Uniwersytet Medyczny w Łodzi

Wydział Wojskowo-Lekarski

Biofizyka

Ćwiczenie M1: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokes'a (opadania kulki).

Łukasz Janas

Grupa I

Zespół I

Łódź, 13.10.2004

Temat ćwiczeń: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokes'a (opadania kulki).

Podstawy teoretyczne

Ze zjawiskiem lepkości mamy do czynienia, gdy ciecz zostaje wprawiona w ruch. Atomy i cząsteczki danej substancji płynu oddziaływają między sobą. Gdy płyn przepływa, dochodzi w nim do tzw. tarcia wewnętrznego. O ile w przypadku ciał stałych siły tarcia działają wyłącznie na ich powierzchni, o tyle dla cieczy - oddziaływanie takie ma miejsce w całej ich objętości. Wskutek tarcia występującego między cząsteczkami cieczy, poruszająca się cząsteczka pociąga za sobą sąsiadujące cząsteczki tym silniej, im większa jest siła lepkości. Te cząsteczki pociągają następne itd. Każda następna warstwa porusza się jednak nieco wolniej, tym wolniej, im mniejsza lepkość cieczy. Lepkość danej cieczy jest miarą jej tarcia wewnętrznego. Materiał naczynia nie ma wpływu na lepkość, ponieważ ich powierzchnie są stale pokryte warstewkami cieczy. Tarcie występuje, zatem tylko między cząsteczkami cieczy.

Siła potrzebna do wprawienia cieczy w ruch jednostajny (pokonująca opór lepki) opisana jest wzorem:

,

gdzie
- współczynnik lepkości dynamicznej cieczy (lepkość), S - pole przekroju naczynia w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ruchu,
- różnica prędkości między danymi dwoma warstwami cieczy,
- odległość między tymi warstwami. Współczynnik lepkości jest stałą proporcjonalności między siłą F a spadkiem prędkości cieczy między poszczególnymi warstwami cieczy
i polem przekroju poprzecznego S. Z podanego wzoru wynika, że jednostką tego współczynnika jest:

Stosowana jest również jednostka zwana puazem (P).

Jeśli
nie zależy od V cieczy, to taką ciecz nazywamy newtonowską.

Istnieje kilka metod badania oceny lepkości cieczy, a więc wyznaczania współczynnika lepkości. Wśród nich do najbardziej znane są:

1. Metody z wykorzystaniem przepływu cieczy przez kapilary. Do najbardziej znanych wiskozymetrów (lepkościomierzy) kapilarnych należą wiskozymetr Ostwalda czy też wiskozymetr Hessa. Posługiwanie się lepkościomierzem Ostwalda polega na zmierzeniu czasu przepływu jednakowych objętości cieczy badanej i wzorcowej przez kapilarę BC. Na podstawie prawa Poiseuille'a można zapisać

,

gdzie wartości z indeksem „0” odnoszą się do cieczy wzorcowej. Uwzględniając, że 
, otrzymujemy, że:

2. Metoda rotacyjna. Wiskozymetr rotacyjny zbudowany to cylinder z cieczą, umieszczony wewnątrz ultratermostatu (stabilizacja warunków termicznych). W jego wnętrzu znajduje się drugi cylinder, tzw. cylinder pomiarowy, podłączony do miernika elektryczno-mechanicznego, którego wskazanie α jest wprost proporcjonalne do
   .

Wartość
obliczamy ze wzoru:

,

gdzie
, a
(Z i
odczytujemy z odpowiednich tabel dołączonych do wiskozymetru).

3. Metoda Stokes'a. Opiera się ona na spadaniu ruchem jednostajnym i prostoliniowym kulki w cieczy. Sytuację taką przedstawia rysunek:

I zasada dynamiki Newtona mówi, że jeżeli działające na ciało siły wzajemnie się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oto zapis tejże zasady dla przedstawionego przypadku:

Zaznaczona jako
siła oporu lepkiego (siła Stockes'a) jest opisana wzorem:

,

gdzie
oznacza lepkość cieczy, r i V - odpowiednio promień i prędkość opadania kulki.

Ciężar kulki
. Siła wyporu
.

Podstawiając wzory na poszczególne siły do zapisanej I zasady dynamiki i odpowiednio przekształcając otrzymane równanie, otrzymujemy wzór na współczynnik lepkości cieczy:

.

Przekształcając powyższy wzór (pamiętając, że
, gdzie
,
- objętość i masa ciała), otrzymujemy zależność:

(*)

gdzie h - droga przebyta w cieczy przez kulkę w czasie t.

Lepkość krwi zależy w głównej mierze od:

1. hematokrytu (stosunku objętości krwinek w danej objętości krwi do objętości tej krwi) -powyżej 60% lepkość krwi wzrasta znacznie;

2. temperatury - lepkość w 0ºC jest około 2,5 raza większa niż w 37ºC;

3. przekroju naczynia, w którym ta krew płynie - dla naczyń o średnicy mniejszej niż 0,3mm lepkość zmniejsza się w miarę zmniejszania pola przekroju naczynia; dla naczyń o średnicy większej niż 0,3mm - lepkość nie zależy od przekroju;

4. szybkości przepływu

Do opisu przepływu krwi są stosowane niektóre prawa hydrodynamiki. Najważniejsze spośród nich, to:

1. Prawo ciągłości strugi

Przez dowolny przekrój poprzeczny przewodu, w tym samym czasie, przepływa taka sama ilość cieczy.

Oznacza to, że strumienie objętości (Q) w poszczególnych odcinkach naczyń (stosunek objętości
cieczy przepływającej przez przekrój poprzeczny naczynia S do czasu
) jest stały.

Zauważmy, że
, gdzie
to prędkość przepływu cieczy. Prawo ciągłości strugi ma zatem także następującą postać:

.

2. Prawo Bernoulliego

Przy przepływie cieczy doskonałej przez przewód o zmiennej powierzchni przekroju suma ciśnień (statycznego
, zewnętrznego p i ciśnienia prędkości
, zwanego również ciśnieniem dynamicznym) w każdym przekroju jest jednakowa.

Wynika stąd, że w miejscu przewężenia, na skutek wzrostu prędkości przepływu, ciśnienie statyczne jest mniejsze.

Suma ciśnień ciśnienia statycznego oraz dynamicznego nazywana jest mianem ciśnienia całkowitego. Natomiast suma ciśnienia zewnętrznego i ciśnienia statycznego, wynikającego z wysokości słupa cieczy, nazywana jest ciśnieniem hydrostatycznym.

3. Prawo Hagena-Poisseuille'a

Dla cieczy newtonowskiej strumień objętości wyraża się wzorem:

,

gdzie
oznacza różnicę ciśnień na końcach przewodu, wywołującą ruch cieczy, R - naczyniowy opór przepływu odcinka przewodu, na którym występuje
, l - długość odcinka przewodu, r - promień przewodu. Stąd opór
. Zatem jest on odwrotnie proporcjonalny do czwartej potęgi promienia przewodu. Ponieważ jednak krew nie jest cieczą newtonowską
oraz R zależą od ciśnienia - strumień objętości nie jest dokładnie proporcjonalny do różnicy ciśnień
.

4. Prawo Pascala

Jeśli ciśnienie zewnętrzne działa na zamkniętą objętość płynu, to ciśnienie w jego wnętrzu jest wszędzie jednakowe i działa prostopadle do ścianek naczynia.

5. Prawo Archimedesa

Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu skierowana pionowo ku górze (przeciwnie do siły ciężkości) i równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

Wzór na siłę wyporu:

.

Część doświadczalna

Przebieg doświadczenia

1. Zmierzyć średnicę „d” każdej kulki. Obliczyć wartość średnią „d_śr”.

2. Obliczyć średni promień „r_śr”.
   

3. Wyznaczyć masę n=5 kulek „m_c” z dokładnością do 0,01g i obliczyć średnią masę jednej kulki
   .

4. Zmierzyć drogę opadania kulek
   przy pomocy miarki milimetrowej (odległość między gumkami AB ustalić na ok. 50cm).

5. Wyznaczyć czas opadania „t” każdej z kulek na drodze „h” przy pomocy sekundomierza, a następnie obliczyć średni czas opadania kulki „t_śr”.

6. Odczytać z tablic gęstość gliceryny.

7. Obliczyć średni współczynnik lepkości
   zgodnie z wyprowadzonym wcześniej wzorem.

8. Wyniki zestawić w tabeli.

9. Wyjąć kulki z cieczy i osuszyć.

10. Obliczyć błąd względny
    w [%].
    
    ,
    gdzie
    
    - dokładność ważenia
    
    ,
    - wyznaczyć jako średnie błędy kwadratowe wielkości t i r
    
    - dokładność pomiaru h (ocenić)

11. Porównać otrzymane
    z wartościami
    dla gliceryny w tablicach.

12. Napisać wnioski wynikające z doświadczenia.

Tabela pomiarów

Lp.
1	0,68	0,716	0,358	2,55	0,51	50	8,5	7,48	1,26	981	5,82	0,582
2	0,75																7,0
3	0,70																7,3
4	0,70																7,2
5	0,75																7,4

Obliczenie wartości szukanej

Korzystając z wyprowadzonego w części teoretycznej wzoru (*), obliczam średni współczynnik lepkości

Otrzymany wynik wpisuję do tabeli.

Przystępuję do określenia błędu względnego pomiaru lepkości. W tym celu niezbędne jest określenie dokładności pomiaru poszczególnych wielkości mierzonych. Dokładność ważenia
(zgodnie z planowanym przebiegiem doświadczenia), dokładność pomiaru h
. Dokładność pomiaru promienia kulki i czasu spadania, wyznaczymy obliczając średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru
i
.

,

gdzie
i
to wartości poszczególnych pomiarów promienia kulki i czasu.

Błąd względny obliczamy ze wzorem:

Podstawiając wartości do wzoru, otrzymujemy, że
.

Wartość współczynnika lepkości dla gliceryny, podawana w tabelach, wynosi
.

Wnioski

Łatwo zauważyć, że wartość otrzymana odbiega od wartości podawanych w tabelach, nawet uwzględniając obliczony błąd. Istnieje wiele przyczyn takiego stanu rzeczy. Po pierwsze liczba pomiarów (n=5) była dość niewielka, co z pewnością rzutuje na dokładność pomiaru. Co więcej, pierwszy pomiar czasu znacznie odbiega od pozostałych. Spostrzeżenie takie pozwala na wniosek, iż jest on obarczony grubym błędem. Niedokładność pomiaru może również wynikać np. z niedoskonałej podziałki linijki (błąd systematyczny) lub błędów pomiaru czasu (niedokładne zmierzenie na sekundomierzu - błąd przypadkowy). Pomimo popełnienia wszystkich wymienionych błędów należy zauważyć, że zachowano rząd wielkości wartości podawanej w tabelach.

9

---