Zadanie
Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa postaci:
xi |
-3 |
-1 |
3 |
5 |
p1 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,2 |
Wyznaczyć miary położenia i rozproszenia zmiennej losowej. Wyznaczyć dystrybuantę i zrobić jej wykres.
Zadanie
Zmienna losowa X jest określona za pomocą gęstości prawdopodobieństwa w przedziale (2;4); na zewnątrz tego przedziału f(x)=0. Wyznaczyć wartość modalną, wartość oczekiwaną i medianę zmiennej X.
Zadanie
Urządzenie składa się z trzech niezależnie pracujących elementów. Prawdopodobieństwo awarii dla każdego elementu w jednym doświadczeniu jest równe 0,1. Określić rozkład prawdopodobieństwa liczby niedziałających elementów w jednym doświadczeniu.
Zadanie
Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej X
X |
2 |
4 |
7 |
P |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
Znaleźć dystrybuantę F(x) i naszkicować jej wykres.
Zadanie
Na pewnej trasie kursują 3 autobusy. Awarie autobusów są niezależne i prawdopodobieństwo wystąpienia awarii każdego z nich w ciągu dnia wynosi 0,2.
Wyznaczyć prawdopodobieństwo dnia bez awarii,
Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwo i dystrybuantę liczby awarii w ciągu dnia
Obliczyć wartość oczekiwaną, dominantę, medianę i wariancję tego rozkładu.
Zadanie
Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza. Znaleźć dystrybuantę F(x) i naszkicować jej wykres. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie
Właściciel komisu samochodowego wie z długoletniego doświadczenia, ze spośród wystawionych samochodów około 25% ma poważne wady. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wśród 20 samochodów wziętych w komis 6 będzie wykazywało poważne usterki.
Zadanie
Funkcja gęstości dana jest wzorem: f(x) = 
a) oblicz stałą c b) wyznacz parametry położenia
c) wyznacz dystrybuantę d) oblicz P(1<X<2)
Zadanie
Pewna zmienna losowa ma funkcję gęstości:
Obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie:
Wartość nie mniejszą niż 2 oraz nie większą niż 3;
Wartość co najwyżej równą 2;
Wartość 4;
Wartość z przydziału (3,4).
Zadanie
Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie:
Wyznaczyć odchylenie standardowe. Obliczyć P(1<x<2) i podać interpretację geometryczną wyznaczonego prawdopodobieństwa.
Zadanie
Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X
Znaleźć dystrybuantę F(x). Wyznaczyć wartość oczekiwaną, modę, medianę oraz współczynnik asymetrii.
Zadanie
Zmienna losowa X określona jest za pomocą gęstości prawdopodobieństwa f(x)=2x w przedziale (0;1); na zewnątrz tego przedziału f(x)=0. Wyznaczyć momenty zwykłe i momenty centralne pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu.
Zadanie
Sprawdzić, czy funkcja: 
jest funkcją gęstości zmiennej losowej X. Jeśli tak, to:
przedstawić funkcję gęstości graficznie,
wyznaczyć i narysować dystrybuantę tak określonej zmiennej losowej,
obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
obliczyć P(0<X<2),
obliczyć medianę.
Zadanie
Wartość oczekiwana rozkładu normalnego zmiennej losowej X jest równa m=3, średnie odchylenie standardowe σ=2. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Naszkicuj wykres funkcji gęstości.
Zadanie
Zmienna losowa X jest określona za pomocą gęstości prawdopodobieństwa f(x)=0,5sinx w przedziale (0;π) na zewnątrz tego przedziału f(x)=0. Wyznaczyć wariancję zmiennej losowej X. Wyznaczyć wartość oczekiwaną, modę oraz współczynnik ekscesu.
Zadanie
Masa ciała w populacji studentów Wydziału Nauk Ekonomicznych UWM ma rozkład normalny N(72,12). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że masa ciała przypadkowego studenta należy do przedziału:
(60,66),
(78,84),
(69,75).
Zadanie
Masa jabłek odmiany reneta złocista ma rozkład normalny N(150,25). Obliczyć prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 120 do 150 gramów.
Zadanie 16
Naszkicować na wspólnym układzie współrzędnych gęstości rozkładów:
N(2;2); N(2;4); N(2; 0,5);
N(2,2); N(4;2); N(0,5; 2).
Zadanie
Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym są odpowiednio równe 15 i 5. Znaleźć prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartości:
Mniejszą niż 12;
Większą niż 14;
Należącą do przedziału (12, 14).
Zadanie
W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie próbę 25 pracowników. Staż pracy (w latach) tych pracowników na koniec 2008 roku był następujący:
37, 34, 0, 5, 17, 17, 0, 2,, 24, 33, 4, 0, 5, 32, 3, 19, 24, 6, 8, 26, 24, 29, 9, 29, 2.
Jeśli wiadomo, że w badanym przedsiębiorstwie rozkład stażu jest normalny:
Oszacować punktowo i przedziałowo (współczynnik ufności 0,95) średni staż pracy pracowników badanego przedsiębiorstwa.
Oszacować przedziałowo (współczynnik ufności 0,98) odchylenie standardowe stażu pracy,
Sprawdzić, czy mamy podstawy do uogólniania otrzymanego w punkcie a) przedziału ufności na populację pracowników zatrudnionych w badanym przedsiębiorstwie (wykorzystać względną precyzję oszacowania).
Zadanie
Przeciętny wiek 25 pracowników wylosowanych niezależnie spośród załogi pewnego przedsiębiorstwa wynosił 37,5 roku, a współczynnik zmienności obliczony na podstawie odchylenia standardowego był na poziomie 37,4%. Przyjęto współczynnik ufności na poziomie 0,95 oraz na poziomie 0,98. Oszacować nieznaną średnią wieku pracowników badanego przedsiębiorstwa, wiedząc, że rozkład wieku jest zgodny z rozkładem normalnym.
W jaki sposób długość przedziału ufności zależy od przyjętego poziomu ufności?
Zadanie
Należy przebadać punkty handlu detalicznego pod względem miesięcznego utargu otrzymanego ze sprzedaży tłuszczów roślinnych. Z próby o liczebności 600 punktów handlowych otrzymano wielkości: 
zł, s = 12050 zł. Wyznaczyć przydział ufności dla średniego utargu w tej grupie produktów w populacji generalnej. Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0,99.
Zadanie
Wariancja w pewnej prostej próbie losowej o liczebości 10 obserwacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym wynosi s2 = 29,83. Podać przedział ufności dla odchylenia standardowego w populacji. Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0,9.
Zadanie
Aby ocenić jakość partii towaru wybrano losowo 140 sztuk i okazało się, że 6 miało pewne braki. Na poziomie ufności 0,9 ocenić, jaki procent całej produkcji stanowią produkty uszkodzone?
Zadanie
Spośród 400 losowo wybranych klientów pewnego banku 112 stwierdziło, że mają zastrzeżenia do pracowników obsługujących klientów. Wyznaczyć 98% przedział ufności dla frakcji niezadowolonych klientów.
Zadanie
Ilu elementową próbę należy wylosować niezależnie, aby przy współczynniku ufności 0,98 oszacować odsetek osób, które wybrały kierunek studiów głównie ze względu na swoje zainteresowania, jeżeli wśród 250 studentów WNE 180 osób uważa, ze zainteresowania były głównym powodem wyboru przez nich kierunku studiów. Przy oszacowaniu tego odsetka nie chcemy pomylić się o więcej niż 5%.
Zadanie
Z populacji studentów wylosowano 132-elementową próbę w celu oszacowania średniego czasu poświęconego na naukę w czytelni w ciągu tygodnia. Otrzymano następujące wyniki:
Czas nauki w godz. |
0 - 2 |
2 - 4 |
4 - 6 |
6 - 8 |
8 - 10 |
10 - 12 |
Liczba studentów |
10 |
28 |
42 |
30 |
15 |
7 |
Przyjmując współczynnik ufności 0,90 zbuduj przedział ufności dla średniego tygodniowego czasu nauki w czytelni całej populacji studentów.
Zadanie
Z prawdopodobieństwem 0,95 oszacuj, jaka część uczniów szkół średnich pali papierosy, jeżeli w próbie liczącej 1000 uczniów losowo wybranych 360 paliło papierosy
Zadanie
Zbadano wagę stu studentów. Wyniki zebrano w tabeli poniżej:
Waga[kg] |
Liczba studentów |
40-50 |
7 |
50-60 |
21 |
60-70 |
35 |
70-80 |
18 |
80-90 |
14 |
90-100 |
5 |
Wyznaczyć przedział, w którym z prawdopodobieństwem 98% znajdzie się wartość przeciętna wagi studentów całej populacji, z której została wzięta ta 100-elementowa próba. Określić maksymalny błąd szacunku.
Wyznaczyć przedział, w którym z prawdopodobieństwem 95% znajdzie się wartość przeciętna wagi studentów całej populacji, z której została wzięta ta 100-elementowa próba. Określić maksymalny błąd szacunku.
Który z przedziałów - z podpunktu a) czy b) - jest szerszy i dlaczego?
Zadanie
Na podstawie losowej próby 120 jednokilogramowych opakowań cukru otrzymano 
dag i s = 10 dag. Zbuduj przedział ufności dla odchylenia standardowego w rozkładzie wagi wszystkich jednokilogramowych opakowań cukru. Przyjmij współczynnik ufności 0,90.
Zadanie
Zakładając, że średnie wydatki na reklamę można uznać za cechę o rozkładzie normalnym, wylosowano 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę:
Kwartalne wydatki (w tys. zł) |
Liczba zakładów |
0-5 5-10 10-15 15-20 |
10 20 40 30 |
na poziomie ufności 1 - ∝ = 0,95 wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na reklamę
oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe wydatków na reklamę (∝ = 0,05)
Zadanie
Na podstawie poniższych danych dotyczących zależności pomiędzy odległością zamieszkania od uczelni (X, w km) a czasem dojazdu na zajęcia (Y, w minutach) oszacować 99-procentowy przedział ufności dla współczynnika korelacji liniowej Pearsona.
X |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
5 |
9 |
Y |
6 |
20 |
11 |
15 |
21 |
18 |
32 |
29 |
Zadanie
W pewnym urzędzie stanu cywilnego badano zależność pomiędzy wiekiem pani młodej i pana młodego. Współczynnik korelacji dla 100 losowo wybranych par wyniósł 0,87. Na poziomie ufności 0,99 oszacować metodą przedziałową współczynnik korelacji dla wszystkich nowożeńców.
Zadanie
Spośród przebadanych 1500 osób 30% popierało partię X. W jakim przedziale z prawdopodobieństwem równym 90% zawiera się odsetek zwolenników partii X w całym społeczeństwie?
Zadanie
W pewnym roku na egzaminie wstępnym z matematyki na wyższą uczelnię spośród 560 absolwentów techników 240 nie rozwiązało pewnego zadania. Natomiast na 1040 zdających absolwentów liceów ogólnokształcących nie rozwiązało tego zadania 380 kandydatów. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowym stopniu opanowania tej partii matematyki , której dotyczyło zadanie, przez absolwentów obu typów szkół.
Zadanie
W celu porównania regularności uzyskiwanych wyników sportowych dwu oszczepników, wylosowano 20 wyników rzutu oszczepem zawodnika A i 16 wyników zawodnika B. Otrzymano dla zawodnika A odchylenie standardowe wyników rzutu oszczepem wynoszące 2,65 m, a dla zawodnika B wynoszące 4,8 m. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić hipotezę o większej regularności wyników sportowych zawodnika A.
Zadanie
Badając odruchy warunkowe u psa otrzymano następujące ilości śliny wydzielającej się przy bodźcu A (w cm3): 0,76; 0,54; 0,65; 0,40; 0,27; 0,65; 0,16. Natomiast przy bodźcu B otrzymano: 0,32; 0,40; 0,20; 0,09; 0,38; 0,50; 0,15; 0,28. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że przy drugim bodźcu ilość wydzielane śliny psa jest mniejsza.
Zadanie
Panuje przekonanie, że studenci stacjonarni zdają lepiej egzamin ze statystyki niż studenci zaoczni. Wylosowano w tym celu grupę 100 osób na studiach stacjonarnych i okazało się, że wśród nich 35 uzyskało ocenę bardzo dobrą. Wśród 100 osób wylosowanych z grupy studentów zaocznych podobną ocenę uzyskało 16 osób. Czy rzeczywiście studenci stacjonarni zdają lepiej egzamin ze statystyki niż studenci zaoczni? Przyjmij poziom istotności 0,05.
Zadanie
Badano wydatki studentów olsztyńskich uczelni na rozrywkę w ciągu miesiąca. Wylosowano 20 studentów oraz zanotowano ich wydatki, które przedstawiały się następująco (w zł): 231, 172, 125, 174, 299, 120, 180, 128, 175 134, 166, 181, 34, 129, 155, 241, 118, 97, 113, 87. Oszacować przedziałowo na tej podstawie odchylenie standardowe wydatków studentów olsztyńskich na rozrywkę. Przyjąć poziom istotności 0,05.
Zadanie
W celu ustalenia różnicy wieku klientów nabywających ten sam produkt, ale różnych dwóch marek, ustalono:
marka A marka B
n1 = 36 n2 = 40
średnia1 = 45,6 lat średnia2 = 39,5 lat
odchylenie standardowe1 = 5,5 lat odchylenie standardowe1 = 4,6 lat
Czy dla α= 0,05 możesz stwierdzić, że nabywcy marki A są, przeciętnie biorąc starsi od nabywców marki B?
Zadanie
Waga konserw rybnych powinna - zgodnie z normą - wynosić250g z odchyleniem standardowym 5g. Zakupiono 100 konserw, których średnia waga wynosiła 245g. Zakładając, że rozkład wagi konserw jest normalny, zweryfikować hipotezę, że waga konserw nie różni się istotnie od wagi przewidzianej normą. Przyjąć poziom istotności 0,01.
Zadanie
Prowadzono badanie, mające na celu określić zróżnicowanie wyników nauczania matematyki na pewnej uczelni wyższej na kierunku a i b. Dla dwóch prób losowych otrzymano np. wyniki w punktach:
kierunek a
liczba studentów = 65 średnia = 36,4 wariancja = 9,8
kierunek b
Oceny w pkt. |
Liczba studentów |
10 - 20 |
11 |
20 - 30 |
19 |
30 - 40 |
40 |
40 - 50 |
19 |
50 - 60 |
11 |
Przy współczynniku istotności 0,01 sprawdzić hipotezę, że:
średnia ocen na kierunku a jest wyższa od 35.
średnia ocen na obu kierunkach jest podobna;
wariancja ocen na kierunku b jest niższa niż 10;
Zadanie
Czas świecenia żarówek jest zmienną losową o rozkładzie N(m,50). Z partii tej pobrano 9-elementową próbę losową i otrzymano 
godzin. Przy współczynniku ufności 0.95 zbuduj przedział ufności dla średniego czasu świecenia żarówek.
Zadanie
Zmierzono czas pracy (w godzinach ) siedemnastu wylosowanych bateryjek radiowych i otrzymano następujące wyniki: 35,34 36,26 30,54 38,20 37,59 39,18 33,16 34,23 27,90 36,33 27,9 36,33 32,39 34,89 35,7 31,99 34,03. Zakładając, że czas pracy bateryjki ma rozkład normalny sprawdzić czy przeciętny czas pracy jest równy 30 godzin.
Zadanie
Zmierzono czas reakcji wzrokowej (w sekundach) na pewien bodziec u 100 taksówkarzy przed i po wypiciu 200 g wódki. Na podstawie pomiarów przed spożyciem alkoholu uzyskano 
, zaś po spożyciu alkoholu otrzymano: 
. Przyjmując poziom istotności ∝=0,05, sprawdzić pogląd, że spożycie alkoholu opóźnia reakcje na bodziec wzrokowy.
Zadanie
Wykonano niezależnie pomiary wydajności pracy 6 pracowników pierwszej zmiany i 8 pracowników drugiej zmiany. Dla pierwszej zmiany uzyskano następujące wydajności (w szt./h): 6, 4, 5, 6, 8, 7, zaś dla drugiej zmiany: 7, 3, 3, 5, 4, 5, 8, 5. Zweryfikować, przyjmując poziom istotności ∝=0,05, hipotezę o jednakowym zróżnicowaniu wydajności pracowników obu zmian.
ZESTAW ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO KOLOKWIUM ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
Studia Stacjonarne - I rok MSU, kierunek Zarządzanie
WNE UWM
6
Wyszukiwarka