Suma 5% pierwszej liczby i 4% drugiej liczby jest równa 46 a 4% pierwszej liczby i 5% drugiej daje w sumie 44. oblicz te liczby
0,05x+0,04y=46/*100
0,04x+0,05y=44/*100
5x+4y=4600
4x+5y=4400
4y=4600-5y/:4
4x+5y=4400
y=1150-1,25x
4x+5(1150-1,25x)=4400
y=1150-1,25x
4x+5750-6,25x=4400
y=1150-1,25x
-2,25x=-1350
y=1150-1,25x
x=600
y=400
|
Miejscowość a,b oraz c leżą przy tej samej drodze, przy czym miejscowość b leży pomiędzy a i c. Odległość między miejscowościami a i b wynosi 18km . dwóch chłopców wyruszyło jednocześnie jacek z miejscowości a i wojtek z miejscowości b idąc ze stała predkością . Gdyby obaj szli naprzeciw siebie to spotkaliby sie po 3 godzinach marszu. Gdyby obali w kierunku miejscowosci c to po 2 godzinach marszu odległość miedzy nimi byłaby równa 20km. Z jaką prędkością idzie każdy chłopiec ?
20km-18km=2km
2km:2h=1km/h
wojtek idzie o 1km/h szybciej od jacka
x-predkosc jacka
x+1km/h-predkosc wojtka
18km=x*3h+(x+1km/h)*3h
18km=3xh+3xh+3km
18km-3=6xh
15km=6xh
x=2,5km/h
2,5km/h+1km/h=3,5km/h-predkosc wojtka
|
schemat rozwiązywania nierówności 1 st z 2 niewiadom.:
Nierówności zaczynamy rozwiązywać bardzo podobnie do równań I stopnia z 2 niewiadomymi. Przykład: y-x+4<x+1
Tak, jak w równaniach segregujemy wszystkie wyrażenia tak, aby pojedynczy "y" był po jednej stronie (np. po lewej), a reszta wyrażeń po drugiej (np. po prawej):
y-x+4<x+1
Y<2x-3
Tutaj również jednym z rozwiązań jest para punktów. Obieramy sobie przykładowy "x" i obliczamy dla niego wartość prawej strony równania:
x=1
Wstawiając to z powrotem do naszej nierówności mamy odpowiedź jaką trzeba obrać drugą liczbę: Y<-1
W naszym przypadku może to być każda liczba mniejsza od -1.
Tak więc możliwymi rozwiązaniami są np (1, -2), (1, -4) i tak dalej. Oczywiście jeśli obierzemy inną liczbę za "x", otrzymamy inne możliwości co do obrania "y". Najlepiej zbiór wszystkich rozwiązań ilustruje: Interpretacja graficzna
Jeśli nasze równanie jest już uporządkowane jak w przykładzie powyżej to rysujemy wykres funkcji. W naszej nierówności zamiast znaku nierówności wstawiamy znak "=" (tylko na potrzeby wykonania wykresu) i szkicujemy wykres.
y<… - rozwiązania znajdują się poniżej linii wykresu bez samej linii
y≤…- rozwiązania znajdują się poniżej linii wykresu włącznie z liną wykresu
y>…- rozwiązania znajdują się powyżej linii wykresu bez samej linii
y≥…- rozwiązania znajdują się powyżej linii wykresu włącznie z liną wykresu
jeśli jest ≥≤ to linia jest ciągła, a jeśli >< to przerywana
Warunki równoległości i prostopadłości prostych.
Dane są dwie proste:
l : y = ax +b.
Warunek równoległości prostych.
Proste w układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe:
wzór funkcji równoległej: y= - ⅓x +b
Warunek prostopadłości prostych.
Proste w układzie współrzędnych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1:
k┴l a∙c = -1
wzór f. prostopadłej : y= - 2/3 x+b
|
Statek płynący z prądem rzeki pokonuje odległość 104 km między przystaniami A i B w ciągu 8 godzin, zaś płynąc pod prąd tą samą odległość pokonuje ja w ciądu 13 godzin. Oblicz prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki.
V z prądem = 104km/8h = 13km/h
V pod prąd = 104km/13h = 8km/h
x + y = 13
x - y = 8
2x = 21
x = 10,5 km/h
y = 10,5 - 8
y = 2,5 km/h
|
Basen napełniony jest pierwszą rurą w ciągu 5 godzin, a opróżniony drugą w ciągu 4 godzin. Po jakim czasie pełny basen zostanie opróżniony przy obu przepływach otwartych?
V - obj. Basenu t1- 5h - napełnianie t2-4h-opróżnianie
V/t1=V/5 - napełnianie w ciągu 1h
v/t2=v/4- opróżnianie w ciągu 1 h
V/t- woda która przez 1h przepłynęła przez basen
|
|
Suma dwóch liczb jest równa 800. Jeżeli jedną z nich zwiększymy o 25%, a drugą zmniejszymy o 20%, to ich suma zmniejszy sie o 52. Co to za liczby ?
x - I liczba y- II liczba
x + 25% x + y - 20% y=800-52
|
Napisz wzór: a) funkcji liniowej f wiedząc, że do jej wykresu należy punkt A(-1;8) oraz że przyjmuje ona wartości
dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x € (-∞, 3)
b) funkcji liniowej g, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f i która ma miejsce zerowe o 7 mniejsze niż funkcja f.
a) trzeba stworzyć układ równań. masz podane dwa punkty (-1,8). jest napisane , że wykres przecina oś x w trójce więc drugi punkt to (3,0) podstawiasz te liczby to wzoru y=ax+b, wyliczasz a i b podstawiasz do tego równania i masz gotowy wzór.
b) skoro wykresy mają być równoległe to a musi być takie samo. miejsce zerowe było równe 3. 3-7=-4 zatem masz punkt (-4,0) i podstawiasz do wzoru wyliczasz b
|
|
|
|
Punkty A(2a,-b) oraz B(-3a,b+1) należą do wykresu funkcji liniowej F opisanej wzorem F(x)= -x + 3 oblicz a i b
Podstawiamy do wzoru funkcji
-b = -2a+3
b+1 = 3a+3
a = -5
b = -13
|
Odcinek AB o końcach A(-2,1) oraz B(4,-4) zawiera się w wykresie funkcji F.
a)napisz wzór funkcji F
b)sprawdź czy punkty A,B oraz C(1208,-606) są współliniowe
a) -4 = 4a +b
1 = -2a+b
a=-5/6
b=-2/3
=> y=-5/6x - 2/3
b)-606 = -5/6*1208- 2/3
-606 = -3022/3 (sprzeczność =>punkt C nie jest współliniowy z punktami A i C)
|
Dana jest funkcja liniowa f o wzorze f(x) = (2a-1)x+3
a) dla jakich a funkcja jest malejąca
b) wyznacz a tak aby wykres funkcji f był prostopadły do wykresu funkcji liniowej g o wzorze g(x) = 2/3x-1
c) dla a=2/5 wyznacz zbiór tych argumentów, dla których wartości funkcji f należą do przedziału (-4, 6)
a) funkcja dla wartości a > 0 jest malejąca
2a-1>0 -przekładam -1 na drugą strone
2a>1 -dziele obydwie strony przez 2
a>1/2 f. a jest malejąca dla wartości (-nieskończoności- 1/2)
b) by funkcja była prostopadła do drugiej a1*a2 musi się równać -1. wzór ogólny funkcji wygląda tak y=ax+b Ty masz zrobić funkcje prostopadłą do y=2/3x -1 , czyli Twoim a2 jest 2/3
wiec za a1 które w tym przypadku jest nim (2a-1), musisz wstawić taka liczbę by równały się -1
wstawiając 1/4 wychodzi że:
2*(-1/4) -1
-2/4 - 1
- 1/2-1= -3/2
(-3/2)*(2/3)= -1
a1*a2=-1
c) y = ax + b podstawiamy za y wartości funkcji : -4 , 6 za a podstawiamy 2/5
-4 = 2/5 x + 3 6 = 2/5 x + 3
-7 = 2/5 x /*5 3 = 2/5 x /*5
-35 = 2x 15 = 2 x
-17,5 = x 7,5 = x
x € <-17,5 ; 7,5>
|
Aby obliczyć współczynnik a należy odjąć współrzędne Y1-X1 i Y2-X2 a następnie podzielić je przez siebie np.
Punkty A=(-4;2) oraz B=(2;6) są symetryczne względem prostej k. Wyznacz równanie prostej.
b= 4 2/3 więc y= 2/3 x + 4 2/3
Następnie obliczamy środek symetrii poprzez wyliczenie średniej z y i x
Jego współrzędne to O=(-1,4)
Następnie aby obliczyć współczynnik drugiego równania korzystamy ze wzoru a= -1/a1
równanie symetralnej do tego zadania: y= - 1 ½ x+ 2 ½
Jeśli porównać wykresy dwóch funkcji, to mogą one być: równoległe, gdy a1 = a2 - oba współczynniki są równe prostopadłe, gdy a1= -1/ a2 Miejsce zerowe funkcji jest punktem, w którym funkcja przecina oś OX, oblicza się je z x0= (b/a)
|
Pracownicy pewnej firmy mieli udać się na szkolenie do miejscowości nad morzem. Zaplanowali 6-godz. podróż samochodem. W połowie drogi musieli zrobić 1-godz. przerwę. Aby przybyć punktualnie zwiększyli prędkość o 40 km/h. Z jaką prędkością planowali jechać pierwotnie i jaka była długość trasy
s-całkowita droga
t-czas w którym przejechali pierwszą połowę drogi
V- prędkość
planowana
s=V*6
0,5s=(V+40)(5-t)
0,5s=(V*t)
t=3h
V=80km/h
s=480km
|
Podaj wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt A(1,3) i która przyjmuje wartości ujemne tylko wtedy, gdy x > 2 . Czy istnieje tylko jedna taka funkcja.
|
Dana jest funkcja f(x)=-2x+4. Wiadomo, że wykres funkcji liniowej g jest prostopadły do wykresu funkcji f i obie funkcje mają wspólne miejsce zerowe. Wyznacz wzór funkcji g .
|
y≥4/7x+4
|
|
|