Tadeusz Malinowski nr. indeksu 30081

Ewa Malinowska nr. indeksu 30080

grupa 206

Praca semestralna z matematyki- sem.II.

Twierdzenia graniczne

1. Rodzaje twierdzeń granicznych

W twierdzeniach granicznych rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {X_n}, których rozkłady - przy wzroście wskaźnika n do nieskończoności - mogą być zbieżne do pewnego rozkładu nazywanego rozkładem granicznym (asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {X_n}.

Twierdzenia graniczne podają warunki konieczne i dostateczne (lub warunki dostateczne) zbieżności określonych ciągów zmiennych losowych:

- ciągu dystrybuant i ciągu gęstości dla zmiennych losowych ciągłych

- ciągu funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych skokowych.

Rodzaje twierdzeń granicznych:

1. twierdzenia integralne- twierdzenia graniczne, które badają zbieżność ciągu dystrybuant

2. prawa wielkich liczb - twierdzenia integralne, w których dystrybuantą graniczną jest dystrybuanta rozkładu jednopunktowego

3. twierdzenia lokalne - twierdzenia graniczne, w których bada się zbieżność ciągów funkcji prawdopodobieństwa lub zbieżność ciągów gęstości.

.

W tym opracowaniu będą opisane twierdzenia integralne:

- prawo wielkich liczb Bernoulliego

- prawo wielkich liczb Chinczyna

- Lindeberga-Levy'ego

- Moire'a-Laplace'a

2. Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Prawo wielkich liczb Bernoulliego pokazuje , że prawdopodobieństwo zdarzenia może być oceniane przez częstość tego zdarzenia w długim ciągu powtórzeń doświadczenia, w którym to zdarzenie następuje.

Niech k będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie prawdopodobieństwa:

Tworzymy nową zmienną losową:

wówczas:

(w granicy
prawdopodobieństwo, że uzyskamy x_n większe co do wartości bezwzględnej od wybranej, dowolnie małej liczby dodatniej, dąży do zera).

Interpretacja:

k - liczba sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego,

- częstość sukcesu (liczba sukcesów na jedno doświadczenie) ,

p - prawdopodobieństwo sukcesu w jednym doświadczeniu.

Jeżeli liczba doświadczeń jest duża, to z prawdopodobieństwem bliskim 1 , częstość sukcesu przyjmuje wartości mało różniące się od prawdopodobieństwa sukcesu.

Zbieżność opisana w powyższym twierdzeniu nazywana jest zbieżnością stochastyczną. Moglibyśmy więc powyżej powiedzieć: Ciąg jest stochastycznie zbieżny do 0, gdy dąży do nieskończoności.

Istnieje wiele różnych postaci twierdzenia wielkich liczb. Twierdzenia te opisują związek ścisłego pojęcia prawdopodobieństwa z jego (intuicyjną) interpretacją ,,częstościową''.

3. Prawo wielkich liczb Chinczyna

Prawo wielkich liczb Chinczyna pokazuje , że wartość oczekiwana zmiennej losowej może być oceniana przez średnia arytmetyczną dużej liczby obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Jeśli (X_n) jest ciągiem zmiennych losowych niezależnych, o jednakowym rozkładzie i o parametrach:

m = EX_n i σ² = D² X_n dla n Є N

oraz :

to ciąg (X_n) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do m , czyli dla ciągu (X_n) zachodzi prawo wielkich liczb.

4. Twierdzenie integralne MOIVRE`A - LAPLACE`A

Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a jest szczególnym przypadkiem centralnego twierdzenia granicznego. Dotyczy zbieżności rozkładu dwumianowego do rozkładu normalnego dla dużych n.

Niech X_n będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n,p) (n - liczba doświadczeń, p - prawdopodobieństwo sukcesu) i niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną m = np i odchyleniem standardowym σ = (npq)^1/2, czyli N(np,(npq)^1/2).

Oznaczmy przez F_n(x) wartość dystrybuanty zmiennej losowej X_n w punkcie x i przez F(x) wartość dystrybuanty zmiennej losowej X w punkcie x.

Między dystrybuantami F_n(x) i F(x) zachodzi związek:

Korzystając z definicji dystrybuanty:

Wiadomo, że liczba doświadczeń jest zawsze skończona, stąd

gdzie

Oznacza to, że jeżeli liczba prób jest duża, to rozkład zmiennej losowej X_n o rozkładzie B(n,p) można przybliżyć rozkładem N(np,(npq)^1/2. Przybliżenie to jest tym lepsze, im n jest większe (praktycznie n > 30).

Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a dla wartości oczekiwanej z próby

Rozpatrzmy zmienną losową Y_n = X_n / n (częstość), gdzie X_n jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p. Jeżeli zmienna losowa X_n przyjmuje wartości 0, 1, 2, ..., n, to Y_n = 0, 1/n, 2/n, ..., 1.

Rozkład zmiennej losowej Y_n:

k = 1, 2, ..., n.

Wynika stąd, że zmienna Y_n przyjmuje swoje wartości z prawdopodobieństwami określonymi przez rozkład dwumianowy.

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Y_n:

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że zmienna losowa Y_n przy dużych wartościach n ma rozkład zbliżony do normalnego z wartością oczekiwaną równą p i odchyleniem standardowym równym (pq/n)^1/2, czyli

5. Twierdzenie integralne LINDEBERGA-LEVY'EGO

Jest to najważniejsze twierdzenie statystyki matematycznej, zwane centralnym twierdzeniem granicznym (CTG). Dotyczy zbieżności sum niezależnych zmiennych o takich samych rozkładach (rozkład nie musi być znany) z rozkładem normalnym.

Ogólniejszą wersję centralnego twierdzenia granicznego podał na początku XX wieku Liapunow. Obecnie korzysta się z twierdzenia w formie zaproponowanej w 1922 roku przez Lindebegra i Levy'ego. Dowód tego twierdzenia podał w 1935 Feller.

Załóżmy, że dany jest ciąg X₁, X₂, ..., X_n niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie (oznacza to, że zmienne posiadają jednakowe rozkłady prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i wariancje), tzn.:

E(X₁) = E(X₂) = E(X₃) = ... = E(X_n) = m

V(X₁) = V(X₂) = V(X₃) = ... = V(X_n) = σ²

Przez Z_n oznaczamy następującą zmienną losową:

Z_n = X₁ + X₂ + ... + X_n

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej Z_n:

E(Z_n) = nm

V(Z_n) = nσ²

Centralne twierdzenie graniczne mówi, że jeśli n jest duże, to rozkład zmiennej losowej Zn można przybliżyć rozkładem normalnym z wartością oczekiwaną nm i odchyleniem standardowym σn^1/2, czyli Zn ~ N(nm,σn^1/2)

Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego dla wartości oczekiwanej z próby

Załóżmy, że ciąg niezależnych zmiennych losowych X₁, X₂, ..., X_n, spełnia założenia centralnego twierdzenia granicznego.

Definiujemy zmienną (średnia z próby):

o wartości oczekiwanej
i wariancji
.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że Z_n = X₁ + X₂ + ... + X_n ma w przybliżeniu

rozkład normalny, stąd
ma również rozkład normalny.

Przy dużych wartościach n rozkład zbliżony jest do rozkładu:

6. Centralne twierdzenia graniczne - Przykłady

Przykład 1.

Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.

Niech
oznacza czas dojazdu w i-tym dniu ,
.

,
. ,
,

=

Przykład 2.

Codzienne opóźnienie pociągu ( w minutach ) na pewnej trasie jest zmienną losową ciągłą o gęstości

dla
.

a) Wyznaczyć stałą C.

b) Wyznaczyć dystrybuantę
.

c) Obliczyć prawdopodobieństwa
,
.

d) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję codziennego opóźnienia pociągu.

e) Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo, że łączne opóźnienie pociągu na tej trasie w ciągu 90 dni przekroczy 600 minut, jeśli opóźnienia w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi.

1. 
   C = 1/50.

b)
=
dla
,

Zatem

dla
.

3. 
   = 1 - F(5) = 1- 25/100 = 0,75.

= F(7) - F(5) = 0,49 - 0,25 = 0,24.

d)
=
= 20/3,

= 50.

-
= 50 - 400/9 = 50/9.

e) Niech
oznacza łączny czas opóźnienia w ciągu 90 dni.
jest prostą próbą losową z rozkładu o gęstości takiej jak gęstość zmiennej X.
= opóźnienie i-go dnia.

.

Var (
=
.

Z Centralnego Twierdzenia Granicznego rozkład

jest bliski rozkładowi
.

=

= 1 - 0,5 = 0,5.

7/8

---