Logiczna rola funktorów i ich wykorzystanie poza logiką

Pojęcie funktora

Funktorami nazywa się w logice wyrazy czy wyrażenia, które nie są zdaniami ani nazwami, lecz służą do wiązania nazw czy zdań w wyrażenia bardziej złożone. Jest tych funktorów wiele rodzajów, w zależności od tego, jakiego rodzaju wyrażenia wiążą one w bardziej złożoną całość, oraz od tego, jakiej kategorii syntaktycznej jest wyrażenie, które powstaje w wyniku tego powiązania.

Ze względu na to, czy w wyniku powiązania wyrażeń składowych powstaje zdanie czy nazwa, rozróżniamy funktory zdaniotwórcze oraz funktory nazwotwórcze. Niektóre funktory, a mianowicie funktory funktorotwórcze, wiążą prostsze funktory w ten sposób, że powstają funktory bardziej złożone.

Wyrazami czy wyrażeniami, które są przez jakiś funktor wiązane w złożoną całość, nazywamy argumentami tego funktora. W związku z tym wyróżniamy funktory o argumentach zdaniowych oraz funktory o argumentach nazwowych, funktory mające jeden, dwa, albo i więcej argumentów danego rodzaju. Dla łatwego odróżniania rodzajów funktorów wprowadza się następujący sposób ich znakowania. Przyjmuje się, że litera z oznacza jakieś zdania, a litera n - jakieś nazwy. Charakterystykę funktora podaje się w tej postaci, że nad kreską zapisuje się przy pomocy odpowiedniej litery, co tworzy się przy pomocy danego funktora, a pod kreską -tyle razy pisze się odpowiednia literę, ile i jakiego rodzaju argumentów wymaga dany funktor, jeśli przy jego użyciu mamy utworzyć składną językowo całość.

Przykładowe funktory nazwotwórcze:

• Słowo „zielony” jest funktorem nazwotwórczym od jednego argumentu nazwowego, co umownie zapisujemy jako funktor rodzaju - ⁿ/_n. Wystarczy, bowiem do słowa „zielony” dołączyć jakąś jedna nazwę, aby powstała nazwa złożona, np. „zielony trawnik” czy „zielony stół”.

• Np. w wyrażeniu „wyleniały kot” funktor „wyleniały” ma kategorię - ⁿ/_n.

• Słowo „nad” jest funktorem nazwotwórczym od dwóch argumentów nazwowych - ⁿ/_nn. Wystarczy dodać do tego słowa dwie nazwy, aby powstała nazwa złożona, np. „most nad rzeka”.

• Zwrot „miedzy...a...”jest funktorem nazwotwórczym od trzech argumentów nazwowych - ⁿ/_nnn. Jeśli bowiem uzupełnimy ten funktor trzema nazwami, to otrzymamy nazwę złożoną „most między Warszawą a Praga”.

• Funktory nazwotwórcze - ⁿ/_z. Najczęściej w tej roli występują cudzysłowy i wyrażenie „To, że...” - Np. „To, że zdajesz semiotykę, winno Cię radować”.

Przykładowe funktory zdaniotwórcze:

• Słowo „śpi” jest funktorem zdaniotwórczym od jednego argumentu nazwowego - ^z/_n. Wystarczy dodać do słowa „śpi” jakąś jedna nazwę „Marek”, „kot”, aby powstało zdanie „Marek śpi”, „kot śpi”.

• Słowo „ogląda” jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów nazwowych - ^z/_nn. Jeżeli dołączymy dwie nazwy, nazwę tego, kto ogląda, i nazwę tego co jest oglądane, powstanie zdanie, np. „kot ogląda telewizje”

• Np. w zdaniu „Kot lubi ciepło” funktor „lubi” ma kategorię - ^z/_nn.

• Zwrot „nie jest tak, że...” jest funktorem zdaniotwórczym od jednego argumentu zdaniowego - ^z/_z. Jeżeli uzupełni się ten zwrot dowolnym zdaniem, to powstanie zdanie złożone z funktora i zdania- argumentu, np. „nie jest tak, że kot śpi”.

• Zwrot składający się ze słów„chociaż...to...” jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów zdaniowych - ^z/_zz. Przy pomocy tego funktora możemy budować zdania złożone z dwóch zdań składowych, np. „Chociaż Marek śpi, to pies czuwa”

• Np. w zdaniu „Kot leży na słońcu, a Jan nań patrzy” spójnik „a” ma kategorię - ^z/_zz

Przykładowe funktory funktorotwórcze:

• Słowo „głęboko”, podobnie jak inne przysłówki, jest funktorem funktorotwórczym od argumentu funktorowego. Jeśli dołączymy do tego słowa funktor „śpi”, to otrzymamy funktor zdaniotwórczy od jednego( w tym przypadku) argumentu nazwowego „głęboko śpi”. Zapis kategorii takiego funktora byłby złożony i wyglądałby tak - (^z/_n)/(^z/_n).

• Np. funktor „bardzo” ma kategorię semantyczną (^z/_n)/(^z/_n) w zdaniu „Kot bardzo mruczy” o strukturze gramatycznej n [(^z/_n)/(^z/_n)] ^z/_n.

Pojęcie funktora prawdziwościowego

Rozwój nowoczesnej logiki stał się możliwy między innymi dzięki temu, że twierdzenia jej zaczęto formułować przy pomocy wyrażeń branych w jakimś ściśle określonym znaczeniu, stanowiącym uściślenie, a często uproszczenie sensu niedostatecznie jasnych wyrażeń mowy potocznej. Taki właśnie charakter mają wprowadzone przez logikę funktory prawdziwościowe. Są to takie funktory zdaniotwórcze o argumentach zdaniowych, których znaczenie określane jest przez to, iż przy danej wartości logicznej argumentów zdaniowych takiego funktora jednoznacznie określona jest wartość logiczna całego zdania zbudowanego z tego funktora i z tych argumentów. Inaczej mówiąc funktorem prawdziwościowym nazywamy taki funktor zdaniotwórczy o argumentach zdaniowych, przy którym na podstawie samej tylko wartości logicznej jego argumentów zdaniowych, a niezależnie od treści tych zdań, możemy jednoznacznie określić, jaka jest wartość logiczna całego zdania zbudowanego przy pomocy tego funktora.

Funktorów takich może być ograniczona ilość, a mianowicie tyle, ile jest możliwych zestawień wartości logicznej zdań składowych oraz wartości logicznej zdania złożonego, zbudowanego z danego funktora prawdziwościowego i danych zdań. Zakładając, że wzięliśmy pod uwagę tylko dwie wartości logiczne zdań: prawdę (oznaczoną liczbą 1) albo fałsz ( oznaczony liczbą 0), funktorów prawdziwościowych od jednego argumentu zdaniowego może być cztery( oznaczymy je f₁, f₂, f₃ oraz f₄). Znaczenie tych czterech funktorów określimy przy pomocy tabeli, w której w zależności od wartości logicznej argumentu zdaniowego p określać się będzie wartość logiczną zdania złożonego, zbudowanego z jednego z tych czterech funktorów oraz zdania p jako argumentu.

Funktory f₁ oraz f₄ mają znaczenie, które trudno byłoby odtworzyć podając równoznaczne wyrażenie mowy potocznej. Funktor f₂ ma te właściwość, że w połączeniu z dowolnym zdaniem prawdziwym tworzy zdanie prawdziwe, a w połączeniu ze zdaniem fałszywym- zdanie fałszywe. Można by odczytać ten funktor w języku polskim jako słowo „zaiste” („Zaiste Marek jest pracowity”), bez którego w praktyce możemy się obejść. Natomiast istotną doniosłość ma funktor f₃, który nazywamy funktorem negacji i oznaczamy znakiem ~ stawianym przed argumentem zdaniowym. Całe zaś zdanie zbudowane z tego funktora i zdania składowego nazywamy negacją tego zdania składowego.

Zestawienie takie, które nazywamy matrycą funktora prawdziwościowego, jest w swej istocie jego definicją, w tym przypadku przez dwa postulaty.

1. Jeżeli funktor negacji uzupełnia się zdaniem prawdziwym, powstaje zdanie fałszywe.

2. Jeżeli funktor negacji uzupełnia się zdaniem fałszywym, powstaje zdanie prawdziwe.

Funktorów prawdziwościowych dwuargumentowych może być, ze względu na ilość możliwych zestawień logicznych 16. Do najważniejszych należą:

• Funktory koniunkcji

Oznaczamy znakiem
.Nazywany iloczynem logicznym. Matryca funktora koniunkcji, jako funktora dwuargumentowego wygląda następująco:

Zdanie złożone zbudowane przy pomocy tego funktora nazywamy koniunkcją. Jak widać, warunkiem wystarczającym i zarazem koniecznym prawdziwości koniunkcji jest prawdziwość obu zdań składowych. Natomiast fałszywość choćby jednego zdania składowego jest warunkiem wystarczającym fałszywości koniunkcji. Fałszywość obu zdań składowych nie jest warunkiem fałszywości koniunkcji, gdyż już przy jednym zdaniu fałszywym całość jest fałszywa. Funktor koniunkcji może być kolejno stawiany między dowolną ilością zdań, przy czym taka wielokrotna koniunkcja będzie prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej zdania składowe będą prawdziwe.

• Funktory alternatywy nierozłącznej

Oznaczamy znakiem
. Nazywany sumą logiczną. Matryca funktora alternatywy wygląda następująco:

Zdanie złożone zbudowane przy pomocy tego funktora nazywamy alternatywą nierozłączną. Warunkiem wystarczającym alternatywy jest prawdziwość choćby jednego argumentu zdaniowego( prawdziwość obu zdań składowych nie jest konieczna). Natomiast warunkiem wystarczającym i zarazem koniecznym dla fałszywości alternatywy zwykłej jest fałszywość obu zdań składowych. Jeżeli kolejno znakiem alternatywy nierozłącznej łączymy szereg zdań, to dla prawdziwości całego takiego zdania złożonego wystarczy prawdziwość przynajmniej jednego zdania składowego, ale dla fałszywości konieczna jest fałszywość wszystkich zdań składowych.

• Funktor alternatywy rozłącznej

Nieczęsto spotykany w logice formalnej, ważny natomiast dla prawników w celu rozróżniania alternatywy rozłącznej i nierozłącznej. Dla funktora tego będziemy używać znaku
. Określany w technice cyfrowej jako ćwierćsumator czy też suma modulo 2.

Zbudowane przy pomocy tego funktora zdanie złożone, zwane alternatywą rozłączną, jest prawdziwe, gdy jeden i tylko jeden z argumentów zdaniowych jest prawdziwy oraz jeden i tylko jeden jest fałszywy. Łącząc tym funktorem kolejno kilka zdań, należy użyć nawiasów, wskazujących sposób powiązania par tych zdań, gdyż w braku nawiasów powstawałyby wątpliwości, co do sposobu rozumienia takiego wyrażenia złożonego.

• Funktor dysjunkcji

Oznaczamy go znakiem /. Zwany negacją iloczynu. Jego matryca przedstawia się następująco:

Zbudowane przy pomocy tego funktora zdanie złożone, zwane dysjunkcją, jest prawdziwe, jeśli przynajmniej jedno ze zdań składowych jest fałszywe. Prawdziwość obu zdań składowych jest warunkiem wystarczającym fałszywości dysjunkcji. Wiązanie tym funktorem kolejno większej liczby zdań wymagałoby użycia nawiasów.

• Funktor równoważności

Oznaczamy znakiem
. Nazywany negacją sumy logicznej. Matryca tego funktora wygląda:

Tak zbudowane zdanie złożone, zwane równowartością, jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są tej samej wartości logicznej, fałszywe - jeśli zdania są odmiennej wartości logicznej. Funktorem tym nie można łączyć bez użycia nawiasów więcej niż dwóch zdań.

Wszystkie wyżej wymienione funktory prawdziwościowe dwuargumentowe mają tę właściwość, że rola każdego ze zdań składowych była przy budowaniu zdań złożonych jednaka, kolejność nie odgrywała roli. Odmiennie natomiast przedstawia się to przy posługiwaniu się funktorem implikacji. Oznaczamy go znakiem
, skierowanym od pierwszego zdania, które nazywamy poprzednikiem implikacji, w stronę drugiego zdania, które nazywamy następnikiem implikacji. Matryca implikacji ujawnia, iż rola tych zdań jest odmienna.

Całość tak złożonego zdania zwana jest implikacją. Implikacja jest fałszywa jedynie wtedy, gdy pierwsze jej zdanie składowe- poprzednik, jest prawdziwe, drugie zaś- następnik, jest fałszywe. W pozostałych trzech przypadkach implikacja jest prawdziwa. Można przyjąć definicję, że p
q jest równoznaczne ze stwierdzeniem, iż nie jest tak, że zarazem są prawdziwe oba zdania: p oraz nie jest tak, że q. Definicję tę zapisujemy, używając znaku df jako znaku równoznaczności definicyjnej.

Dla prawdziwości implikacji
wystarcza, aby zachodził przynajmniej jeden z dwóch warunków:

1. Aby fałszem było zdanie p

2. Aby prawdą było zdanie q

Pozalogiczne wykorzystanie funktorów

Poza logiką funktory mają zastosowanie głównie w technice cyfrowej, stosuje się je do realizacji fizycznej kombinacyjnych układów cyfrowych. Funktory logiczne są podstawowymi elementami, z których składają się urządzenia techniki cyfrowej. Funktory, zwane bramkami logicznymi operują wartościami dwójkowymi - logiczną 1 i logicznym 0.

Bramki logiczne są układami elektronicznymi lub optoelektronicznymi, wykonującymi podstawowe operacje logiczne na wartościach binarnych.

W układach praktycznych bramki mogą posługiwać się logiką pozytywną lub negatywną. Najczęściej stosuje się logikę pozytywną, w której logicznej jedynce odpowiada stan wysoki (H - high), a logicznemu zeru stan niski (L - low).
Zestawienie stanów wejściowych i wyjściowych funktorów nazywa się tabelą prawdy (truth table). Bramki, z wyjątkiem inwertera, mogą mieć więcej niż dwa wejścia. Działanie ich pozostaje takie samo, tylko tabela prawdy ulega stosownemu rozszerzeniu.

Najprostszą bramką logiczną jest inwerter, realizujący negację, czyli odwrócenie stanu logicznego. Często inwerter nazywa się bramką NO (nie), a pewien znajomy Amerykanin nazywa go bramką WIFE. - Funktor negacji

Bramka AND wykonuje iloczyn logiczny. W algebrze zbiorów Boole'a iloczyn jest częścią wspólną zbiorów. Jeśli któryś zbiór jest pusty, siłą rzeczy nie ma części wspólnej. - Funktor koniunkcji

Negację iloczynu NAND (NO - AND, nie - i) nazywa się bramką podstawową, bo z bramek NAND można złożyć wszystkie inne bramki logiczne. Najprościej inwerter; trzeba połączyć wejścia w jedno. - Funktor dysjunkcji

Bramka OR, (lub) reprezentuje sumę logiczną. Wyjście przyjmuje logiczne 1, jeśli na którymkolwiek z wejść jest cokolwiek oprócz zera. - Funktor alternatywy nierozłącznej.

Bramka NOR (nie - lub) jest negacją sumy logicznej. Stan wysoki na wyjściu jest tylko przy identycznym stanie wejść. - Funktor równoważności

Bramka Exclusive OR nazywa się po naszemu sumą modulo 2, ponieważ realizuje sumę dwóch liczb binarnych, ale bez przeniesienia na najwyższej pozycji. Z tej racji nazywa się ją też ćwierćsumatorem. - Funktor alternatywy rozłącznej

Funktory można porównać do pojedynczych klocków lego; z nich buduje się większe bloki funkcjonalne, takie jak przerzutniki, multipleksery, demultipleksery, sumatory i inne. Można powiedzieć, że urządzenia cyfrowe są zbudowane z powtarzalnych bloków funkcjonalnych na różnym poziomach skomplikowania. Tworzenie bardzo rozbudowanych urządzeń z nie takiej znowu dużej ilości typów klocków i bloków także stanowi o atrakcyjności urządzeń cyfrowych.

BIBLIOGRAFIA:

1. Ziembiński Zygmunt - „Logika praktyczna” Wydaw. Nauk. PWN, 1999

2. VIZIR webside - układy cyfrowe pliki

LOGIKA - funktory

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---