Schemat zdaniowy „x należy do y” zapisać można krótko: x ∈ y. Napis `x ∈ y' oznacza, że y jest zbiorem, a x jest jednym z jego elementów. Pojęcia zbioru i należenia nie wyjaśnia się - traktuje się je jako pierwotne. Intuicyjnie, zbiorem jest jakaś grupa przedmiotów, w której wzajemne związki przedmiotów (ich kolejność, wielkość itd.) nie odgrywają żadnej roli. Dwa zbiory są identyczne, gdy mają te same elementy.

Rachunek zbiorów stanowi również konieczny wstęp do teorii relacji, bowiem relacje dwuargumentowe można zdefiniować jako zbiory par uporządkowanych, samą zaś parę uporządkowaną jako odpowiedni dwuelementowy zbiór, którego jednym z elementów jest indywiduum a drugim para nieuporządkowana dwóch przedmiotów.

„Klasa” i „zbiór” niekiedy są traktowane równoważnie. Czasami się jednak odróżnia: zbiory to te klasy, które mogą być elementami innych klas. Stąd zespół wszystkich klas jest klasą, ale nie jest zbiorem.

Pojęcie zbioru jest pojęciem pierwotnym, definiowanym poprzez aksjomaty teorii mnogości, pojawia się w kontekście: x ∈ A

Słowo „zbiór” w języku potocznym jest dwuznaczne. Do odmiennych znaczeń nawiązują odpowiednie teorie filozoficzne i logiczne. Mamy znaczenie KOLEKTYWNE oraz DYSTRYBUTYWNE (ABSTARAKCYJNE).

W pierwszym znaczeniu - zbiór to jakiś obiekt przestrzenny, przestrzennie określony, mający części przestrzennie odseparowywane, jest to bryła, powierzchnia lub linia, albo jest to obiekt dający się pojąć za pomocą pojęć przestrzennych (np. czas), złożony z jednorodnych części. Przedmiot może być swą własną częścią. Należenie jest relacją przechodnią.

Zbiór w sensie dystrybutywnym to przedmiot abstrakcyjny, a więc pozaprzestrzenny i pozaczasowy. Możemy pojmować go jako wytwór myśli, albo jako coś istniejącego niezależnie i samoistnie od myśli, istniejącą w sposób odmienny od przedmiotów materialnych i psychicznych. Należenie nie jest relacją przechodnią.

U Leibniza znajdujemy prekursorskie rozumienie zbioru w sposób abstrakcyjny, będące punktem wyjścia dla przedaksjomatycznej teorii mnogości:

„Niech wolno nam będzie dowolnie wiele rzeczy rozważać naraz i traktować je jako całość, wówczas, gdy mając ich danych ilekolwiek, nawet w liczbie nieskończonej, da się o nich pomyśleć coś, co jest prawdziwe o nich wszystkich”

W rachunku zbiorów rozważane są operacje, które odnoszą się i do zbiorów skończonych i nieskończonych. Czasami się mówi o nim „algebra klas”.

Określenie zbioru, pochodzące od Cantora, jest następujące:

„Przez <<zbiór>> rozumiem każdą wielość, która da się pomyśleć jako jedność, tz. Każdy ogół określonych elementów, który można za pomocą jakiegoś prawa powiązać [myślowo] w całość”

„Przez <<zbiór>> rozumiem ujęcie w całość (jedność) M określonych, dobrze wyróżnionych przedmiotów m - zwanych „elementami M” - naszego przedstawienia (intuicji) lub naszej myśli”

Powyższe określenie, charakteryzujące pojęcie zbioru, określane jest mianem PEWNIKA ABSTRAKCJI lub PEWNIKA DEFINICYJNEGO.

Symbolicznie: ∃y ∀x (x ∈ y ⇔ α(x)) - istnieje coś takiego, że jeśli o czymkolwiek można coś prawdziwie orzec, to do niego należy)

Pewnik ten (plus pewnik ekstensjonalności) to podstawa NAIWNEJ TEORII MNOGOŚCI

Jeśli α(x) jest formułą, której jedyną zmienną indywiduową jest x, zaś a jest nazwą przedmiotu p, to napis α(a) oznacza wyrażenie powstające poprzez podstawienie nazwy a w miejsce zmiennej x. jeżeli zdanie α(a) jest prawdziwe, to mówimy, że przedmiot p spełnia formułę α. Operację, która polega na przyporządkowaniu formule wszystkich przedmiotów, które ją spełniają nazywamy operacją abstrakcji/operatorem abstrakcji, co notujemy: {x: α(x)} - jest to zbiór przedmiotów p, których nazwa a wstawiona w miejsce zmiennej x czyni z α zdanie prawdziwe.

Prowadzi on do sprzeczności

Z = {x: non (x ∈ x)} lub x ∈ z ⇔ non (x ∈ x)

Osłabienie mówi, że dla każdego zbioru utworzyć można podzbiór jego elementów, spełniających pewną funkcję zdaniową (tzw. aksjomat wyróżniania): ∀A ∃B ∀x (x ∈ B ⇔ (x ∈ A ∧ α(x)))

Przyjęliśmy, że zbiorami są zakresy nazw. Zbiorem jest ogół wszystkich przedmiotów, o których dana nazwa może być prawdziwie orzekana. Każda nazwa wyznacza pewien zbiór. Wszystkie zbiory są odniesione do jakiegoś uniwersum - np. w uniwersum ciał niebieskich możemy wyznaczyć zbiory planet, gwiazd, komet, zbiory galaktyk itd.

Elementami zbioru są elementy, które należą do niego. Elementami zbioru planet jest Mars, Ziemia itd. to, że element x należy do zbioru A zaznaczamy pisząc: x∈A. Zbiory wyznaczać można za pomocą funkcji zdaniowych, czyli wyrażeń, które nie są zdaniami logicznymi, np.: x jest planetą. Następnie konstruujemy abstrakcyjny przedmiot: ogół x-ów spełniających daną funkcję zdaniową (czyli tych ogół tych przedmiotów, o których funkcja zdaniowa może być prawdziwe orzeczona). Symbolem tej czynności są nawiasy { }. Zwrot: ogół ciał niebieskich będących planetami zapisujemy: {x: x jest planetą}

Zbiór pusty ∅ - zbiór, który nie ma żadnych elementów, zbiór uniwersalny U - zbiór, do którego należy każdy element.

Działania

x∈A∪B ztw x∈A lub x∈B zbiór mężczyzn ∪ zbiór kobiet = zbiór ludzi

x∈A∩B ztw x∈A i x∈B zbiór mężczyzn∩zbiór kobiet=∅

x∈A-B ztw x∈A i ¬(x∈B) zbiór ludzi - zbiór mężczyzn= zbiór kobiet

x∈A' ztw ¬(x∈A) (zbiór czynów indyferentnych)' = zbiór czynów zakazanych albo nakazanych

Chociaż niektóre operacje na zbiorach mogą być określone na drodze aksjomatycznej, my podamy je za pomocą definicji:

Operator abstracji: x ∈ {y: α(y)} ⇔_df α(x)

Definicja równości zbiorów: A = B ⇔_df (∀x) (x∈A ⇔ x∈B) [dwa zbiory są równe, gdy mają takie same elementy]

Definicja zawierania się zbiorów: A ⊆ B ⇔_df (∀x) (x∈A ⇒ x∈B) [każdy A jest B, nie ma takiego A, który nie jest B]

Definicja rozłączności zbirów A, B: A)(B ⇔_df (∀x) (x∈A ⇒ x∉B) [żaden A nie jest B, nie ma takiego, że jednocześnie byłby i A i B]

Definicja krzyżowania się zbiorów: A B ⇔_df [(∃x) (x∈A ∧ x ∈B) ∧ (∃x) (x∈A ∧ x∉B) ∧ (∃x) (x∉A ∧ x∈B)] [tylko niektóre przedmioty A są B i tylko niektóre B są A]

Definicja zbioru pustego: A=∅ ⇔_df (∀x) ¬(x∈A)

Definicja zbioru pełnego (uniwersum): A=U ⇔_df (∀x) (x∈A)

Definicja dopełnienia zbioru do uniwersum: x∈A' ⇔_df (¬(x∈A) ∧ x∈U)

Definicja iloczynu zbiorów: x∈A∩B ⇔_df (x∈A ∧ x∈B)

Definicja sumy zbiorów: x∈A∪B ⇔_df (x∈A ∨ x∈B)

Definicja różnicy zbiorów: x∈A-B ⇔_df (x∈A ∧ ¬(x∈B))

ZBIORY 2

Sprawdź, czy jest prawem rachunku zbiorów:

2. A ⊆ A

3. ∅ ⊆ A

4. A ⊆ A ∪ A

5. A∩B ⊆ A

6. A )( A'

7. A ∪ A = A

8. A ∩ A = A

9. A ∩ ∅ = ∅

10. A ∪ ∅ = A

11. A ∩ U = A

12. A ∪ U = U

13. A - A = ∅

14. A - ∅ = A

15. U - A = A'

16. A∪B = B∪A

17. A∩B = B∩A

18. (A∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

19. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

20. A ∩ (B ∪ C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

21. A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

22. A ∪ A' = U

23. A ∩ A' = ∅

24. A )( B ⇔ (A ∩ B = ∅)

25. A ⊆ B ⇔ (A∪B = B)

26. A ⊆ B ⇔ (A∩B=A)

27. A - B = ∅ ⇔ A ⊆ B

28. A∩ (B - C) = (A∩B) - (A∩C)

29. (A⊆ B I B⊆ C) ⇒ A ⊆ C

30. A∪B ⊆ C ⇔ A⊆C ∧ B⊆C

31. A=B ⇔ A∪C = B∪C

32. A=B ⇔ A∩C = B∩C

Pogrubione - aksjomatyka algebry Boole'a (plus reguła zastępowania członów równości oraz reguła podstawiania dowolnych wyrażeń reprezentujących zbiory za POJEDYNCZE ZMIENNE)

ZBIORY 3

1. Zapisz posługując się notacją teorii zbiorów:

2. Cokolwiek żyje, umrzeć musi

3. Nie każdy, kto mieszka we Francji, jest Francuzem.

4. Nie wszystkie nerwice staja się psychozami

5. Zwierzęta żerujące nocą są zawsze drapieżnikami

6. Wśród pracowników agencji reklamowych zdarzają się osoby bez wyższego wykształcenia

7. Ani jednemu Grekowi nie udało się uciec spod Termopil

8. Kategoryczne twierdzenie to niekoniecznie naga prawda

9. Między barbarzyńcami nie było nikogo, kto zostałby senatorem czy tym bardziej konsulem

10. Tylko purytanie mieli właściwy stosunek do pracy

11. Tylko niektórzy filozofowie obdarzeni są zmysłem metafizycznym

12. Pewne nasze działania sa bezcelowe, a pewne nie

13. Wszystkie kobiety są próżne i lekkomyślne

14. Dzieci i szaleńcy mówią zawsze szczerze

15. sztuczne zapłodnienie, a także wynajmowanie łona, nie jest nigdy czynem moralnie obojętnym

16. Członkiem komisji ds. młodzieży są sami starcy lub urzędnicy

17. Nikt, kto pracuje zawodowo i studiuje, nie uprawia sportu

18. Nie jest tak, że relacja współczesna jakiemuś wydarzeniu jest wiarygodna, a nie-współczesna niewiarygodna

19. Utwór nieepicki (A) nie może być powieścią (B)

20. Kto uprawia sport ekstremalny (A) stanowi połączenie maniaka (B) i lekkoducha (C) w jednej osobie

21. Jeżeli pewne kraje się bogacą, tym samym pewne kraje biednieją

2. Określ związki między parami:

a) Premier RP Rada Ministrów RP

b) Premier RP Sejm RP

c) Premier RP zbiór wszystkich obywateli RP

d) Rada Ministrów RP zbiór wszystkich gabinetów rządowych RP

e) zbiór gabinetów rządowych RP zbiór wszystkich obywateli RP

f) Sejm RP zbiór obywateli RP

g) zbiór wszystkich posłów na Sejm RP zbiór wszystkich obywateli RP

3. Określ związki między następującymi zbiorami:

1. A = zbiór zdań w sensie logiki, B = zbiór prawd analitycznych, C = zbiór prawd logicznych, D = zbiór tautologii, E = zbiór wnioskowań dedukcyjnych

2. A = zbiór palców, B = zbiór dłoni, C = zbiór rąk, D = zbiór kończyn, E = zbiór części ciała

3. A = zbiór wegan, B = zbiór Hindusów, C = zbiór Indusów, D = zbiór kast hinduistycznych, E = zbiór religii

4. A = zbiór nie-powieści, B = zbiór utworów pisanych prozą, C = zbiór nowel, D = {zbiór powieści Erenburga, zbiór powieści Celina}, E = zbiór powieści A. Mickiewicza

5. A = zbiór filozofów starożytnych, B = {Sokrates, Platon, Arystoteles}', C = zbiór filozofów nowożytnych, D = zbiór psów

6. A = zbiór kartek, B = zbiór książek, C = zbiór gazet, D = zbiór bibliotek, E = zbiór utworów Cervantesa, F = {Kultura logiczna w przykładach}

7. A = zbiór Polaków, B = zbiór ludzi mówiących po polsku, C = zbiór mieszkańców Litwy, D = zbiór osób mówiących po litewsku

A = zbiór osób urodzonych w Wilnie, B = zbiór Litwinów, C = zbiór narodów, D = zbiór dużych grup ludzi mówiących tym samym językiem4. Które z podanych niżej implikacji są prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B, C (gdy zbiór A krzyżuje się ze zbiorem B - piszemy `AxB'):

a) (AxB ∧ BxC) ⇒ AxC

b) (A⊆B ∧ BxC) ⇒ AxC

c) (A)(B ∧ BxC) ⇒ A)(C

d) (AxB ∧ B⊆C) ⇒ A⊆C

e) (AxB ∧ B)(C) ⇒ AxC

f) (AxB ∧ B⊆C) ⇒ ¬(A)(C)

g) (AxB ∧ B)(C) ⇒ ¬(A⊆C)

h) (A∈B ∧ B)(C) ⇒ ¬(A∈C)

i) (A)(B ∧ B∈C) ⇒ ¬(A∈C)

5. Jakie stosunki zachodzą między zbiorami A, B, C, D:

A = {A. Einstein, zbiór poetów, Paryż}

B = {zbiór fizyków, A. Mickiewicz, Francja}

C = {{A. Einstein}, {A. Mickiewicz}, zbiór stolic europejskich}

D = {zbiór poetów, zbiór uczonych, zbiór miast europejskich}

6. Sprawdź za pomocą wykresów, które z poniższych implikacji są prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B, C:

2. (A∩C'=∅ ∧ B∩A≠∅)⇒B∩C≠∅

3. (A∩C=∅ ∧ B∩A≠∅)⇒B∩C'≠∅

4. (A-B=∅ ∧ C-B=∅)⇒A-C=∅

5. (A-B=∅ ∧ C-B≠∅)⇒C-A≠∅

6. (A∪B≠∅ ∧ B∪C≠∅)⇒A∪C≠∅

7. (A∩B⊂C' ∧ A∪C⊂B)⇒A∩C=∅

8. (A∩B⊂C' ∧ A∪C⊂B)⇒A∩C=∅

9. ((A∩B') - C = ∅ ∧ (A∪C) - B' = ∅) ⇒ A∩B = ∅

10. ((A∩B) - C' = ∅ ∧ (A∪C) - B' = ∅) ⇒ A∩C = ∅

11. ((A'∩B) - C = ∅ ∧ (A∪C) - B = ∅) ⇒ A∩B' = ∅

13. (A⊂(B∪C)' ∧ C⊂A' ∧ B⊂(A∪C)') ⇒ (B∪C)'⊂A

14. (A'⊂(B∩C)' ∧ C⊂A' ∧ B⊂(A∪C')) ⇒ (B∪C)'⊂A

15. (A⊂(B∪C)' ∧ B⊂(A∪C)') ⇒ B=∅

7. Sprawdź za pomocą diagramów Venna następujące równości:

2. (A∪B)' = A' ∪ B'

3. (A∩B)' = A' ∩ B'

4. (A-B)' = A'-B'

5. (A-B)' = A'∪(A∩B)

6. A'-B' = B-A

7. (A∪B)-C = (A-C)∪(B-C)

8. (A∩B)∪C' = ((A'∪B') ∩C)

9. A - (A∩B) = A - B

10. (A∪B) B = A

11. (A∪B) - B = A - B

12. A ∪ (A∩B) = A

13. A - (A - B) = A∩B

14. A∩(B - C) = (A∩B) - (A∩C)

15. A - (B - C) = (A - B) - C

16. (A - B) ∪ B = A ∪ B

17. A∩(B - C) = (A∩B) - (A∩C)

Wykorzystując zasadę ekstensjonalności oraz definicje działań na zbiorach i stosunków między zbiorami można budować formalne dowody praw rachunku zbiorów. Na przykład dowodząc równości

A ∩ B = A - (A - B)

Dowodzimy równoważności:

x∈A ∩ B ⇔ x∈A - (A - B)

Dowód będzie ciągiem wyrażeń, z których pierwsze jest jednym z członów dowodzonej równoważności, któremu z kolei każde po nim następujące będzie równoważne na mocy odpowiedniej definicji lub tautologii rachunku zdań, ostatnie zaś wyrażenie jest drugim członem dowodzonej równoważności

Zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami, to rodzina zbiorów

Definicja (niepustej) sumy rodziny zbiorów: x∈∪R ⇔_df (∃y)(x∈y ∧ y∈R)

R = {{a,b}, {{a, b}, c}, {{{d}}} } suma rodziny zbiorów R = {a, b, c {a, b}, {{d}} }

Podziałem niepustego zbioru U nazywamy rodzinę zbiorów Π spełniającą następujące warunki:

1. (∀X)(X∈Π ⇒ X≠∅)

2. (∀X)(∀Y)[(X∈Π ∧ Y∈Π)⇒X∩Y≠∅]

3. ∪Π = U

Skrzyżowaniem podziałów Π₁, Π₂ nazywamy rodzinę zbiorów, której elementami są wszystkie iloczyny elementów Π₁przez elementy Π₂, czyli rodzinęΠ₃ spełniająca następujące warunki:

1. (∀X)(∀Y) [(X∈Π₁ ∧ Y∈Π₂)⇒ X∩Y ∈Π₃]

2. (∀Z)(Z∈ Π₃⇒ (∃X)(∃Y)(X∈Π₁ ∧ Y∈Π₂ ∧ Z=X∩Y))

---