Indeksy statystyczne
W poprzednim rozdziale zajmowaliśmy się analizą szeregu czasowego z pozycji wyodrębnienia jego składowych (trendu i wahań okresowych) oraz zbudowaniem modelu prognostycznego danego zjawiska. Ten rozdział będzie poświęcony analizie dynamiki danego zjawiska.
W analizie statystycznej posługujemy się dwoma rodzajami danych liczbowych:
Absolutnymi (mianowanymi), np. wynagrodzenie pracowników w złotych, wydajność pracy mierzona w sztukach danego produktu na godzinę pracy, zużyciem paliwa w litrach na 100 km itd. Jak pamiętamy ze statystyki takie miary położenia jak średnia, mediana czy kwartyle są liczbami mianowanymi. Podobnie takie miary rozrzutu jak wariancja czy odchylenie standardowe również są liczbami mianowanymi.
Względnymi (niemianowanymi), które powstają poprzez porównanie dwóch liczb mianowanych. Również ze statystyki pamiętamy takie miary względne jak choćby współczynnik zmienności, czy współczynnik korelacji lub determinacji. Miary tego typu pozwalają na porównywanie zmienności różnych cech (o różnych miarach) lub siły związku różnych par zmiennych.
Liczby względne odgrywają szczególnie ważną rolę w analizie rozwoju zjawisk w czasie, pozwalają bowiem na porównanie właśnie cech (zjawisk) bezpośrednio nieporównywalnych.
Przykładowo, jeżeli w pewnym zakładzie w badanym okresie czasu wartość produkcji wzrosła ze 150 mln zł do 180 mln zł, a wielkość zatrudnienia w tym samym okresie wzrosła z 1000 osób do 1100 osób, to bezpośrednie porównanie tych dwóch zjawisk jest niemożliwe (różne jednostki). Jeżeli jednak przejdziemy na wartości procentowe dla obu zjawisk, to ich porównanie jest już możliwe. Widzimy bowiem, że wartość produkcji wzrosła w badanym okresie o 20 %, a wielkość zatrudnienia o 10 %, tym samym rosła wydajność pracy (ze 150 tys. zł na 1 zatrudnionego w pierwszym okresie do 163,6 tys. zł w drugim okresie).
6.1 Podstawowe mierniki dynamiki
Niech 
oznacza wartość danego zjawiska w chwili t. Podstawowymi miernikami dynamiki są:
Absolutne przyrosty wartości
w okresie czasu
:
(6.1)
Względne przyrosty wartości
w okresie czasu
:
, (6.2)
gdzie 
oznacza wartość danego zjawiska w dowolnie wybranej chwili 
.
Wskaźniki (indeksy) dynamiki wartości
:
, (6.3)
gdzie 
oznacza wartość danego zjawiska w dowolnie wybranej chwili 
W przypadku gdy punktem odniesienia w każdym momencie czasowym jest wartość zjawiska w poprzednim okresie, to takie przyrosty względne nazywamy łańcuchowymi:
. (6.4)
Jeśli zaś punkt odniesienia jest stały dla wszystkich momentów czasowych, to takie przyrosty względne nazywamy jednopodstawowymi.
Analogiczne uwagi można sformułować także w odniesieniu do indeksów. W przypadku, gdy punktem odniesienia jest wartość zjawiska w poprzednim okresie, to mówimy o indeksach łańcuchowych. W tych zaś przypadkach, gdy punktem odniesienia jest wartość zjawiska w jakimś ustalonym momencie czasowym, to mówimy o indeksach jednopodstawowych.
Wybór stałej podstawy (w indeksach i względnych przyrostach) zależy od celu badań. Może to być wartość pierwszego okresu lub dowolnego innego, ale w każdym przypadku wybór podstawy musi być uzasadniony przesłankami ekonomicznymi. Powinien to być taki moment czasowy, który jest charakterystyczny dla badanego zjawiska. Porównanie innych wartości badanego zjawiska w odniesieniu do poprawnie wybranego okresu podstawowego daje szansę na poznanie istoty zachodzących zmian. Z kolei wybór jako stałej podstawy takiej wartości danego zjawiska, która jest wyjątkowo unikalna nie daje takiej szansy, a wręcz prowadzi do fałszywych wniosków.
Przyrosty absolutne 
są miarą bezwzględnych zmian w poziomie analizowanego zjawiska w czasie, z kolei przyrosty względne 
są miarą tempa zmian.
Wskaźniki łańcuchowe (przyrosty względne i indeksy) dają możliwość uchwycenia okresów o szczególnie dużym lub szczególnie małym przyroście poziomu danego zjawiska.
Przykład 30. Wyznaczmy przyrosty absolutne i względne oraz indeksy dynamiki liczby ciągników w rolnictwie w latach 1968-1983 na podstawie poniższych danych GUS.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Czas |
Rok |
Liczba ciągników |
|
|
|
|
|
0 |
1968 |
180 500 |
- |
- |
|
- |
1,00 |
1 |
1969 |
202 700 |
22 200 |
12,3% |
12,3% |
1,12 |
1,12 |
2 |
1970 |
224 531 |
21 831 |
10,8% |
12,1% |
1,11 |
1,24 |
3 |
1971 |
248 400 |
23 869 |
10,6% |
13,2% |
1,11 |
1,38 |
4 |
1972 |
278 800 |
30 400 |
12,2% |
16,8% |
1,12 |
1,54 |
5 |
1973 |
319 200 |
40 400 |
14,5% |
22,4% |
1,14 |
1,77 |
6 |
1974 |
364 800 |
45 600 |
14,3% |
25,3% |
1,14 |
2,02 |
7 |
1975 |
401 200 |
36 400 |
10,0% |
20,2% |
1,10 |
2,22 |
8 |
1976 |
434 000 |
32 800 |
8,2% |
18,2% |
1,08 |
2,40 |
9 |
1977 |
472 600 |
38 600 |
8,9% |
21,4% |
1,09 |
2,62 |
10 |
1978 |
514 460 |
41 860 |
8,9% |
23,2% |
1,09 |
2,85 |
11 |
1979 |
573 100 |
58 640 |
11,4% |
32,5% |
1,11 |
3,18 |
12 |
1980 |
619 353 |
46 253 |
8,1% |
25,6% |
1,08 |
3,43 |
13 |
1981 |
669 671 |
50 318 |
8,1% |
27,9% |
1,08 |
3,71 |
14 |
1982 |
710 199 |
40 528 |
6,1% |
22,5% |
1,06 |
3,93 |
15 |
1983 |
757 283 |
47 084 |
6,6% |
26,1% |
1,07 |
4,20 |
Oryginalne dane są podane w kolumnie drugiej i trzeciej, w kolumnie pierwszej podano (pomocniczo) wartości zmiennej czasowej. W kolumnie czwartej wyznaczono absolutne przyrosty liczby ciągników, z danych tych wynika, że największy przyrost ciągników był w 1979 roku, a najmniejszy w 1970.
W kolumnie piątej wyznaczono względne przyrosty łańcuchowe, z ich analizy wynika, że okresami o szczególnie dużym tempie przyrostu liczby ciągników były lata 1972-74 oraz rok 1979. Z kolei w latach 1982-83 obserwujemy szczególnie małe tempo przyrostu ciągników.
W kolumnie szóstej wyznaczono względne przyrosty jednopodstawowe przyjmując jako podstawę liczbę ciągników w 1968 roku. Z analizy tego wskaźnika wynika, że w 1979 roku rolnictwo zostało zasilone liczbą ciągników rzędu 1/3 ich stanu z roku 1968. przyrost liczby ciągników w 1979 roku był największy
W kolumnie siódmej zamieszczono indeksy łańcuchowe, ich analiza potwierdza nasze wcześniejsze wnioski: lata 1972-74 i rok 1979 to te, w których obserwowaliśmy największe zmiany w liczbie ciągników w rolnictwie. Podobnie lata 1982-83 to te, w których obserwujemy szczególnie mały przyrost liczby ciągników.
Kolumna ostatnia zawiera indeksy o stałej podstawie (rok 1968). Z ich analizy wynika, że w 1979 roku w rolnictwie było ponad trzykrotnie więcej ciągników niż w roku podstawowym, a w 1983 liczba ciągników była 4,2 raza większa niż w okresie podstawowym.
6.2 Przeliczanie indeksów
Z definicji indeksów wynika, że mając indeks jednopodstawowy możemy w łatwy sposób zmienić podstawę indeksu:
(6.5)
gdzie t' jest czasem nowej podstawy.
Z wzoru 6.5 wynika, że w celu zmiany podstawy indeksu z czasu t* na czas t' musimy każdy dotychczasowy indeks podzielić przez indeks wyliczony dla czasu t'.
Przykład 31. W przykładzie 30 wyznaczyliśmy indeksy przy podstawie t*=0 (rok 1968). Chcemy zmienić podstawę indeksu na rok 1979, czyli t'=11.
Zgodnie ze wzorem 6.5 mamy kolejno:
Mając wyznaczone indeksy jednopodstawowe przy dowolnej podstawie t* możemy, korzystając z ogólnej definicji indeksów, przejść do indeksów łańcuchowych:
(6.6)
Zgodnie ze wzorem 6.6 indeksy łańcuchowe otrzymamy, jeżeli indeksy jednopodstawowe dla chwili t podzielimy przez indeksy dla chwili t-1.
Przykładowo, na podstawie danych z przykładu 30 mamy:
Problem przeliczania indeksów zakończymy przeliczeniem indeksów łańcuchowych na indeksy jednopodstawowe przyjmując jako podstawę wartość zjawiska w chwili t*. Zgodnie z ogólną definicją indeksów mamy:
(6.7)
Ponownie skorzystajmy z danych zamieszczonych przykładzie 30. W kolumnie 7 mamy zamieszczone indeksy łańcuchowe, przeliczymy je na indeksy jednopodstawowe przyjmując za podstawę rok 1979 (t*=11). Zgodnie ze wzorem 6.7 mamy kolejno:
dla t = 1 (rok 1969):
dla t = 2 (rok 1970):
dla t = 10 (rok 1978):
dla t = 12 (rok 1980):
dla t = 13 (rok 1981):
dla t = 15 (rok 1983):
.
Bezpośrednio ze wzoru 6.7 nie możemy wyznaczyć indeksu 
, ale można go wyznaczyć dodatkowo z przekształcenia: 
.
Poza omówionymi wcześniej wskaźnikami opisującymi dynamikę badanego zjawiska w analizie szeregów czasowych wykorzystuje się jeszcze dwa wskaźniki opisujące średni poziom zjawiska oraz średnie tempo zmian zjawiska. Kolejno zajmiemy się tymi dwoma wskaźnikami/
Przeciętny poziom zjawiska może być określany dwojako, zależnie od charakteru zjawiska. Jeśli szereg czasowy jest szeregiem okresów, czyli wartości zjawiska mają charakter strumieni i tym samym są sumowalne, to miarą przeciętnego poziomu zjawiska jest zwykła średnia arytmetyczna:
(6.8)
W sytuacji, gdy szereg czasowy jest szeregiem momentów, czyli wartości zasobów w ustalonych momentach czasowych, to miarą przeciętnego poziomu zjawiska jest tzw. średnia chronologiczna:
(6.9)
W przykładzie 30 rozpatrywaliśmy szereg czasowy liczby ciągników w rolnictwie w latach 1968-83. Szereg ten ma charakter szeregu momentów (łączna suma ciągników w badanych latach nie ma interpretacji), tym samym miarą przeciętnego stanu ciągników w tym okresie będzie średnia chronologiczna wyznaczona zgodnie z wzorem 6.9:
.
W kolumnie czwartej w tym samym przykładzie wyliczono przyrosty absolutne liczby ciągników w latach 1969-83, dane te maja charakter szeregu okresów (ich suma ma logiczną interpretację), tym samym miarą przeciętnej liczby ciągników zasilających rolnictwo w badanych latach będzie zwykła średnia arytmetyczna:
.
Inne przykłady szeregu okresów to: liczba wyprodukowanych samochodów, ilość wydobytego węgla, ilość zebranych owoców, wyprodukowanych zbóż, liczba absolwentów szkół średnich itd.
Przykładami szeregu momentów (zasobów) może być np. liczba ludności na określony dzień roku, areał uprawy pszenicy itd.
Przez tempo lub inaczej stopę wzrostu rozumie się względny przyrost wartości zjawiska w danym momencie czasowym do jego wartości w poprzednim okresie. Tempo jest wyrażane przez różnicę miedzy indeksem łańcuchowym a jednością:
(6.10)
Miarą średniego tempa (średniej stopy wzrostu) w badanym okresie 
będzie różnica miedzy średnim indeksem łańcuchowym z tego okresu a jednością:
. (6.11)
Przykład 32. Na podstawie danych z przykładu 30 wyznaczmy średnioroczne tempo przyrostu liczby ciągników w latach 1968-75, 1975-83 oraz 1968-83.
Na podstawie danych z kolumny trzeciej mamy:
Dla okresu 1968-75
Dla okresu 1975-83 mamy:
Dla okresu 1968-83 średnioroczne tempo wynosi:
.
W latach 1968-75 średnioroczny przyrost liczby ciągników wynosił 12,09%, a w latach 1975-83 odpowiednio 8,26%. W całym badanym okresie lat 1968-83 średnioroczne tempo przyrostu liczby ciągników było równe 10,03%. Widzimy z powyższego, że w okresie pierwszych siedmiu lat przyrost liczby ciągników był zdecydowanie szybszy niż w drugiej części tego okresu.
Wyszukiwarka