okrągłe "plasterki" prostopadłe do osi z i sumujemy ich objętości.
Objętość takiego elementarnego "plasterka" to:

dV = π r^2 . dz

( dz możemy nazwać jego wysokością lub grubością )

Średnica i promień "plasterka" zależy od jego położenia na osi z (z twierdzenia
Pitagorasa):

r² = R² - z²

Mamy więc:   dV = π (R² - z²) dz ,

a szukaną przez nas objętość połowy kuli możemy zapisać:

V =	R
		∫ π (R^2 - z^2) dz
		0

Rozwiązanie tej całki nie powinno sprawić trudności (pamiętamy, że stałe można wyciągnąć przed znak całki, a całka sumy równa jest sumie całek):

1

3

V  =  π R^2

R

- π

R

=  (π R^2 . z)

R

- (π ^.

^. z^3)

R

∫ dz

∫ z ^2 dz

0

0

0

0

Po podstawieniu z = R (wartości obydwu wyrażeń zerują się dla dolnej granicy całkowania z = 0) otrzymamy:

1

3

2

3

4

3

V = π R^3 -		^. π R^3  =		^. π R^3	czyli objętość całej bryły wynosi:			^. π R^3

---