μ- lepkość; υ- współcz lepk kinem; Jx-moment bezwł; Zs-głeb środka geom; Zs*-gł środk ciężk rzutu;ys-srodek geom figury; Jx-geom.moment bezwł;Mx-moment statyczny; η-odl środka naporu od osi x,;;

η=ys+^Jox/_Mx;;Jox=^bh3/₁₂; Mx=ysF,;Jx=Jox+ys²F,; Napór hydraul. N=ρgZsF,; Nx=ρgZs*F*,;Nz=ρgV,;N=√Nx²+Nz²,;

Równ Bernoul. PV²/2g+p+ρgz=const,; równ Cornolisa Vśr=^Q/_F

Miarą lepkości jest współczynnik lepkości dynamicznej, który występuje jako współczynnik proporcjonalności we wzorze Newtona na naprężenia styczne:

τ = - μ^{d υ}/_dn.; współczynnik lepkości kinematycznej υ =^μ/_ρ

Siły działające w płynach:

1. Masowe (objętościowe): siły grawitacji, siły bezwładności (d'Alamberta). Siły te odniesione do jednostki masy mają wymiar przyspieszenia).

2. Powierzchniowe, które mogą być normalne lub styczne do rozpatrywanych powierzchni. W zagadnieniach statyki znaczenie mają tylko siły normalne. Płyny mają znikomą zdolność do przenoszenia naprężeń rozciągających, stąd praktyczne znaczenie mają tylko siły ściskające. Siły powierzchniowe odniesione do jednostki powierzchni mają wymiar ciśnienia.

Wydatek objętościowy

Wydatkiem objętościowym strugi będziemy nazywali iloczyn prędkości przez pole przekroju w płaszczyźnie prostopadłej do wektora prędkości.

DQ=VdS_n=VndS=VdScosα

Gdzie n oznacza wersor powierzchni S. „Zwrot” powierzchni jest określony zwrotem normalnej; przyjmuje się, że zwrot jest dodatni, jeżeli jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości (wydatek musi być dodatni).

Wydatek strumienia nazywany jest również strumieniem wektora. Wyrażenie

dQ/dS=Wn=lim_Δs-0ΔQ/ΔS Nazywa się natężeniem pola wektorowego. Jest ono w danym punkcie pola równe rzutowi wektora na na normalną do elementu powierzchni dS.

RÓWNANIE RUCHU EULERA

Rozpatrujemy element płynu o wymiarach dx, dy, dz. Na element ten działają tylko siły masowe oraz siły powierzchniowe. W przypadku płynu doskonałego (nielepkiego i nieściśliwego) siłami powierzchniowymi mogą być tylko siły normalne ściskające.

Rys. W2/2. Siły działające na element płynu

Równanie ciągłości dla ruchu ustalonego płynu ściśliwego

Rozpatrujemy dwa przekroje strugi płynu ściśliwego. Zakładamy, że przekroje te stanowią powierzchnie przez które może przenikać materia; powierzchnie boczne niech będą ściankami nieprzepuszczalnymi (np. rzeczywiste ścianki rury).

Przez przekrój a wpływa do przestrzeni kontrolnej masa ρ_aV_aF_a. W tym samym czasie przez przekrój b wypływa masa ρ_bV_bF_b. Z warunku zachowania masy w objętości kontrolnej wynika, że ρ_aV_aF_a= ρ_bV_bF_b.

Równanie to jest słuszne dla jednowymiarowego przepływu ustalonego czynnika ściśliwego. Z równania tego wynika bardzo ważny wniosek dotyczący przepływów w przewodach o zmiennym przekroju: zmiana średnicy przewodu musi powodować zmiany gęstości płynu oraz jego prędkości. W przypadku płynów nieściśliwych zmiana przekroju przewodu powoduje jedynie zmianę prędkości przepływu.

Napór cieczy na ścianki naczynia

Powierzchnie ścianek naczyń wypełnionych płynem poddane są oddziaływaniom sił powierzchniowych, w tym wypadku ciśnień. naporem elementarnym nazywamy siłę działającą na element powierzchni. Siła ta jest prostopadła do elementu powierzchni i ma zwrot zgodny z kierunkiem normalnej zewnętrznej. Wypadkową siłę naporu na ścianki naczynia nazywamy naporem hydrostatycznym.

Napór na płaskie ściany poziome

W naczyniu otwartym, wypełnionym cieczą, ciśnienie w każdym punkcie zanurzonym pod powierzchnią na głębokość z wynosi:

p = p₀ +ρgz

Napór hydrostatyczny na płaską ścianę o powierzchni F, zanurzoną na głębokość z wynosi:

N = pF = (p₀ +ρgz) F

Ponieważ druga strona ściany jest również poddana działaniu ciśnienia atmosferycznego, to napór określimy z zależności:

N = ρgzF

Napór hydrostatyczny na płaską poziomą ścianę o dowolnym kształcie jest równy co do modułu ciężarowi słupa cieczy zawartego między rozpatrywaną ścianą płaską a płaszczyzną lustra cieczy.

Twierdzenie Stevina

Napór hydrostatyczny na dno naczynia nie zależy od kształtu naczynia, ani od masy zawartej w nim cieczy, ale jedynie od gęstości cieczy, głębokości dna pod lustrem cieczy i od powierzchni dna.

Napór na ściany płaskie dowolnie zorientowane w przestrzeni

Napór na ścianę płaską zawsze stanowi siłę prostopadłą do tej ściany. Rozpatrujemy płaską ścianę zbiornika w skośnym układzie współrzędnych. Krawędź przecięcia ściany płaskiej z zwierciadłem cieczy stanowi oś x; oś y leży w płaszczyźnie ściany i jest prostopadła do osi x.

Napór na element powierzchniowy dF położony na głębokości z pod zwierciadłem określimy z zależności:

W4/2

dN = pdF = ρgzdF

Całkowity napór hydrostatyczny na ścianę o dowolnym konturze wynosi:

Wyrażenie pod znakiem całki jest momentem statycznym pola F względem płaszczyzny zwierciadła cieczy

przy czym z_s oznacza głębokość środka ciężkości figury płaskiej, jaką tworzy rozpatrywana ściana, pod zwierciadłem cieczy. Napór można określić również jako

Napór hydrostatyczny na ścianę płaską dowolnie zorientowaną w przestrzeni jest równy ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest dana ściana, a wysokością głębokość jej środka geometrycznego pod zwierciadłem cieczy.

Położenie środka naporu

Środek naporu oznacza punkt, w którym wypadkowa siła naporu przebija rozpatrywaną ścianę. Na powierzchni płaskiej rozpatrujemy element powierzchniowy

W4/3

położony w odległości y od osi x. Odległość środka naporu Σ od osi x oznaczamy jako η. Z warunku równowagi momentów względem osi x otrzymamy:

Ponieważ jednak

oraz

otrzymamy:

Wyrażenia

Stanowią odpowiednio geometryczny moment bezwładności i moment statyczny figury płaskiej względem osi x. Po przekształceniach otrzymamy:

Odległość środka naporu hydrostatycznego od krawędzi przecięcia lustra cieczy i rozpatrywanej ściany jest równa ilorazowi geometrycznego momentu bezwładności i momentu statycznego względem tej krawędzi.

Jeżeli oznaczymy jako y_s odległość środka geometrycznego od osi x oraz uwzględniając, że

Otrzymamy

Na podstawie twierdzenia Steinera

I ostatecznie

Z zależności tej wynika jednoznacznie, że środek naporu hydrostatycznego leży zawsze głębiej niż środek geometryczny figury płaskiej, jaką tworzy rozpatrywana ściana.

W4/4

Napór na ściany zakrzywione

Napór na ścianę zakrzywioną możemy sprowadzić do siły i pary sił albo do dwóch sił skośnych. Tylko w niewielu przypadkach szczególnych napór da się sprowadzić do siły wypadkowej.

Składowe poziome naporów działających na ścianę płaską lub zakrzywioną o tym samym konturze są identyczne.

Wynika z tego, składowa pozioma naporu na ścianę zakrzywioną w dowolnym, ale poziomym kierunku x jest równa co do modułu naporowi na rzut tej ściany na płaszczyznę prostopadłą do osi x.

Składową tą można określić wzorem:

Składowa pionowa naporu na ścianę zakrzywioną jest równa ciężarowi bryły ciekłej ograniczonej dana powierzchnią, tworzącymi pionowymi przechodzącymi przez jej kontur i lustrem cieczy.

Oraz

W5/1

Równanie Bernoulliego

Przekształcamy równanie ruchu płynu doskonałego jednocześnie dodając i odejmując człony:

W ten sposób uwidaczniamy prędkości ruchu obrotowego:

lub

Powyższe równanie nosi nazwę równania Bernoulliego. Stanowi całkę wzdłuż linii prądu równania ruchu ustalonego płynu doskonałego w polu grawitacyjnym. Równanie Bernoulliego stanowi matematyczny zapis niezniszczalności energii w ruchu ustalonym płynu doskonałego.

V²/2g - energia kinetyczna,

p/ρg - energia potencjalna ciśnienia,

z - energia potencjalna położenia.

---