Gradient dywergencja rotacja operatorNabla iloczyn wektorowyIskalarny Wiki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Fizyka, semestr 2, z dropboxa


Operator nabla (Nabla) - operator różniczkowy traktowany w operacjach rachunkowych jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów.

W trójwymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych, wyrażony jako współrzędne wektora:

0x01 graphic
lub jako suma wektorów: 0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
to wektory bazowe czyli wektory jednostkowe (wersory) o kierunkach i zwrotach zgodnych z kolejnymi osiami (X,Y, Z) układu współrzędnych w R³.

Rotacja lub wirowość -operator różniczkowy działający na pole wektorowe 0x01 graphic
, tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
(z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako dF. Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla 0x01 graphic
i wektora 0x01 graphic
:

0x01 graphic
.

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

0x01 graphic
=0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są wersorami osi x,y,z układu współrzędnych.

Iloczyn skalarny - operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Iloczyn skalarny dwóch wektorów (z rozważanej przestrzeni euklidesowej) 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
wynosi z definicji 0x01 graphic

W przestrzeni euklidesowej istnieje silna zależność między iloczynem skalarnym a długością i kątem.

0x01 graphic
,gdzie 0x01 graphic
oznaczają długość (wartość) 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, θ jest kątem między nimi.

Ponieważ cosinus 0x01 graphic
wynosi zero, to iloczyn skalarny dwóch prostopadłych wektorów jest zawsze równy zeru

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem.

0x01 graphic
oznaczać będzie pole wektorowe klasy C1(ma pierwsza pochodną) w przestrzeni 0x01 graphic
, to znaczy funkcję 0x01 graphic
określoną na zbiorze otwartym 0x01 graphic
, różniczkowalną w sposób ciągły (tj. taką, której pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi) . Dywergencją pola F nazywamy pole skalarne div F dane wzorem

0x01 graphic
.

Często opertator dywergencji oznacza się także przez 0x01 graphic
- symbol iloczynu skalarnego ma tu jedynie charakter symboliczny, sugeruje on jednakże, iż dywergencję można traktować formalnie jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola.

Iloczyn wektorowy - działanie przyporządkowujące parze wektorów 0x01 graphic
wektor γ taki, że

-0x01 graphic
, 0x01 graphic
(w przypadku, gdy α i β są liniowo zależne, ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu)

-długość wektora γ jest równa polu równoległoboku wyznaczonego przez α i β

-zwrot wektora γ jest wyznaczony tak aby trójka wektorów (α,β,γ) (będąca bazą przestrzeni 0x01 graphic
w przypadku, gdy α i β są liniowo niezależne) była dodatnio zorientowana - zob. reguła prawej dłoni.

Iloczyn wektorowy wektorów α i β oznaczany jest symbolem 0x01 graphic
.

Iloczyn dwóch takich samych wektorów jest wektorem zerowym, ponieważ są one liniowo zależne w trywialny sposób.

Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny (w szczególności nie jest przemienny). Dokładniej: iloczyn wektorowy zmienia zwrot po zamianie kolejności dowolnych dwóch argumentów:0x01 graphic
.

Jeżeli weźmiemy dwa wektory, tzn. 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to ich iloczyn wektorowy można wyliczyć przy pomocy następującego wzoru (nie jest on formalnie poprawny ponieważ elementami macierzy nie mogą być jednocześnie liczby i wektory):

0x01 graphic

(8)

0x01 graphic
,

Gradient w analizie matematycznej - operator różniczkowy, który polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe. Owo pole wektorowe ma kierunek i zwrot wektora największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna do szybkości wzrostu (wzrost na jednostkę długości) funkcji, Gradient oznaczany jest przez grad lub symbolem nabla 0x01 graphic
, który jest odwróconą grecką literą delta.

Intuicyjnie gradient jest wektorem, którego zwrot wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości funkcji, natomiast długość odpowiada wzrostowi tej funkcji na jednostkę długości.

W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor gradientu jest określony jako:

0x01 graphic

lub inaczej

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.



Wyszukiwarka