GRUPA I	DETKA MAGDALENA	11 IŚ
M 3	Wyznaczanie stosunku Cp/Cr dla powietrza metodą Clementa i Desormes'a
13.12.1999		Ocena

Przemiany gazowe należą do procesów termodynamicznych, w opisywaniu których znajdują zastosowanie zasady termodynamiki. Stan gazu określony jest przez podanie trzech jego parametrów: temperatury T, objętości V i ciśnienia p.

Jeżeli masa gazu pozostaje stała, wówczas wymienionych wyżej wielkości nie można zmieniać w sposób dowolny, gdyż są one ze sobą związane, tzw. Równanie stanu.

Dla gazu doskonałego równanie to nosi nazwę równania Clapeyrona i ma postać:

PV=m/M∗RT

gdzie: m-masa, M-masa cząsteczkowa, R-uniwersalna stała gazowa (R=8.314 ∗ 10³ J / kmol ∗ K).

Przemiana gazowa może obejmować zmianę wszystkich trzech parametrów stanu. Można jednak stworzyć takie warunki, by jeden z parametrów pozostał niezmieniony.

Proces zachodzący w stałej temperaturze nazywa się izotermicznym, przy stałym ciśnieniu - izobarycznym, w stałej objętości - izochorycznym. Wykresy ilustujące te sytuacje przedstawia rysunek nr 1:

p

T₂

T₁

V

Izotermy ( T₂ > T₁ )

PV = const. ( prawo Boyle'a i Mariotte'a )

V

P₂

P₁

T

Izobary ( p_{2 <} p_{1 )}

V = const. ( prawo Gay - Lussaca ).

p

V₂

V₁

T

Izochory ( V_{2 <} V_{1 )}

p = const. ∗ T ( prawo Charlesa ).

Rys. 1 Przemiany gazowe

W przemianie izotermicznej gaz rozszerzając się wykonuje pracę. Doświadczenia pokazały, że dla gazów doskonałych energia wewnętrzna zależy tylko od temperatury. Oznacza to, że przy przemianie izotermicznej energia wewnętrzna pozostaje stała, więc z pierwszej zasady termodynamiki:

- W = Q

Okazuje się, że wykonana przez gaz praca odbywa się kosztem dostarczaqnego z zewnątrz ciepła. Zatem całkowita praca W wyrazi się wzorem:

W = _V1∫ ^V2 pdV

Z równania Clapeyrona otrzymujemy:

mRT / M ln V₂ / V₁

Obliczamy teraz dla gazu doskonałego różnicę pomiędzy ciepłem właściwym w przemianie izobarycznej ( Cp ) i izochorycznej ( Cr ).

Weźmy pod uwagę 1 mol gazu doskonałego zamknięty w stałej objętości. Do ogrzania tego gazu o ΔT potrzebne jest ciepło Q:

Q = Cr ∗ ΔT = Cr ∗ΔT

gdzie: Cr - ciepło molowe ( pojemność cieplna jednego mola gazu ).

Ponieważ w przemianie izochorycznej gaz nie wykonuje żadnej pracy, więc zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki ΔU = Q = Cr ΔT.

Gdy ten sam gaz chcemy ogrzać o T pod stałym ciśnieniem wówczas:

Q = Cp∗ ΔT

Gaz wykonuje przy tym pracę W = -p ∗ΔV, więc pierwsza zasada termodynamiki przyjmie teraz postać: ΔU = Q - Cp ∗ΔV.

Zmiana energii wewnętrznej w obu przemianach jest identyczna ze względu na to, że energia gazu doskonałego zależy tylko od temperatury. Otrzymujemy więc:

Cp - Cr = R

Przemianę gazową można również zrealizować w takich warunkach, by nie dopuścić do wymiany ciepła z otoczeniem. Proces taki nosi nazwę adiabatycznego.

Wprowadzamy teraz równanie adiabaty (równanie Poissona ). Z definicji przemiany dQ = 0. Korzystając ze związków: dW = -pdV, dU = Cr dT oraz pierwszej zasady termodynamiki dU = dQ + dW, możemy zapisać:

-pdV = Cr dT

Z równania stanu gazu --> [Author:D] p = RT / V stąd:

R dV / Cr V = dT / T

Podstawiając zależność dostajemy:

• Cp - Cr / Cr ∗ dV / V = dT / T

Czyli:

• ( H - 1 ) dV / V = dT / T

gdzie: H = Cp / Cr

Całkowity obustronnie:

• ( H - 1 ) ( ln V₂ - ln V₁ ) = ln T₂ - ln T₁

ln T₂ + ( H - 1 ) ln V₂ = ln T₁ + ( H - 1 ) ln V₁

V ^{H - 1} T = const.

Pracę w tym procesie obliczamy ze wzoru:

dW = dU = Cr dT

W = _T1 ∫^T2 Cr dT = Cr ΔT

Po dokonaniu koniecznych przekształceń, otrzymujemy wzór mający postać:

H = p1 / p1 - p2,

Który pozwala na określenie wartości H.

i	yi = hi	h'i	xi = hi - h'i	xi ∗ yi	xi^2	εi ^2= ( yi - H∗ xi )^2
1	16.3	3.8	12.5	203.75	156.25	0.008
2	17.5	4.2	13.3	232.75	176.89	0.004
3	16.7	4.0	12.7	212.09	161.29	0.003
4	15.9	3.6	12.3	195.57	151.29	0.051
5	15.7	3.5	12.2	191.54	148.84	0.087
6	16.4	3.8	12.6	206.64	158.76	0.014
7	17.9	4.5	13.4	239.86	179.56	0.111
8	14.9	3.6	11.3	168.37	127.69	0.007
9	17.6	4.1	13.5	237.60	182.25	0.010
10	18.1	4.5	13.6	246.16	184.96	0.073

Współczynnik H obliczamy ze wzoru:

∑xi ∗ yi

∑ xi ²

203.75 + 232.75 + 212.09 + 195.57 + 191.54 + 206.64 + 239.86 + 168.37 + 237.6 + 246.16

156.25 + 176.89 + 161.29 + 151.29 + 148.84 + 158.76 + 179.56 + 127.69 + 182.25 + 184.96

2134.33

1627.78

Obliczamy:

ε_i² =( yi - H ∗ xi )²

ε₁² = (16.3 - 1.311 ∗ 12.5)² = ( - 0.088 ) = 0.008

ε₂² = (17.5 - 1.311 ∗ 13.3)² = ( 0.064 ) = 0.004

ε₃² = (16.7 - 1.311 ∗ 12.7)² = ( 0.05 ) = 0.003

ε₄² = (15.9 - 1.311 ∗ 12.3)² = ( - 0. 225 ) = 0.051

ε₅² = (15.7 - 1.311 ∗ 12.2)² = ( - 0.294 ) = 0.087

ε₆² = (16.4 - 1.311 ∗ 12.6)² = ( - 0.119 ) = 0.014

ε₇² = (17.9 - 1.311 ∗ 13,4)² = ( 0. 333 ) = 0.111

ε₈² = (14.9 - 1.311 ∗ 11.3)² = ( 0.086 ) = 0.007

ε₉² = (17.6 - 1.311 ∗ 13.5)² = ( - 0.099 ) = 0.010

ε₁₀² = (18.1 - 1.311 ∗ 13.6)² = ( 0.270 ) = 0.073

W celu oszacowania błędu wyznaczenia tą metodą wielkości H, obliczamy:

1 .

S² = n - 2 ∑ ( yi - H ∗ xi )²,

S² .

δ_k² = ∑ xi ²

S² = 1/ (10 - 2) ∗ 0.368 = 0.368 / 8 = 0.046

δ_k^{2 =} 0.046 / 1627.78 = 0.000028

Następnie przyjmujemy oszacowanie błędu:

ΔH = √δ_k²

ΔH=√0.000028 = 0 0053

Obliczona wartość H wraz z oszacowanym błędem wynosi 1.311 +/- 0.005

---