WYKŁAD 5 .

5.1.Drgania swobodne układów o wielu stopniach swobody .

Położenie równowagi układu jest stateczne , gdy energia potencjalna w tym położeniu osiąga minimum . Drgania mogą przyjmować różne postacie , obrazuje to rysunek 5.1.

Rys.5.1.Postacie drgań .

Energia kinetyczna układu o wielu stopniach swobody (szereg Maclaurina) :

(5.1)

gdzie :

q - współrzędne uogólnione .

(5.2)

Energia potencjalna :

(5.3)

Położenie równowagi uwzględniono w 2 pierwszych wyrazach .

(5.4)

Energetyczny potencjał Lagrange'a :

(5.5)

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju :

(5.6)

gdzie :

Q-siła uogólniona (wyznaczana w kierunku σ) .

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Podstawiając równania (5.7) ,(5.9) i (5.10) do (5.6) otrzymujemy :

(5.11)

Otrzymaliśmy układ równań dla układów o wielu stopniach swobody :

(5.12)

Zapis macierzowy :

(5.13)

Macierz bezwładności :

(5.14)

Macierz sztywności :

(5.15)

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Podstawiając (5.17) , (5.19) do (5.13) otrzymyjemy :

(5.20)

Równanie sekularne - wielomian charakterystyczny :

(5.21)

5.1.2.Algorytm Jacobiego , Hessenberga , Henseholda , Mickeya .

Oznaczając :

(5.22)

i podstawiając do (5.21) :

(5.23)

(5.24)

Wzory (5.24) określają częstości własne układu . Na podstawie (5.20) :

(5.25)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

Określamy k-tą postać drgań i współczynnik postaci drgań μ :

(5.29)

Macierz modalna R :

(5.30)

gdzie :

r_i - wektor własny dla ω_i .

(5.31)

Macierz dynamiczna :

(5.32)

(5.33)

2

3

1

---