WYKŁAD 5 13.11.2003

(by elle)

Tw. Jeżeli X jest zmienną losową typu skokowego , Y=g(X) oraz
( jest zbieżny) to

Tw. Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego , Y = g(x) oraz
(jest zbieżna) to

I. Wybrane rozkłady ciągłe:

1. rozkład normalny

gęstość :

σ - parametr skali σ>0

m - parametr przesunięcia m
R

N(m,σ) - rozkład normalny z parametrami m i σ

• m₁=E(X)=m wartość oczekiwana

• D²(X)=μ₂=σ² wariancja , 2-gi moment zwykły

• X_0,5=Me=m mediana dla rozkładu normalnego

• Każdy moment centralny rzędu nieparzystego jest równy zero , czyli
  

• Momenty centralne rzędu parzystego wyrażają się wzorem
  , (2r-1)!! - iloczyn kolejnych liczb nieparzystych(tylko) , dowód : μ₂=1!!*σ^2*1 = σ²

• Odchylenie standardowe :
  

• 
  - współczynnik asymetrii, rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym względem prostej x=m
  
  ,
  ,
  ,
  ,
  ,
  Reguła trzy-sigmowa

Prawie wszystkie wartości zmiennej X zawarte są w przedziale (m-3σ,m+3σ) Standaryzacja rozkładu normalnego X~N(m,σ) x ma rozkład normalny z parametrami m,σ to
ma rozkład normalny z parametrami N(0,1) . Rozkład N(0,1) nazywa się standaryzowanym rozkładem normalnym.

Funkcja gęstości rozkładu N(0,1) →

Dystrybuanta N(0,1)
zmienna T nazywa się standaryzowaną zmienną losową

2. rozkład gamma Eulera

Z rozkładem gamma związana jest funkcja gamma określona wzorem :

jest funkcją ciągłą

gęstość dla rozkładu gamma Eulera
gdzie b>0 i p>0

szczególnym przypadkiem rozkładu gamma Eulera (dla p=1,
, λ>0)

3. rozkład wykładniczy
   
   - parametr, λ>0

Zastosowanie rozkładu wykładniczego:

• przyjmuje się, że czas bezawaryjnej pracy urządzenia T badanego urządzenia (elementu) jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym. Wówczas
  gdzie
  - intensywność awarii. W związku z tym dobrą aproksymantą (przybliżeniem) niezawodności jest funkcja (*)
  . ponadto wiadomo N(t)=1-F(t) gdzie F jest dystrybuantą rozkładu wykładniczego. Własność zmiennej T określona wzorem (*)
  nazywamy wykładniczym prawem niezawodności .

II. Wielowymiarowe zmienne losowe

Niech dana jest przestrzeń probabilistyczna i zmienne losowe X₁,X₂…X_n określone na tej przestrzeni. Uporządkowany układ (X₁,X₂…X_n ) nazywamy n wymiarową zmienną losową lub wektorem losowym jeżeli dla każdego A przeciwobrazu uogólnionego przedziału
jest zdarzeniem losowym (X-iloczyn kartezjański).

Rozkład prawdopodobieństwa

Funkcję Px określoną wzorem
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa wektora losowego X, A

,
- rodzina zbiorów borelowskich przestrzeni Rⁿ

Dystrybuantą wyznaczoną przez rozkład prawdopodobieństwa Px nazywamy dystrybuantą n-wymiarowej zmiennej losowej (X₁,X₂…X_n ) lub w skrócie n wymiarową dystrybuantą. Zatem dystrybuantą jest funkcja określona wzorem

UWAGA

Szczególnym przypadkiem zmiennej n-wymiarowej jest zmienna dla n=2. Czyli zmienna dwuwymiarowa, oznaczamy ją (X₁,X₂) lub częściej (X,Y).

Dystrybuanta dla zmiennej dwuwymiarowej wyraża się wzorem:

Aby funkcja rzeczywista dwóch zmiennych była dystrybuantą musi być funkcją niemalejącą przynajmniej lewostronnie ciągłą dla każdego x,y oraz

a także dla każdych (x₁,y₁), (x₂,y₂) takich ,że x₁<x₂ , y₁<y₂ musi zachodzić warunek

Typy wielowymiarowych zmiennych losowych

1. wielowymiarowe zmienne losowe typu skokowego

2. wielowymiarowe zmienne losowe typu ciągłego

Ad a.

N-wymiarowa zmienna losowa X jest typu skokowego jeżeli istnieje przeliczalny zbiór X taki , że
P_x(X)=1 innymi słowy niech x_i
X

Szczególnym przypadkiem jest dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego.

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) typu skokowego przyjmuje skończoną lub przeliczalną liczbę wartości (x_i , y_k ) dla i=1,2…r , k=1,2,…m lub (i,k
N) z prawdopodobieństwem p_ik=P(X=x_i, Y=y_k)

Def. Funkcji prawdopodobieństwa dla dwuwymiarowej zmiennej

Niech (x_i , y_k ) jest punktem skokowym zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego. Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa (X,Y) przyjmuje wartości (x_i , y_k ) nazywamy funkcję prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego. Przy czym:
gdzie p_ik = P( X = x_i, Y = y_k )

Funkcję prawdopodobieństwa bardzo często zapisuje się w postaci tabeli :

X Y	y1 y2 …yn
x1 x2 . . . xn	p11 p12 … p1m p21 p22 … p2m . . . pr1 pr2 … pr m

Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego

Def. Zmienna losowa (X₁,X₂…X_n ) jest typu ciągłego jeżeli istnieje nieujemna funkcja f taka , że :

Funkcję nazywamy gęstością prawdopodobieństwa zmiennej (X₁,X₂…X_n )

Zatem funkcja gęstości musi być funkcją nieujemna i musi spełniać warunek:

W punktach , w których f jest ciągła zachodzi

- pochodna cząstkowa

i

Dwuwymiarowa zmienna losowa typu ciąglego