Lub „ Stawiamy hipotezę zerową głoszącą, że różnica pomiędzy parametrami θ a jego oceną T jest statycznie nieistotna ( jest na poziomie zerowym ) - stąd jej nazwa „hipoteza zerowa”

H₁ - hipoteza alternatywna (dla każdej hipotezy zerowej określa się hipotezę alternatywną) w postaci

lub
lub

Dwie ostatnie postaci hipotezy alternatywnej określa się jako hipotezy jednostronne.

Postawioną hipotezę zerową weryfikuje się za pomocą odpowiedniego sprawdzianu zwanego testem, który określa się jako zmienną losową w postaci :
wyznaczającą różnicę, dla której następnie buduje się obszar krytyczny odrzuceń hipotezy zerowej na podstawie wartośći krytycznej
dla danego poziomu istotności α.

TESTY DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ POPULACJI

Model I

Badana cecha w populacji ma rozkład normalny N(μ,σ), przy czym σ jest znane. Na podstawie n-elementowej próby zeryfikować hipotezę zerową:

jest konkretną hipotetyczną wartością średniej, wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej)

Test dla hipotezy zerowej jest następujący :

1. Na podstawie wyników z próby oblicza się

- wartość średnią

- wartość zmiennej standaryzowanej u wg wzoru:

2. Z tabeli rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1) , dla założonego poziomu istotności αwyznacza się wartość krytyczną
taką by zachodziło:

Obszar krytyczny testu określany jest zależnością

tzn. że gdyż próby otrzymamy taką wartość u , że zachodzi

to hipotezę zerową H₀ odrzucamy. W przypadku przeciwnym , gdy zachodzi
nie ma podstaw do odrzucenia H₀

Uwaga: Powyższy test jest testem z dwustronnym obszarem krytycznym i stosuje się do tylko dla dwustronnej hipotezy alternatywnej

Przypadek 1

Hipoteza alternatywna H₁ma postać :

W tym przypadku stosuje się test z lewostronnym obszarem krytycznym określonym nierównością

przy czym u_α wyznacza się z tab. rozkładu normalnego standaryzowanego w taki sposób by była spełniona zależność:

Hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wyznaczona z próby wartość zmiennej u spełnia nierówność:

Przypadek 2

Hipoteza alternatywna ma postać

W tym przypadku stosuje się test z prawostronnym obszarem krytycznym, określonym nierównością :

przy czym wartość u_α wyznacza się z tab. rozkładu normalnego standaryzowanego w taki sposób by była spełniona zależność:

Hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wyznaczona z próby wartość zmiennej u spełnia nierówność:

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,σ), przy czym odchylenie standardowe w populacji σ jest nieznane. W oparciu o wyniki małej n-elementowej próby zweryfikować hipotezę zerową :

μ₀ - konkretna hipotetyczna wartość średniej, wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej)

Test dla hipotezy zerowej jest następujący;

1. Na podstawie wyników z próby oblicza się

- wartość średnią

- odchylenie standardowe s

- wartość statystyki - zmiennej t wg wzoru:

, ktorą przy prawidłowości hipotezy zerowej ma rozkład t-studenta o n-1 stopniach swobody

2. Z tablic t-studenta, dla ustalonego poziomu

istotności α i dla n-1 stopni swobody odczytuje się taką wartość t_α, by zachodziło:

Obszar krytyczny testu określony jest zależnością:

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość t , e zachodzi:

to hipotezę zerową H₀ odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

nie ma podstaw do odrzucenia H₀

Model III

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,σ) lub dowolny inny, o średniej μ i skończonej i niezależnej wariancji σ. Na podstawie wyników n-elementowej próby zweryfikować hipotezę zerową:

gdzie μ₀ - konkretna hipotetyczna wartość średniej, wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej)

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. Na podstawie wyników z próby oblicza się

- wartość średnią

- odchylenie standardowe s

- wartość zmiennej standaryzowanej u wg wzoru:

2. Z tabeli rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1) , dla założonego poziomu istotności αwyznacza się wartość krytyczną
taką by zachodziło:

Obszar krytyczny testu określany jest zależnością

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość u , że zachodzi:
to hipotezę zerową H₀ odrzucamy. Przy
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy.

TEST DLA RÓWNOŚCI ŚREDNICH DWÓCH POPULACJI

W zastosowaniach praktycznych często zachodzi potrzeba sprawdzenia hipotez dotyczących równości wartości średnich w dwóch populacjach. W zależności od tego jak duży materiał doświadczalny

Jest w dyspozycji stosuje się jeden z trzech modeli.

Model I

Badamy dwie populacje generalne wktorych analizowane parametry mają rozkłady normalne N(μ₁ , σ₁) , N(μ₂ , σ₂), przy czym znane sa odchylenia standardowe w tych populacjach σ₁,σ₂. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób o liczebnościach odpowiednio n₁ , n₂ należy sprwadzić słuszność hipotezy zerowej

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej)

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

. Na podstawie wyników z próby oblicza się

- wartość średnią

- wartość zmiennej standaryzowanej u wg. wzoru

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany N(0,1)

Model II

Badamy dwie populacje generalne w który analizowane parametry mają rozkłady normalne N(μ₁ , σ₁) , N(μ₂ , σ₂), przy czym odchylenie standardowe w obu populacjach σ₁,σ₂ są nieznane ale jednakowe σ₁=σ₂. W oparciu o wyniku dwu niezależnych małych prób o liczebnościach odpowiednio n₁ , n₂ należy sprawdzić słuszność hipotezy zerowej

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej)

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

. Na podstawie wyników z próby oblicza się

- wartość średnią

- wariacje s₁ , s₂

- wartość statystyki - zmiennej t wg. wzoru:

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład t-studenta o (n₁+n₂-2)stopniach swobody.

Model III

Badamy dwie populacje generalne w który analizowane parametry mają rozkłady normalne N(μ₁ , σ₁) , N(μ₂ , σ₂), lub inne o skończonych wariancjach
które są nieznane.

W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób o liczebnościach odpowiednio n₁ , n₂ należy sprawdzić słuszność hipotezy zerowej

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej)

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

. Na podstawie wyników z próby oblicza się

- wartość średnią

- wariancje

- wartość zmiennej standaryzowanej u wg wzoru

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany N(0,1)

TEST DLA WARIANCJI POPULACJI

W praktyce duża wariancja jest niekorzystna, gdyż oznacza dużą niejednorodność analizowanej cechy, dlatego też przy weryfikacji hipotez dotyczących wariancji przyjmuje się jako hipotezę alternatywną z obszarem krytycznym prawostronnym.

Model

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,σ)przy czym paramtery μ i σ są nieznane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikować hipotezę zerową:

gdzie
jest konkretną, hipotetyczną wartością wariacji, wobec hipotezy alternatywnej (prawostronnej)

Test dla hipotezy zerowej

1.Na podstawie wyników z próby

- wariację z próby s²

- wartość zmiennej (statystyki )
wg. wzoru:

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład X² o (n-1) stopniach swobody

2. Z tablic rozkładu X² dla założonego poziomu istotność α i (n-10 stopniach swobody wyznacza się wartość krytyczną
taką by zachodziło:

Nierówność
określa prawostronny obszar krytyczny odrzuceń tzn. gdy jest spełniona należny odrzucić hipotezę zerową H₀ na rzecz hipotezy alternatywnej H₁

TEST DLA RÓWNOŚCI WARIANCJI W DWÓCH POPULACJACH

Model

Rozpatrujemy dwie populacje w których badana cecha ma odpowiednio rozkład normalny N(μ₁ , σ₁) , N(μ₂ , σ₂),przy czym parametry tych rozkładów są nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób o liczebnościach odpowiednio n₁,n₂ należy sprawdzić słuszność hipotezy zerowej.

wobec hipotezy alternatywnej(dwustronnej)

Test dl hipotezy zerowej jest następujący:

1.Na podstawie wyników z próby

- wariancje z prób
, przy czym

- wartość zmiennej (statystyki) F wg. wzoru

który ma rozkład F-snedecora z(n₁-1,n₂-2)stopniami swobody

2. Z tablic rozkładu F-snedecora dla założonego

poziomu istotności α odczytuje się wartośc krytyczną F_α, taką by zachodziło:

Nierówność
określa prawostronny obszar krytyczny teście tzn

Dla
-odrzucamy hipotezę zerową H₀ na rzecz hipotezy alternatywnej.

Dla
przyjmujemy hipotezę zerową H₀

NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚĆI

Dotyczą postaci rozkładów tzn. weryfikuje się hipotezę o postaci funkcyjnej rozkładu populacji generalnej.

Warunki przeprowadzenia testów nieparametrycznych:

• liczebność próby duża

• próba jest losowa

• poziom istotności jest niemniejszy niż 0.1

W celu zweryfikowania hipotezy o postaci rozkładu empirycznego uzyskanego z próby z rozkładem teoretycznym( hipotetycznym)

Model

Populacja generalna ma dowolny rozkład o dystrybuancie należącej do pewnego zbioru Ω rozkładów o określonym typie postaci funkcyjnej dystrybuanty. Z populacji tej wylosowano dużą próbę (n>30), której wyniki podzielono na r rozłącznych klas o liczebnościach n_i, w każdej klasie

Otrzymano w ten sposób tzw. szereg rozdzielczy.

Na podstawie wyników z tej próby, należy sprawdzić hipotezę zerową H₀, że populacja generalna ma rozkład typu Ω, tzn.:

Gdzie F(x) jest dystrybuantą rozkładu populacji.

Test zgodności

Wprowadzamy charakterystykę, będącą miarą odległości między dystrybuantą rozkładu empirycznego a dystrybuantą rozkładu hipotetycznego.

n_i- liczebność empiryczna i-tego przedziału klasowego (nie powinna być <10)

r- liczba przedziałów klasowych

p_i- prawdopodobieństwo( częstość empiryczna) odpowiadające wartości badanej cechy w tej klasie

Statystyka
ma przy założeniu prawdziwości H₀ i przy
rozkładu
o r stopniach swobody lub o ( r-k-1) stopniach swobody, gdy na podstawie próby oszacowano k parametrów.

Utworzony szereg rozdzielczy jest rozkładem empirycznym.

Jako rozkład teoretyczny najczęściej przyjmuje się :

- rozkład dwumianowy(Bernoulliego)

- rozkład POISSONA
- rozkład normalny

Obliczoną statystykę
należy porownać z wartością krytyczną
odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat, przy ustalonym poziomie istotności α i określonej liczbie stopni swobody.

Obszar krytyczny w tym teście buduje się prawostronnie, tzn. tak aby spełniona była relacja:

Jeśli zachodzi

to H₀należy odrzucić (gdyż różnica między rozkładem empirycznym a hipotetycznym, jest statystycznie istotna)

Metody analizy współzależności

Typy zależności :

- funkcjonalna - zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określoną zmianę drugiej zmiennej (jednej zmiennej X odpowiada tylko jedna wartość drugiej zmiennej Y), np. pole kwadratu

- stochastyczna - ze zmianą jednej zmiennej zmienia się rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej.

Zależność korelacyjna : szczególny przypadek zależności stochastycznej. Polega na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej.

X,Y - wartości badanych zmiennych:

- korelacja liniowa dodatnia

- korelacja liniowa ujemna

- korelacja krzywoliniowa

- brak korelacji

KOWARIANCJA

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona, jest wyznaczany poprzez standaryzację kowariancji

s(x), s(y) - odchylenie standardowe zmiennych x,y

Kowariancja :

Cov(x,y)=0 brak zależnośći korelacyjnej

Cov(x,y)<= ujemna zależność korelacyjna

Cov(x,y)> dodatnia zależność korelacyjna

Analiza regresji

Oszacowanie funkcji regresji

u_i składnik resztowy określany jako

Szacowanie parametrów funkcji regresji MNK (metodą najmniejszych kwadratów)

To wyrażenie jest funkcją dwóch zmiennych a₀ i a₁, a zatem należy znaleźć minimum funkcji kwadratowej dwóch zmiennych.

WK ekstremum

Zarowanie się pochodnych cząstkowych

Jeśli przyrównamy pochodne do zera to po przekształceniach i uproszczeniu

---