Operator nabla (Nabla) - operator różniczkowy traktowany w operacjach rachunkowych jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów.

W trójwymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych, wyrażony jako współrzędne wektora:

lub jako suma wektorów:

gdzie:
to wektory bazowe czyli wektory jednostkowe (wersory) o kierunkach i zwrotach zgodnych z kolejnymi osiami (X,Y, Z) układu współrzędnych w R³.

Rotacja lub wirowość -operator różniczkowy działający na pole wektorowe
, tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez
lub
(z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako dF. Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla
i wektora
:

.

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

=

gdzie
są wersorami osi x,y,z układu współrzędnych.

Iloczyn skalarny - operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Iloczyn skalarny dwóch wektorów (z rozważanej przestrzeni euklidesowej)
oraz
wynosi z definicji

W przestrzeni euklidesowej istnieje silna zależność między iloczynem skalarnym a długością i kątem.

,gdzie
oznaczają długość (wartość)
oraz
, θ jest kątem między nimi.

Ponieważ cosinus
wynosi zero, to iloczyn skalarny dwóch prostopadłych wektorów jest zawsze równy zeru

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem.

oznaczać będzie pole wektorowe klasy C¹(ma pierwsza pochodną) w przestrzeni
, to znaczy funkcję
określoną na zbiorze otwartym
, różniczkowalną w sposób ciągły (tj. taką, której pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi) . Dywergencją pola F nazywamy pole skalarne div F dane wzorem

.

Często opertator dywergencji oznacza się także przez
- symbol iloczynu skalarnego ma tu jedynie charakter symboliczny, sugeruje on jednakże, iż dywergencję można traktować formalnie jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola.

Iloczyn wektorowy - działanie przyporządkowujące parze wektorów
wektor γ taki, że

-
,
(w przypadku, gdy α i β są liniowo zależne, ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu)

-długość wektora γ jest równa polu równoległoboku wyznaczonego przez α i β

-zwrot wektora γ jest wyznaczony tak aby trójka wektorów (α,β,γ) (będąca bazą przestrzeni
w przypadku, gdy α i β są liniowo niezależne) była dodatnio zorientowana - zob. reguła prawej dłoni.

Iloczyn wektorowy wektorów α i β oznaczany jest symbolem
.

Iloczyn dwóch takich samych wektorów jest wektorem zerowym, ponieważ są one liniowo zależne w trywialny sposób.

Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny (w szczególności nie jest przemienny). Dokładniej: iloczyn wektorowy zmienia zwrot po zamianie kolejności dowolnych dwóch argumentów:
.

Jeżeli weźmiemy dwa wektory, tzn.
i
, to ich iloczyn wektorowy można wyliczyć przy pomocy następującego wzoru (nie jest on formalnie poprawny ponieważ elementami macierzy nie mogą być jednocześnie liczby i wektory):

(8)

• długość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych pomnożonego przez sinus kąta między nimi zawartego:

,

• otrzymany wektor (o ile jest niezerowy) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory,

• zwrot ustalamy przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni,

Gradient w analizie matematycznej - operator różniczkowy, który polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe. Owo pole wektorowe ma kierunek i zwrot wektora największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna do szybkości wzrostu (wzrost na jednostkę długości) funkcji, Gradient oznaczany jest przez grad lub symbolem nabla
, który jest odwróconą grecką literą delta.

Intuicyjnie gradient jest wektorem, którego zwrot wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości funkcji, natomiast długość odpowiada wzrostowi tej funkcji na jednostkę długości.

W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor gradientu jest określony jako:

lub inaczej

gdzie
są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

---