1. Aksjomaty mechaniki klasycznej

a) Ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym, jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające się równoważą

b) Każda siła przyłożona do ciała udziela temu ciału przyspieszenia. Przyspieszenie to jest skierowane wzdłuż linii działania przyłożonej siły, a jego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości tej siły.[F =ma]

c) Każdemu działaniu towarzyszy

2. Więzy, klasyfikacja, przykłady

Ciało, które może dowolnie przemieszczać się w przestrzeni nazywamy ciałem swobodnym. Czynniki ograniczające swobodę ciała nazywamy więzami. Siły, jakimi więzy oddziaływują na ciało nieswobodne nazywamy reakcjami więzów.

Rodzaje więzów:

a) podpory ruchome

- podparcie na idealnie gładkiej powierzchni

- podparcie na ostrzu - pryzmie

-podparcie w łożysku ruchomym

b) więzy wiotkie

- sznury, liny, łańcuchy

c) podpora stała

- podpora - uskok (róg)

- łożysko

- przegub

3. Redukcja środkowego układu sił

Siły możemy składać (redukować) dwiema metodami

a).równoległoboku - są dane trzy siły: F₁, F₂, F­₃, sumujemy siły F₁, F₂ - siła W₁, następnie F­₃ z W₁-siłaW

b) wieloboku - polega ona na

geometrycznym dodawaniu wektorów.

4. Redukcja płaskiego układu sił.

Redukcją układu wektorów nazywamy zastąpienie danego układu wektorów, równoważnym układem prostszym. Warunkiem równoważności jest, aby wektor główny i moment główny porównywanych wektorów były jednakowe. Jeżeli układ można zredukować do jednego wektora, to wektor ten nazywamy wektorem wypadkowym. Wektor wypadkowy jest zawsze równy wektorowi

głównemu. Jeżeli układ nie da się zredukować do jednego wektora, to mówimy, że układ taki nie ma

wektora wypadkowego. Przykładem układu wektorów nie mającego wektora wypadkowego jest para sił.

Redukować możemy:

a) wykreślnie (metoda wieloboku sznurowego).

b) analitycznie

Dowolny układ sił, działających na ciało sztywne, o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie możemy zastąpić wektorem głównym R, przyłożonym do dowolnie wybranego środka redukcji O oraz momentem głównym M_o względem środka redukcji O.

Wektor główny R jest równy sumie geometrycznej wszystkich sił układu [R=ΣP_i=iR_x+jR_y=iΣP_ix+jP_iy] Wartość wektora głównego oraz kąt α, jaki ten wektor tworzy z osiα O_x wyznaczamy ze wzorów [R=(R_x²+R_y²)^1/2], [α=arcsin(R_y/R)]

Moment główny M_o względem środka redukcji O jako początku układu współrzędnych O_xy jest równy sumie momentów danych sił układu względem punktu O. [M_o=ΣM_io=Σ(r_ixP_i)=kM_o] Wektor momentu głównego M_o jest wektorem o jednej składowej w kierunku wersora k, czyli prostopadły do płaszczyzny O_xy i wektora głównego R.

5. Moment siły nie będącej początkiem układu współrzędnych

Momentem siły względem punktu nazywamy wektor mający następujące cechy:

- wartość liczbową równą iloczynowi [Fr],

- kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania siły i biegun,

- zwrot.

Wnioski:

- moment siły nie zmienia się, gdy siłę przesuwamy wzdłuż linii jej działania (nie zmienimy ramienia)

- moment siły względem wszystkich punktów

leżących na linii działania danej siły jest równy 0

6. Równoważne pary sił, dodawanie pary sił, równoległe przenoszenie siły.

Parą sił nazywamy układ dwóch sił o równej wartości i jednakowych kierunkach, lecz o przeciwnych zwrotach. Niezależnie od obranego bieguna suma momentów sił tworzących parę jest stała i równa wartości jednej z sił pomnożonej przez ramię pary. Iloczyn ten nazywamy momentem pary sił [M=Fr] Pary sił nie można zastąpić, ani zrównoważyć jedną siłą wypadkową.

Własności pary sił:

- skutek działania pary sił nie zmieni się, jeżeli daną parę przeniesiemy w dowolne inne położenie w jej płaszczyźnie

-skutek działania pary sił na ciało sztywne nie zmieni się, jeśli daną parę przeniesiemy w dowolne położenie na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny pary,

- działanie pary sił nie zmieni się, jeśli proporcjonalnie powiększymy siły pary, a pomniejszymy jej ramię, lub odwrotnie

- parę sił można zrównoważyć tylko drugą parą sił lub momentem o równej wartości, lecz przeciwnego

znaku. podobnie jak siły, również pary sił można składać (dodawać) czyli zastępować pewną liczbę par jedną parą sił - wypadkową. Suma momentów wszystkich par składowych wynosi: [M=M₁+M₂+..+M_n]

7. Warunki równowagi ciała sztywnego, na które działa płaski układ sił

a) wykreślne warunki równowagi:

wielobok sił musi być zamknięty

-wielobok sznurowy musi być zamknięty.

b) analityczne warunki równowagi:

-suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x musi

musi się równać 0,

-suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y musi się równać 0,

-suma algebraiczna momentów wszystkich sił (moment główny) względem dowolnego bieguna musi się równać 0. [ΣF_ix=0,ΣF_iy=0,ΣM_i=0]

8. Niezmienniki układu sił

Wektor główny oraz iloczyn skalarny wektora głównego i momentu głównego nazywamy niezmiennikami układu sił.

9. Podać określenie skrętnika i osi centralnej

Osią centralną nazywamy prostą, składającą

się z punktów względem których momenty główne układu sił są do niej równoległe.

Skrętnikiem nazywamy układ równoległych wektorów i momentów głównych.

10. Podać warunek, przy którym układ sił redukuje się do wypadkowej.

Warunkiem tym jest otwartość wieloboku sił i wieloboku sznurowego.

11. Redukcja płaskiego układu sił metodą wieloboku sznurowego.

Kolejność wykonywania czynności:

• z dowolnego punktu leżącego na

płaszczyźnie układu kreślimy wielobok sił

• łączymy początek pierwszej z końcem ostatniej siły na tym wieloboku, znajdujemy w ten sposób sumę s określającą nam wartość, kierunek i zwrot szukanej wypadkowej,

• obieramy dowolny punkt O za biegun i łączymy go z początkiem i końcem każdej siły na wieloboku sił. Wielobok sił wraz z biegunem i promieniami wieloboku sił nazywać będziemy planem sił.

• promienie wieloboku sił numerujemy tak, żeby

promienie wieloboku sił numerujemy tak, żeby

• liczba oznaczająca promień odpowiadała sile, której początek dany promień łączy z biegunem. Tak więc początek siły pierwszej - promień pierwszy początek siły drugiej - promień drugi itp. Promień ostatni łączy biegun z końcem ostatniej siły na wieloboku

równolegle do poszczególnych promieni wieloboku sił kreślimy wielobok sznurowy, Bok pierwszy do przecięcia się z linią działania pierwszej siły, z otrzymanego punktu bok drugi do przecięcia się z linią działania siły drugiej itd.

• przez ten punkt rysujemy równą co do wartości,

• kierunku i zwrotu sumie s.

Konstrukcja wieloboku sił umożliwia określenie wartości, kierunku i zwrotu wypadkowej. Konstrukcja wieloboku sznurowego służy tylko do określenia położenia wypadkowej w układzie sił.

12. Omówić przypadki występujące przy wieloboku sił i wieloboku sznurowym.

a) wielobokiem sznurowym otwartym nazywamy taki wielobok, którego skrajne boki przecinają się w jednym punkcie lub są do siebie równoległe (ale nie leżą na wspólnej prostej)

b)wielobok sznurowy, którego pierwszy i ostatni bok

leżą na jednej prostej, nazywamy zamkniętym

Składając wykreślnie dowolny płaski układ sił, możemy się spotkać z następującymi przypadkami:

• wielobok sił otwarty, wielobok sznurowy otwarty - w tym przypadku układ sił ma wypadkową równą co do wartości, kierunku i zwrotu sumie geometrycznej wszystkich sił, znalezionej za pomocą wieloboku sił. Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt przecięcia się skrajnych boków wieloboku sznurowego.

• wielobok sił zamknięty, wielobok sznurowy otwarty - w tym przypadku dany układ sił można

• zastąpić parą sił, której siły leżą na skrajnych bokach wieloboku sznurowego.

• wielobok sił zamknięty, wielobok sznurowy zamknięty - w tym przypadku rozpatrywany układ jest w równowadze.

13. Zdefiniować tarcie nierozwinięte, rozwinięte, przykłady wykresów zmian współczynnika μ.

Graniczną siła tarcia, przy której równowaga względna ciał jest jeszcze zachowana nazywamy rozwiniętą siła tarcia.

Siła tarcia [T=Ntgρ] (N - reakcja normalna) ma wartość największą w chwili równowagi

granicznej [F=F_gr] (występuje wówczas bowiem największa wartość ρ). Zjawisko występowania tej siły nazywamy tarciem rozwiniętym, w przeciwieństwie do tarcia nierozwiniętego występującego przy [F<F_gr]. Po przyłożeniu siły o wartości F większej od F_gr ciało będzie się poruszać. Tarcie nie przestaje wtedy działać, lecz jest mniejsze od wartości siły T odpowiadającej równowadze granicznej.

14. Co to jest stożek tarcia?

Przyjmujemy, że ciało o ciężarze G

leży na równi. W chwili równowagi granicznej (gdy

siła czynna osiągnie wartość F_gr ) całkowita reakcja R odchyli się od normalnej N o kąt tarcia ρ. Załóżmy teraz, że siła czynna F obraca się w płaszczyźnie poziomej dookoła reakcji N. Wtedy całkowita reakcja R oraz siła tarcia T również obracają się dookoła tej samej reakcji N. Przy pełnym obrocie zatoczą one stożek, nazywany stożkiem tarcia.

Jeżeli współczynnik tarcia ma jednakową wartość dla wszystkich kierunków (tarcie izotropowe), to stożek ten jest stożkiem kołowym. W przypadku tarcia anizotropowego stożek nie jest stożkiem kołowym.

Kąt wierzchołkowy tego stożka będzie równy 2ρ. W położeniu równowagi reakcja całkowita R musi leżeć wewnątrz stożka tarcia. W przypadku równowagi granicznej (tarcie całkowicie rozwinięte) reakcja R leży na tworzącej stożka.

16. Zjawiska związane z występowaniem tarcia w układach mechanicznych.

Występowanie tarcia w układach mechanicznych jest zjawiskiem generalnie

niekorzystnym, gdyż powoduje straty energii, która wydziela się w postaci ciepła, jak również powoduje zużycie współpracujących elementów. Czasami

jednak tarcie jest zjawiskiem wskazanym (wszelkiego rodzaju hamulce, sprzęgła, mocowania)

17. Zjawisko zakleszczania.

Zakleszczanie ma miejsce w przypadku mechanizmów, w których przesuwanie jednego elementu względem drugiego wywołuje zwiększenie nacisku, a tym samym zwiększenie siły tarcia. Przykładem takiego mechanizmu są szczęki maszyny wytrzymałościowej tzw. zrywarki. Przedmiot mocuje się w uchwycie o wewnętrznie zbieżnych powierzchniach za pomocą specjalnych

klinów, przesuwanie przedmiotu wywołuje naprężenia rozciągające uchwytu, a tym samym wzrost tarcia. Współczynnik tarcia μ miedzy obudową i klinami powinien być jak najmniejszy, a między klinami i mocowanym przedmiotem jak największy.

18. Tarcie opasania.

Tarciem cięgna o krążek nazywamy siły tarcia występujące między powierzchniami cylindrycznymi i cięgnami na nie nawiniętymi. Związek między napięciami S₁ i S₂ w cięgnie opasującym krążek opisuje związek: [S₂= S₁e^μα] μ-wsp. tarcia

ślizgowego, α-kąt opasania

Wartość e^μα jest zawsze większa od 1, gdyż μα>0, a więc siła S₂ jest większa od siły S₁.

19. Metody wyznaczania sił w prętach kratownic płaskich

Siły w prętach kratownic można wyznaczyć metodami wykreślnymi bądź analitycznymi. Metoda wykreślna jest mniej dokładna, lecz znacznie szybsza.

20. Warunek statycznej wyznaczalności kratownic płaskich

[p=2w-3] p. - liczba prętów

kratownicy, w - liczba węzłów kratownicy.

21. Metoda Cremony

Rozwiązanie kratownicy metodą Cremony sprowadza się do wykonania następujących czynności:

• sporządzenia rysunku kratownicy w dowolnie przyjętej skali,

• wyznaczenia sposobem wykreślnym lub analitycznym reakcji w podporach,

• przyjęcia podziałki,

• oznaczenia kolejnymi literami pół zewnętrznych i wewnętrznych na kratownicy,

• wyznaczenia na planie sił tych punktów, które odpowiadają polom zewnętrznym na kratownicy, z zachowaniem obiegu,

• wyznaczenia na planie sił, zgodnie z przyjętym obiegiem, punktów odpowiadającym polom wewnętrznym na kratownicy,

• zestawienia w tabelce wartości sił wewnętrznych z oznaczeniem + sił rozciągających, a - sił ściskających.

22. Metoda Rittera

Rozwiązanie kratownicy metodą Rittera sprowadza się do wykonania następujących czynności

• wyznaczamy analitycznie lub wykreślnie reakcje w podporach,

• przecinamy kratownicę przez trzy pręty, w których chcemy określić siły wewnętrzne,

• jedną część kratownicy odrzucamy (najlepiej tę, na którą działa więcej sił zewnętrznych),

• zakładamy, że przecięte pręty są rozciągane trzema siłami zewnętrznymi,

• dla tych trzech sił i dla pozostałych sił zewnętrznych działających na rozważaną część kratownicy układamy analityczne warunki równowagi

• z równań tych znajdujemy trzy niewiadome, przy czym, jeśli któraś ze znalezionych sił będzie miała znak - to pręt, w którym ona działa jest ściskany.

Metodę Rittera można zastosować tylko wtedy, gdy w kratownicy da się poprowadzić taki przekrój, aby przeciąć tylko 3 pręty nie schodzące się w jednym węźle.

23. Metoda Culmanna

Rozwiązanie kratownicy metodą Culmanna sprowadza się do wykonania następujących czynności:

• przecinamy kratownicę przekrojem

• przyjmujemy, że na wypadkowa sił zewnętrznych działających na tą kratownicę równa jest W oraz oddziaływanie odrzuconej części kratownicy przejawia się w postaci napięć w prętach S₁, S₂, S₃.

• zastąpmy napięcia S₂, S₃ ich wypadkową W_2,3 przyłożoną w punkcie A na razie na mnie znaną. Na lewą część kratownicy działają więc trzy siły: W, W_2,3, S₁. Powinny zatem przeciąć się w jednym punkcie, którym jest punkt C przecięcia sił W, S₁ o kierunkach znanych. Ten warunek pozwala nam wyznaczyć kierunek wypadkowej W_2,3 pokrywający się z prostą AC

• znając zaś wartość W i kierunki sił W_2,3, S₂ wykreślamy trójkąt sił W, W_2,3, S₁, z którego można wyznaczyć wartości W_2,3, S₁, a następnie wykreślamy trójkąt sił W_2,3, S₂, S₃, z którego wyznaczamy wartości sił.

2. Geometria mas

24. Środek ciężkości ciała, środek masy

Środek masy jest to punkt, którego wektor wodzący pomnożony przez masę układu równa się sumie iloczynów wektorów wodzących wszystkich punktów układu i ich masy. [mr_c=Σm_ir_i]

Środek ciężkości jest to punkt będący środkiem

równoległych sił ciężkości - w punkcie tym można przyłożyć wypadkową siłę ciężkości układu.

W warunkach ziemskich, kiedy nie uwzględniamy różnic odległości punktów danego układu od środka Ziemi środek masy i środek ciężkości pokrywają się.

Położenie środka ciężkości dla ciała jednorodnego zależy tylko od kształtu geometrycznego ciała. Dla takich ciał prawdziwe są stwierdzenia

• jeżeli ciało ma jedną oś symetrii to środek ciężkości leży na tej osi,

• jeżeli ciało ma dwie osie symetrii to środek

ciężkości leży na tej osi,

• jeżeli ciało ma dwie osie symetrii to środek ciężkości leży na przecięciu tych osi,

• środek ciężkości ciała złożonego z kilku ciał pokrywa się ze środkiem ciężkości punktów materialnych o masie danych ciał leżących w środkach poszczególnych ciał składowych.

25. Środek ciężkości wycinka kołowego

Środek ciężkości wycinka kołowego leży na osi symetrii danego wycinka, pozostaje tylko wyznaczyć odległość od środka koła. Zastępując wycinek trójkątami elementarnymi, których środek

ciężkości leży w odległości 2/3r od środka wycinka otrzymujemy:

26. Przy jakich warunkach środki: geometryczny, ciężkości i masy bryły pokrywają się

Warunkiem pokrywania się tych środków jest:

• jednorodność bryły czyli równy rozkład masy w objętości

• występowanie środka symetrii.

27. Reguły Pappusa - Guldina

Twierdzenia te dotyczą powierzchni i objętości brył powstałych skutek obrotu linii i figury płaskiej wokół osi leżącej z nimi w jednej płaszczyźnie. Istnieje zależności między powierzchniami i objętościami powstałych brył obrotowych, z liniami tworzącymi te bryły.

1. Powierzchnia zakreślona przez obrót odcinka linii płaskiej od długości L dookoła osi leżącej na płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, równa się iloczynowi jej długości i drogi, jaką opisuje przy obrocie

środek masy tej linii. [P=2Πx_cL]

2. Objętość bryły zatoczonej przez obrót figury płaskiej dookoła osi leżącej na płaszczyźnie figury i nie przecinającej jej, równa się iloczynowi powierzchni figury i długości drogi jaką opisuje przy obrocie środek masy figury. [V=2Πx_cP]

28. Zależności między momentami bezwładności względem prostych i płaszczyzn.

Moment bezwładności punktu względem prostej:

Moment bezwładności punktu względem płaszczyzny:

ρ-odległość punktu od prostej / płaszczyzny

Moment bezwładności ciała względem prostej równy jest sumie momentów względem dwóch prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej prostej.

[I_x=I_Πxz+ I_Πxy; I_y=I_Πyx+ I_Πyz; I_z=I_Πzx+ I_Πzy]

Moment bezwładności ciała względem dowolnej płaszczyzny [Π_xz] (prostej) równy jest sumie momentu bezwładności względem płaszczyzny [Π_XZ] (prostej) równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy oraz iloczyn masy i kwadratu odległości między płaszczyznami [y_c] (prostymi).

[I_Πxz= I_ΠXZ+my_c²]

Dla prostych równoległych x i X związek ma postać

[I_x=I_X+md²] d - odległość między prostymi.

29. Promień bezwładności ciała.

Zakładając, że masę ciała oznaczymy przez m i

dobierzemy pewną odległość k tak aby spełniona była zależność: [mk²=I] gdzie: I - moment bezwładności danego ciała względem punktu osi lub płaszczyzny otrzymujemy zależność:
zwaną promieniem bezwładności ciała.

Zadanie: Ile wynosi promień bezwładności kuli o promieniu r względem średnicy?

[I_c=1/2(I_x+I_y+I_z)] ale dla kuli I_x=I_y=I_z zatem otrzymujemy:

[I_c=3/2I_x]; [I_c=(m3r²)/5] [m=4/3Πr³μ] m - masa kuli, μ - gęstość

oraz [I_x=2/3I_c=2/5mr²]

30. Sformułować i udowodnić twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności

Moment bezwładności ciała względem punktu O

określamy wzorem: [I_O=I_C+mr­_C²]A więc moment

bezwładności ciała względem dowolnego punktu równy jest sumie momentu względem środka masy i iloczynu masy ciała i kwadratu odległości danego punktu od środka masy. Twierdzenie to ma postać:

[I_x=I_X+md²] d - odległość między prostymi.

Dowód:

Z powyższego wzoru wynika, że obliczając momenty względem dowolnych równoległych płaszczyzn(prostych) otrzymamy najmniejszą wartość momentu dla płaszczyzny (prostej) przechodzącej przez środek

masy, co jest zgodne z rzeczywistością.

31. Sformułować i udowodnić twierdzenie Steinera dla momentów dewiacji.

Momentem dewiacji ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas elementów ciała i odległości tych elementów od danych płaszczyzn. Momenty odśrodkowe możemy określić wzorami:

[I_xy=∫xydm; I_xz=∫xzdm; I_yz=∫yzdm]

Przyjmijmy układ współrzędnych XYZ związany z ciałem o środku w punkcie środka masy ciała. Odległości płaszczyzn układu xyz XYZ są równe:

x_c,y_c,z_c. Moment dewiacji względem płaszczyzny xy można określić wzorem:

[I_xy=∫xydm=∫(X+x_c)(Y+y_c)dm=∫XYdm+y_c∫Xdm+x_c∫Ydm+∫x_cy_cdm]

Całka druga i trzecia przedstawiają momenty statyczne ciała względem płaszczyzn przechodzących przez środek masy, są więc równe 0. Otrzymujemy twierdzenie Steinera:

[I_xy=I_XY+mx_cy_c]

Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn

prostopadłych jest równy sumie momentu dewiacji względem płaszczyzn równoległych do danych i

przechodzących przez środek masy ciała oraz iloczynu masy skupionej w środku masy ciała i odległości odpowiednich płaszczyzn.

Dowód:

Weźmy pod uwagę ciało posiadające jedną płaszczyznę symetrii. Określając współrzędne elementów ciała od tej płaszczyzny stwierdzamy, że wszystkie elementy można pogrupować w pary o współrzędnych x_i;-x_i Sumując momenty dewiacji elementów względem płaszczyzny symetrii i płaszczyzny do niej prostopadłej otrzymamy dwie sumy o przeciwnych znakach. Moment dewiacj

i względem płaszczyzny symetrii i płaszczyzny do niej prostopadłej jest równy 0 . To samo można powiedzieć o ciele mającym oś symetrii.

32. Wyprowadzić równanie na moment bezwładności bryły względem dowolnej osi elipsoidy bezwładności

[I_u=I_xcos²α+ I_ycos²β+ I_zcos²γ-2I_yzcosβcosγ-2I_zxcosγcosα-2I_xycosαcosβ]

33. Wyprowadzić równanie elipsoidy bezwładności

[I_xx²+ I_yy²+ I_zz²-2I_xyxy-2I_yzyz-2I_xxxz=λ²m]

Elipsoidę będącą miejscem geometrycznym końców

odcinków odwrotnie proporcjonalnych do ramion bezwładności ciała względem prostych przechodzących przez dany punkt ciała O nazywamy elipsoidą bezwładności ciała dla punktu O.

34. Główne osie bezwładności

Elipsoida ma trzy osie wzajemnie prostopadłe do siebie. Są to trzy sprzężone średnice, z których jedna jest największa, a jedna z dwóch pozostałych najmniejsza ze wszystkich. Te trzy osie a,b,c nazywamy głównymi osiami bezwładności ciała dla punktu O. Jeżeli punkt O jest środkiem masy ciała,

, czyli jeżeli elipsoida jest centralną elipsoidą bezwładności, to główne osie bezwładności w środku masy ciała nazywamy głównymi osiami ciała .35. Co rozumiemy pod pojęciem ciała kulistego?

Ciało, które ma względem wszystkich prostych przechodzących przez jego środek masy jednakowe momenty bezwładności nazywamy ciałem kulistym. W tym wypadku elipsoida bezwładności jest kulą, a wszystkie proste przechodzące przez środek masy są osiami głównymi.

Ciałem kulistym jest oczywiście jednorodna kula, a także sześcian

36. Zadanie: Ile wynosi moment bezwładności kwadratu o krawędzi a względem osi przechodzącej przez środek pod kątem α do krawędzi.

Moment bezwładności względem środka masy:

[I=a⁴/12]

Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek pod kątem α do krawędzi

37. Zadanie: Wyznaczyć moment dewiacji jednorodnego prostokąta o bokach a i b w układzie współrzędnych, którego osie pokrywają się z bokami prostokąta.

Moment bezwładności względem środka masy:

[I­_x=ab³/12];[ I_x=a³b/12]

Moment bezwładności względem osi układu współrzędnych:

[I_X=ab³/3]; [I_Y=a³b/3]

Tw. Steinera:

[I_xy=I_XY+mx_cy_c]

38. Omówić funkcję wektorową, jej pochodną i wektor zmienny.

Przyjmijmy, że istnieją dwa zbiory: zbiór wartości skalarnych λ oznaczony literą Λ i zbiór wektorów a oznaczony literą A oraz, że istnieje odwzorowanie przy porządkujące jednoznacznie każdej wartości ze zbioru Λ pewien wektor a ze zbioru A. Przyporządkowanie to nazywamy funkcją argumentu skalarnego λ: a=a(λ). Graficzne

przedstawienie funkcji wektorowej polega naprzyjęciu punktu odniesienia O i odmierzenia wektorów a przyporządkowanych wartościom λ od tego punktu. Miejsce geometryczne końców zmiennego wektora nazywa się jego hodografem. Funkcja wektorowa może być opisana analitycznie przez 3 funkcje a(λ)⇒a_x(λ) a_y(λ) a_z(λ). a(λ) = a_x(λ)i + a_y(λ)j + a_z(λ)

Pochodna funkcji wektorowej jest granicą ilorazu przyrostu tej funkcji i przyrostu zmiennej niezależnej, gdy przyrost tej ostatniej zmierza do zera. da/dλ =limΔa/Δλ gdzie Δa=a(λ - Δλ) - a(λ).

. Pochodna wektora jest wektorem stycznym do hodografu

39. Pochodna wektora jednostkowego.

Jest to wektor o stałym module równym jedności a⁰=1. Moduł przyrostu Δa⁰= 2 a⁰sinΔϕ/2=2sinΔϕ/2. Moduł pochodnej wyznacza się jako granicę modułu ilorazu Δa⁰/Δλ. limΔa⁰/Δλ=limΔϕ/Δλ. Z tego wynika że pochodna (a⁰)′ jest prostopadła do a⁰

Oznaczając ω=limΔϕ/Δλ, (a⁰)′=ωn=ϕ′n czyli n=ω⁰×a⁰

40.Pochodna lokalna..

Jeżeli weźmiemy zmienny wektor a będący wektorową funkcją czasu a= a(t). Wektor ten opisany jest w układzie współrzędnych prostokątnych ξ,η,ζ a= a_ξξ⁰+a_ηη⁰+a_ζζ⁰ . niech ten układ porusza się względem układu odniesienia xyz. Zmiana wektora a w czasie spostrzegana w układzie odniesienia ξηζ scharakteryzowana jest jego pochodną obliczaną w tym układzie. Pochodną tę nazywamy pochodną względną lub lokalną.

41. Równania ruchu punktu są: x(t)=const, y(t)= sint z(t)=2t.. jaki jest promień krzywizny toru

V_x=const, V_y=cost, V_z=2

42.Prędkość punktu we współrzędnych biegunowych i normalnych.

Prędkość punktu jest pochodną wektora wodzącego względem czasu : V=dr/dt=r′. we współrzędnych biegunowych promień r obraca się zmieniając kąt ϕ jaki tworzy on ze stałym kierunkiem. Oznaczając wektory jednostkowe w kierunku promienia r i w kierunku prostopadłym doń symbolami r⁰ oraz n, można zapisać r=r⁰r. prędkość punktu określa wzór: V= dr/dt= dr/dt r⁰+r dr⁰/dt.

Czyli V= r⁰r′+nrϕ′, prędkość ta może być rozłożona na

na składowe w kierunku promienia i prostopadłym do promienia V_r=r′, V_ϕ=rϕ′

We współrzędnych normalnych V=τν gdzie τto wektor jednostkowy.

43 .Przyśpieszenie punktu we współrzędnych biegunowych i normalnych.

P.p jest pochodną wektora prędkości punktu i drugą pochodną wektora wodzącego względem czasu p=dV/dt. We współrzednych biegunowych przyspieszenie wyznaczamy różniczkując względem czasu prędkość określoną wzorem w pyt 42. Czyli

p= (r′′-rϕ′²)r⁰+(rϕ′′+2r′ϕ′)n. Przyspieszenie określają

41. Równania ruchu punktu są: x(t)=const, y(t)= sint, z(t)=2t.. jaki jest promień krzywizny toru.

V_x=const, V_y=cost, V_z=2

dwie składowe: wzdłuż promienia i prostopadła do promienia. Wartości składowych p_r=r′′-rϕ′², p_ϕ=rϕ′′+2r′ϕ′. 46. Omówić krótko zagadnienie proste i odwrotne dynamiki. Jeżeli ruch opisany jest równaniem ruchu, to przez dwukrotne różniczkowanie można wyznaczyć jego przyspieszenie. Jeżeli ruch określony jest wewspółrzędnych prostokątnych równaniami: x=x(t),y=y(t), z=z(t) to po dwukrotnym zróżniczkowaniu i pomnożeniu przez m otrzymujemy rzuty sił: F_x(t)=mx''(t), F_y(t)=my''(t), F_z(t)=mz''(t).Stąd możemy określić moduł siły: F(x)=(F_x²+F_y²+F_z²)^0,5 oraz prostą działania określoną przez kąty α,β,γ jakie tworzy ona z osiami układu współrzędnych cos(=Fx/F, cos(=Fy/F, cos(=Fz/F.Zagadnienie odwrotne dynamiki: w zagadnieniu tym znana jest siła jako funkcja położenia, prędkości i czasu: F=F(r,v,t).Podobnie określone są rzuty we współrzędnych prostokątnych Fx=Fx(x,y,z,x',y',z',t), Fy=Fy(x,y,z,x',y',z',t), Fz=Fz(x,y,z,x',y',z',t), Dla jednoznacznego określenia ruchu należy jeszcze podać położenie i prędkość w pewnej danej chwili t0 (chwili początkowej)x(t0)=x0..........z'(t0)=z'0. Aby poznać ruch punktu należy rozwiązać układ równań różniczkowych:m,,x''=Fx(x,y,z,x',y',z',t), my''= Fy(x,y,z,x',y',z',t), mz''= Fz(x,y,z,x',y',z',t), a rozwiązania równań mają postać:x=x(t,C1,C2,C3,C4,C5,C6), y=y(t,C1,C2,C3,C4,C5,C6),z=z(t,C1,C2,C3,C4,C5,C6).Jest to rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych. Przedstawia on całą klasę ruchów, które punkt materialny może wykonywać pod działaniem danej siły. Po wstawieniu odpowiednich danych otrzymamy równanie opisujące jeden określony ruch.To samo wykonujemy dla pochodnych x',y',z' i w rezultacie otrzymujemy:x=x(t,x₀,y₀,z₀,x₀',y₀',z₀'), y=y(t,x₀,y₀,z₀,x₀',y₀',z₀'), z=z(t,x₀,y₀,z₀,x₀',y₀',z₀'),47. Ruch punktu na który działa stała siła. Niech na punkt materialny działa siła stała F=const. Rzuty tej siły są także stałe. Przedstawiając równania różniczkowe ruchu w postaci następującej: x''=1/m F_x, y''=1/m F_y, z''=1/m F_z, oraz rozwiązując je otrzymujemy równania określające pierwsze pochodne współrzędnych (prędkości), rozwiązujemy je i otrzymujemy równania w których są stałe całkowania C₁..C₆ a dla t=0 układ wygląda: x(t)=(F_x/2m)t²+v_0xt+x₀,y(t)=(F_y/2m)t²+v_0yt+y₀, z(t)=(F_z/2m)t²+v_0zt+z₀,.Dluproszczenia przyjmuje się,że układ współrzędnych pokrywa się z położeniem początkowym punktu. Z równań tych wynika że jeżeli F=0, to punkt porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej (1 prawo Newtona)48. Ruch punktu na który działa siła zależna od prędkości.Rozwiązania układu równań ruchu, można uzyskać gdy zależność siły od prędkości jest liniowa. Jeżeli siła opory jest nieliniowa, to ścisłe rozwiązanie możemy otrzymać tylko w szczególnych przypadkach. Jeżeli weźmiemy pod uwagę ruch prostoliniowy:mx''=F(x'), równanie to można zapisaćm(dv/dt)=F(v). Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie otrzymujemy: t=⌡m/F(v) dv +C₁. Jeżeli w wyniku całkowania wyznaczymy czas jako funkcję prędkości v: t=t(v), i potrafimy znaleźć funkcję odwrotną v=v(t) to można przeprowadzić drugie całkowanie i otrzymać równanie ruchu x=x(t). 2 sposób polega na: m(dx/dt)dv=F(v)dx po roz dzieleniu zmiennych i scałkowaniu otrzymujemy x=⌡mvdv/F(v)+C₂49. Ruch punktu na który działa siła zmienna w czasie. Przypadek gdy siła działająca na punkt materialny jest zależna tylko od czasu : F=F(t) równania różniczkowe ruchu mają postać: x''=1/m F_x(t), y''=1/m F_y(t), z''=1/m F_z(t)równania są od siebie niezależne więc można zapisać x'=⌡1/m F_x(t)dt + C₁, czyli x=⌡[⌡1/m F_x(t)dt +C₁]dt + C₂. Wyznaczając stałe całkowania z warunków początkowych x(0)=x₀, v_x(0)=v_0x otrzymujemy: x=⌡[⌡1/m F_x(t)dt]+v_oxt+x₀. Analogicznie wyglądają wzory określające pozostałe współrzędne y i z.50. Ruch punktu na który działa siła zależna od położenia. Jeżeli siła zależna jest od położenia punktu to: F=F(r). rozwiązanie układu równań różniczkowych ruchu znane jest tylko w przypadkach szczególnych. Do takich przypadków należy przypadek liniowej zależności siły od współrzędnych prowadzący do liniowych równań ruchu o postaci: mx''=C₁₁x+C₁₂y+C₁₃z, my''=C₂₁x+C₂₂y+C₂₃z, mz''=C₃₁z+C₃₂y+C₃₃z. Układ taki rozwiązuje się w ścisły sposób. Innym szczególnym przypadkiem, który może być rozwiązany metodą bezpośredniego całkowania, jest przypadek ruchu prostoliniowego, przy dowolnej postaci funkcji określającej siłę.Równanie ruchu ma postać: mx''=F(x). Do niego trzeba podstawić warunki początkowe, sprowadzić do równania pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, scałkować obustronnie i rozwiązać otrzymane równanie względem v .51. Ruch punktu materialnego nieswobodnego Punkt materialny mający nieograniczoną swobodę ruchu nazywamy swobodnym. Na ogół swoboda jest ograniczona. Ograniczenia swobody ruchu punktu lub ciała nazywamy więzami. Punkt (lub ciało) nazywamy nieswobodnym. Rozpatrując ruch punktu nieswobodnego musimy uwzględnić siły oddziaływania więzów. Najczęstszym ograniczeniem swobody ruchu jest zetknięcie się z innym ciałem. Przy bezpośrednim stykaniu się ciał jedno ciało wywiera pewien nacisk na drugie, wywiera akcję, ciało drugie przeciwstawia się akcji pierwszego wywierając przeciwdziałanie zwane reakcją52.Wyprowadzić równanie pędu punktu materialnego.

Ruch punktu materialnego pod działaniem siły określony jest przez 2 prawo Newtona w postaci

równania: mp=F lub m(dv/dt)=F

Wobec stałości masy można to równanie przekształcić do postaci: d/dt(mv)=F. Iloczyn masy i wektora prędkości nazywamy pędem punktu materialnego: B=mv. Wektor pędu charakteryzuje jednocześnie ruch punktu i jego właściwości materialne.

53. Prawo zmienności pędu punktu materialnego i jego zastosowanie.

Wektor pędu zależy od masy i prędkości, a jednocześnie jako wektor zgodny z prędkością wskazuje na kierunek ruchu. Podstawową jednostką

pędu jest kg/ms. B'=F: równanie to przedstawia inne sformułowanie podstawowego prawa ruchu zwanego prawem zmienności pędu: Pochodna pędu punktu materialnego równa jest sile działającej na ten punkt. Rzutując te równanie na osie układu współrzędnych, otrzymujemy trzy równania skalarne: B'_x=d/dt(mx')=F_x, B'_y=d/dt(my')=F_y B'_z=d/dt(mz')=F_z,.Prawu zmienności pędu można nadać jeszcze inną postać: dB/dt=F czyli dB=Fdt. Występujący po prawej stronie tego równania wektor nazywamy elementarnym impulsem siły: dI=Fdt. Elementarny impuls siły jest

wielkością charakteryzującą zewnętrzne oddziaływanie na punkt materialny. Ma on charakter ogólniejszy od siły, zależy bowiem od siły i czasu. Wskazuje jednocześnie na kierunek działania siły. Zamiast nazwy impuls siły, stosuje się czasem termin - popęd. Stosując pojęcie impulsu elementarnego można prawo pędu zapisać wzorem: dB=dI : przyrost pędu punktu materialnego równy jest elementarnemu impulsowi siły działającej na ten punkt. Badając ruch w skończonym przedziale czasu możemy sumować kolejne elementarne przyrosty pędu i elementarne impulsy (sumowanie

całek)

Czyli B2-B1=I12- prawo zmienności pędu dla skończonego przedziału czasu. Jeżeli siła F=const, to impuls można obliczyć ze wzoru:
. Gdy na

punkt materialny nie działa żadna siła, pęd jego zachowuje wartość stałą F=0, B=C

Rzuty pędu na osie układu współrzędnych: B_x=mv_x=C_x, B_y=mv_y=C_y, B_x=mv_z=C_z,. Pęd punktu materialnego, na który nie dzialają żadne siły, jest stały.

W przypadku siły stałej prawo pędu pozwala na szybkie rozwiązanie pewnych zadań z dynamiki bez konieczności pełnego rozwiązywania równań ruchu. Prawo pędu jest określone wtedy równaniami wiążącymi ze sobą prędkości początkowe i końcową wartość siły oraz przedział czasu.

52. Wyprowadzić równanie krętu punktu materialnego.

Zgodnie z definicją momentu wektora, wektor krętu, który oznaczamy symbolem K jest równy: K=M₀(B)=r*B=r*mv. Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa:

Ponieważ dr/dt jest prędkością punktu, zatem iloczyn wektorowy:
,

r*F=M₀(F)

Czyli K=M₀(F)

55. Omówić prawo zachowania krętu punktu materialnego.

M₀(F)=0, K₀=C. Całki: K_x=m(yz'-zy')=C_x, K_y=m(zx'-xz')=C_y, K_x=m(xy'-yx')=C_z, te stanowią całki równań ruchu. Nazywamy je całkami krętu. Prawo zachowania krętu: Kręt punktu materialnego względem bieguna jest stały, jeżeli moment sił działających na punkt względem tego bieguna jest równy zeru.

Moment siły jest równy zeru w dwóch przypadkach:a) gdy F=0, ruch punktu jest wtedy

ruchem jednostajnym, b) gdy prosta działania siły F przechodzi stale przez stały punkt O. Siłę taką nazywamy centralną, (siła grawitacyjna). Ponieważ K= const , to wektory prędkości punktu , jako prostopadłe do wektora krętu K muszą stale leżeć w płaszczyźnie prostopadłej do wektora krętu K. Torem punktu jest krzywa płaska.

57. Zdefiniować potencjał i energię potencjalną pola sił.

Obszar przestrzeni, w której na znajdujący się w nim punkt materialny działa siła nazywamy polem sił. Przyjmują że istnieje dla danego pola funkcja:

V=V(r,t) taka że sił działająca na punkt może być określona jako gradient tej funkcji ze znakiem ujemnym;

F=-grad V(r,t). Funkcję V nazywamy potencjałem, a pole sił, polem potencjalnym. Jeżeli potencjał zależy od czasu, to pole jest niestacjonarne, jeżeli zaś od czasu nie zależy - to mamy do czynienia z polem stacjonarnym. Potencjał jest nazywany w tym przypadku także energią potencjalną, a pole jest polem zachowawczym: V=E_p=V(r).

60. Współrzędne ciała sztywnego, równanie wektorowe, równania skalarowe.

Ciało sztywne jest zbiorem punktów, które są od siebie jednakowo odległe. Minimalna liczba punktów koniecznych do wyznaczenia położenia ciała wynosi 3. Położenie punktów A,B,C możemy określić za pomocą trzech wektorów wodzących ra,rb,rc lub dziewięciu współrzędnych xa,ya,za,yb,yc...

Położenie dowolnego punktu ciała w układzie nieruchomym względem tego ciała mozemy określić za pomocą wektora wodzącego r , takiego,że r = ra + ro

,gdzie ra jest wektorem wodzącym punktu we współrzędnych x, y, z ; a ro jest wektorem wodzącym w układzie ruchomym związanym z ciałem.

Każdy wektor można zapisać w obu układch współrzędnych za pomocą swych rzutów : a = i ax + j ay + k az . Wersory można zapisać

i = a11k* +a12m* +a13n*

j = a21k* +a22m* +a23n*

k= a31k* +a32m* +a33n* ,gdzie

k*,m*,n* - są wersorami układu ruchomego związanego z ciałem;

aij - kosinusy kątów , które tworzą ze sobą osie x,y,z i k,m,n

61. Wymienić kąty Eulera, opisać kąty i osie we współrzędnych.

Umieszczając w środku A układu współrzędnych związanego z bryłą k, m, n, środek pomocniczego układu współrzędnych X,Y,Z otrzymujemy trzy kąty Eulera :

kąt obrotu właściwego fi - kąt pomiędzy linią węzłów, a osią k

kąt precesji psi- kąt pomiędzy osią X a linią węzłów

kąt precesji psi- kąt pomiędzy osią X a linią węzłów

kąt nutacji teta - kąt pomiędzy osią Z a osią n

Linia węzłów to linia przecięcia się płaszczyzn AXY i Anm.

Kierunek liczenia kątów jest odwrotny do kierunku ruchu wskazówek zegara.

62.Równania ruchu ciała sztywnego.

Równania ruchu ciała sztywnego mają postać: xa = xa (t) , ya = ya (t) , za = za(t) - równ. opisujące przemieszczenie punktu A; fi = fi(t) , psi= psi(t) , teta = teta(t) - równ okteślające ruch kulisty bryły wokół punktu A.

Tak więc ruch ciała sztywnego jest złożony z dwóch powyższych ruchów.

Znajomość tych równ. pozwala określić ruch dowolnego punktu ciała sztywnego.

63.Wymienić szczególne ruchy ciała sztywnego.

Ruch postępowy - występuje, gdy kąty Eulera są stałe, opisany jest równ. xa = xa (t) , ya = ya (t) , za = za(t)

Ruch kulisty - gdy punkt A ciała jest punktem nieruchomym, czyli współrzędne xa,ya,za są stałe, opisany jest równaniami : fi = fi(t) , psi= psi(t) , teta = teta(t)

64.Omówić ruch obrotowy ciała sztywnego.

Ruch obrotowy to taki ruch, w którym dwa punkty bryły pozostają stale nieruchome, a reszta punktów porusza się po okręgach, których środki leżą na prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Wspórzędne tych punktów oraz kąty: precesji ( psi ) i nutacji ( teta) pozostają stałe. Równaniem ruchu będzie zatem równanie: fi = fi ( t ) Prędkość kątowa ( omega )w tym ruchu jest pochodną fi po czasie, a przyspieszenie kątowe

( epsilon ) pochodną prędkości po czasie. ruch ten jest: opóżniony -gdy epsilon i omega mają

przeciwne znaki; przyspieszony - gdy omega i epsilon mają te same znaki; jednostajny - gdy omega jest stała.Prędkość punktu w tym ruchu można zapisać wzorem: v = omega ro ro - promień wodzący punktu, a przyspieszenie punktu jako sumę przyspieszeń: obrotowego ( po = r epsilon , r - odl. od śr. obrotu ) i dośrodkowego ( pd = r omega^2 ): p = po +pd

65.Omówić ruch postępowy ciała sztywnego

Kąty Eulera są stałe.

Opisany jest równaniami :xa = xa (t) , ya = ya (t) , za = za(t).

.

Równania te można zapisać w postaci wektorowej: r = ra (t) +c , gdzie :

r - wektor wodzący

ra- jest wektorem wodzącym punktu we współrzędnych x, y, z ;

c-jest stałą.

Wektor łączący dwa punkty ciała jest wektorem stałym , zachowuje więc stale kierunek równoległy do pierwotnego położenia.

Dwa punkty ciała poruszają się w ruchu postępowym identycznie, więc ich prędkości i

. przyspieszenia są takie same.

Różniczkując wektor wodzący względem czasu otrzymujemy wzór na prędkość dowolnego punktu ciała, a rózniczkując dwukrotnie wzór na przyspieszenie.Ruch postępowy może być ruchem: prostoliniowym lub krzywoliniowym, w zależności od toru; jednostajnym (stała prędkość wszystkich punktów), jednostajnie zmiennym(stałe przyspieszenie wszystkich punktów) lub niejednostajnie zmiennym, w zależności od zmienności prędkości. przykładem ruchu postępowego jest ruch tłoka w cylindrze silnika

66.Omówić ruch płaski ciała sztywnego.

Ruch płaski to taki ruch, w którym odległości wszystkich punktów bryły od pewnej płaszczyzny są stałe i punkty poruszają się w płaszczyznach równoległych do tej płaszczyzny. By zaistniał ruch płaski muszą być spełnione następujące warunki: kąty precesji i nutacji muszą być stałe ( psi = const , teta = const ); współrzędne z punktów ciała nie mogą ulegać zmianom ( zA = const ). Bryła może się obracać jedynie wokół osi n ruchomego układu współrzędnych. Ruch ten opisuje równanie: xa = xa ( t ), ya = ya ( t ), fi = fi ( t ) Rzut ten zatem jest

złożony z ruchu postępowego ukł. związanego z punktem ciała i z ruchu obrotowego bryły wokół osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu.

Przykładem ruchu płaskiego jest ruch kół pojazdu w czasie poruszania się tego pojazdu.

67.Ruch kulisty, warunki jego powstania, podać przykład.

Jest to taki ruch bryły, przy którym jeden z punktów układu ruchomego związanego z bryła jest nieruchomy (jego współrzędne są stałe) - warunek powstania ruchu . Punkt ten nazywamy środkiem ruchu kulistego

Równania ruchu określają kąty Eulera jako funkcje czasu : fi = fi(t) , psi = psi(t) , teta = teta(t)

Punkt odległy od środka ruchu może poruszać się tylko po powierzchni kuli o środku A. Torami punktów są więc krzywe seryczne.

Przykładem ruchu kulistego jest ruch bąka o stałym punkcie podparcia.

Przemieszczenie dowolnego punktu ciała jest równe iloczynowi wektorowemu wektora wodzącego r i wektora delta fi -równego co do wartości kątowi zawartemu pomiędzy prostą łączącą koniec wektora przenieszczenia delta r i środek obrotu, a

, a promieniem obrotu : delta r = r x delta fi

68.Prędkość ciała w ruchu kulistym dla układu ruchomego.

Prędkość ciała w ruchu kulistym jest pochodną wektora wodzącego względem czasu: v = dr / dt

Dla układu ruchomego prędkość wyznaczamy z zależności : k* m* n*

v = omega x ro * wyznacznik omega k omega m omega n k m n

gdzie:

omega - wektor chwilowej pręd. kątowej

ro - wektor wodzący punktu w ruchomym układzie

współrzędnych

k , m , n - osie ruchomego układu współrzędnych

k*, m*, n* -wersory ruch. ukł. współ.

69.Określenie precesji reguralnej, wyznaczanie prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego. Przykłady.

Precesja regularna to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała. W ruchu tym prędkości kątowe obrotu własnego i precesji są stałe ( fi = omega1 = const ; psi = omega2 = const ), a prędkość kątowa nutacji jest równa zeru ( teta = 0 = const ). Ruchten cechuje to, że ciało

obraca się wokół osi własnej n z prędkością kątową omega1 , a oś ta obraca się wokół osi stałej z z prędkością kątową omega2 . Kąt między osiami jest stały. Ruch ten można opisać równaniami: fi = omega1 t ; psi = omega2 t ; teta = teta0 . Chwilowa prądkość kątowa ciała jet sumą geometryczną prędkości omega = omega1 + omega2 . Wartość prędkości wynosi: omega = pierw. ( omega1^2 + omega2^2 +2 omega1 omega2 cos teta0 ). Wektor omega przemieszcza się po pobocznicy stożka, wokół osi z z prędk. kątową omega2.

Przyspieszenie kątowe jest iloczynem wektorowym prędkości kątowych: epsilon = omega1 x omega2. Jego wartość wynosi: epsilon = omega1 omega2 sin teta0. Wektor przyspieszeń jest skierowany wzdłuż lini węzłów.

Jeżeli kąt między wektorami prędkości omega1 i omega2 jest ostry - precesja prosta, jeżeli rozwarty - precesja odwrotna

70.Ruch śrubowy.

Jest to ruch, w którym ciało obraca się wokół nieruchomej prostej i jednocześnie przemiezcza się postępowo wzłuż tej prostej. Każdy punkt tej bryły

porusza się po powierzchni walcowej, której oś jest osią obrotu.

Parametrem ruchu śrubowego nazywamy stosunek prędkości postępowej u do prędkości kątowej omega . lambda = u / omega

Jeżeli parametr lambda jest stały to przemieszczenie ciała wzdłuż osi obrotu jest proporcjonalne do kąta obrotu bryły. Przemieszczenie bryły w czasie pełnego obrotu nazywamy skokiem ruchu śrubowego. h = 2 pi lambda

Prędkość punktu w ruchu obrotowym wokół osi

wyznaczamy w = r omega r - odległość od osi. Wektor w jest prostopadły do wektora u i do osi obrotu. Wartość prędkości wypadkowej dwóch ruchów wyznczamy ze wzoru : v = pierw.(u^2 +r^2 omega^2) = omega pierw.(lambda^2 + r^2) Wektor prędkości jest styczny do toru i tworzy z nim dla stałego lambda stały kąt.

Przykładem ruchu śrubowego może być ruch śmigła lecącego samolotu.

71.Prędkość ciała sztywnego w ruchu dowolnym.

Prędkość ciała można wyrazić jako pochodną drogi

po czasie : v = ds / dt

Jeżeli ruch ciała jest składową ruchów to prędkość będzie wartością wypadkową prędkości składowych tych ruchów.

72.Prędkość punktów ciała sztywnego w ruchu płaskim.

Prędkość w ruchu płaskim można wyrazić wzorem: Vb = Va+omega x rab Prędkość ta składa sią z prędkości ruchu postępowego układu XYZ i ruchu wynikającego z obrotu bryły wokół osi z . Prędkości punktów są równoległe do płaszczyzny, względem której porusza się ciało

. Wektor prędkości kątowej omega jest prostopadły do tej płaszczyzny.Zbiór punktów mających w danej chwili prędkości zerowe nazywamy osią środkową, a punkt jej przebicia z płaszczyzną względem której porusza się ciało nazywamy chwilowym środkem obrotu. Jeżeli ten punkt przyjmiemy za początek układu ruchomego to prędkość innego punktu B wyraża się wzorem: Vb = omega x rcb . Prędkość ta jest wynikiem chwilowego ruchu obrotowego względem prostej prostopadłej do płaszczyany i przechodzącej przez punkt przebicia.

73.Przyspieszenie punktów ciała sztywnego w ruchu płaskim.

Przyspieszenie w ruchu płaskim wynika ze wzoru: p = pA + pO + pD . Przyspieszenie obrotowe ( pO ) i dośrodkowe ( pD ) wynikają z ruchu obrotowego wokół punktu A i są określone wzorami: pO = r epsilon , pD = r omega^2 . Wektor wypadkowy tych dwóch składowychma wartość: pW = r pierw.(epsilon^2 + omega^2)

Środkiem przyspieszen nazywany taki punkt, którego suma pW i pA jest równa zero.

74.Centroidy i askoidy w ruchu ciała sztywnego.

Centroidą stałą nazywamy linię, na płaszczyźnie nieruchomej ,kolejnych położeń chwilowych środków obrotu ciała.

Centroidą ruchomą nazywamy linię, na płaszczyźnie ruchomej, poruszającej się wraz z ciałem, kolejnych położeń chwilowych środków obrotu. Centroida ta porusza się wraz z układem.

Kształt centroid jest niezależny od czasu. W każdej chwili obie centroidie mają jeden punkt wspólny - chwilowy środek obrotu bryły.

Aksoidą stałą nazywamy powierzchnię wyznaczoną przez kolejne położenia chwilowych osi obrotu bryły

na powierzchni nieruchomej względem bryły.

Aksoidą ruchomą nazywamy powierzchnię wyznaczoną przez te osie, ale na powierzchni ruchomej, poruszającej się razem z tą bryłą.

W każdej chwili jedne z tworzących obu aksoid pokrywają się. Prostą pokrycia nazywamy chwilową osią obrotu ciała.

75.Mając dane centroidie wyznaczyć tor dowolnego punktu w ruchu płaskim.

Torem punktu będzie cykloida.

76.Kula o promieniu r toczy się bez poślizgu wewnątrz cylindrycznego naczynia o promieniu

3r stykając się z powierzchnią boczną naczynia i z jego dnem. Pokazać aksoidy kuli.

Aksoidą stałą będzie płaszczyzna na której leży dno naczynia, a aksoidą ruchomą będzie pwierzchnia walcowa o promieniu r .

77.Koło toczy się po płaszczyżnie ze stałą prędkością środka gometrycznego V i stałą prędkością kątową (omega). Jakie jest przyspieszenie środka prędkości?

Ma tu miejsce ruch płaski. Przyspieszenie w ruchu płaskim wyraża się wzorem: p = pA + pO + pD

pO= r epsilon pD = r omega^2

Ponieważ odległość od środka obrotu wynosi r=0, zatem przyspieszenie bęzie zależało przyspieszenia liniowego środka prędkości (środka obrotu): p = pA

Wiemy, że prędkość środka geometrycznego (środka obrotu) jest stała,ruch jest ruchem jednostajnym. Wynika z tego, że przyspieszenie tego środka jest zerowe ( pA = 0), zatem przyspieszenie środka prędkości jest też zerowe: p = 0 .chu śrubowego nazywamy stosunek prędkości

.

---