INSTRUKCJA ĆWICZENIA LABORATORYJNEGO

Z ZASTOSOWANIA SYGNAŁÓW MBS

DLA CELÓW IDENTYFIKACJI OBIEKTÓW

Część I

Podstawy teoretyczne

SPIS TREŚCI

1. MODELE DYNAMIKI OBIEKTÓW

1. MODELE DYNAMIKI OBIEKTÓW

1.1. Opis z wykorzystaniem równań różniczkowych i różnicowych

Dynamikę obiektów fizycznych można opisywać przy pomocy modeli sformułowanych przy użyciu różnych narzędzi. Własności dynamiczne większości obiektów sterowania można między innymi, wychodząc z praw fizyki, zapisać za pomocą równań różniczkowych, różnicowych lub różniczkowo-różnicowych. Równania różniczkowe dotyczą opisu ciągłego w funkcji czasu, podczas gdy równania różnicowe dotyczą opisu w dyskretnych chwilach czasowych. Opis w postaci równań różnicowych wykorzystuje się przy obliczeniach numerycznych. Równania różniczkowo-różnicowe dotyczą opisu ciągłego w funkcji czasu obiektów z opóźnieniami.

Wiele rzeczywistych obiektów opisuje się za pomocą równań nieliniowych. Na przykład dynamika obiektu cieplnego w otoczeniu temperatury 100C różni się bardzo od dynamiki tego samego obiektu w otoczeniu temperatury 1000C, w której jest bardzo silna wymiana ciepła przez promieniowanie. Niemniej, jeśli rozważa się pracę takiego obiektu w otoczeniu jednej temperatury, to można charakterystykę tego obiektu uprościć przez zlinearyzowanie jej dla rozważanego niewielkiego zakresu temperatury. Takie uproszczenie modelu ułatwia między innymi analizę pracy obiektu oraz dobór regulatora.

Innym zagadnieniem, komplikującym rozwiązywanie wspomnianych zagadnień, jest występowanie zjawisk fizycznych, które są opisuje się za pomocą równań różniczkowych cząstkowych, np. przy pomocy równania przewodnictwa cieplnego. Układy tego rodzaju noszą też nazwę układów o stałych rozłożonych. W celu rozwiązywania wielu praktycznych zagadnień, związanych z dynamiką takich obiektów, często upraszcza się opis tych obiektów przez dyskretyzację przestrzenną. Dla obiektów cieplnych polega ona na założeniu, że obszary, na które został podzielony obiekt, mają jednorodną temperaturę, zaś opis dynamiki obiektu odnosi się do węzłów, umieszczonych w tych obszarach. W efekcie opis dynamiki obiektu o stałych rozłożonych można wówczas sprowadzić do opisu układu o stałych skupionych, co powoduje zastąpienie równań różniczkowych cząstkowych przez równania różniczkowe zwyczajne. W wielu przypadkach tego rodzaju uproszczeń celowe jest wprowadzenie do modelu opóźnień zastępczych, co prowadzi do modelu opisanego za pośrednictwem równań różniczkowo-różnicowych zwyczajnych.

Ponieważ obiekty rzeczywiste są niestacjonarne, to znaczy zmieniają się z upływem czasu, np. pod wpływem zużycia lub procesów starzenia, dokładny opis ich dynamiki również powinien ten fakt uwzględniać. Jednak do celów praktycznych na ogół rezygnuje się z opisu obiektów przy użyciu modeli niestacjonarnych na rzecz opisu modelami stacjonarnymi.

Jeden z najprostszych układów dynamicznych, złożony z rezystora R i kondensatora C przedstawia rys. 1.1.

Rys. 1.1. Układ dynamiczny, opisywany liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu.

Równanie napięcia uc(t) kondensatora C ładowanego za pośrednictwem rezystora R ze źródła napięcia Uz można opisać liniowym różniczkowym równaniem zwyczajnym pierwszego rzędu o postaci

(1.1)

Rozwiązanie równania (1.1) dla stałej wartości napięcia Uz umożliwia zapisanie równania przebiegu czasowego napięcia uc(t). Ma ono postać

(1.2)

Wprowadźmy ogólne oznaczenia stosowane w automatyce. Zmienne stanu obiektu, takie jak np. napięcie kondensatora uc na rys. 1.1, zapisuje się w automatyce symbolem x. Sygnały wejściowe, takie jak napięcie Uz, zapisuje się symbolem u, zaś mierzone zmienne stanu obiektu zapisuje się symbolem y. Równanie (1.1) można zatem zapisać jako układ równań

(1.3)

gdzie

(1.4)

W przypadku obiektów, opisywanych przy użyciu równań różniczkowych zwyczajnych wyższego rzędu, układ równań skalarnych (1.3) jak zastępowany przez układ równań, w których zmienne stanu oraz zmienne wejściowe i wyjściowe są wektorami, zaś pozostałe elementy są macierzami. Obiektem drugiego rzędu, opisywanym w ten sposób, mógłby być np. układ złożony z szeregowego połączenia członów RC, przedstawionych na rys. 1.1, lub układ rezonansowy, w którym rezystor R (rys. 1.1) został połączony szeregowo z cewką (rys. 1.2). W pierwszym przypadku zmiennymi stanu mogą być napięcia na obu kondensatorach, zaś w drugim przypadku - napięcie na kondensatorze i prąd cewki. W modelach tych obiektów można przyjąć także jako zmienne stanu napięcie na kondensatorze i pochodną tego napięcia, lub zmienne stanu, które nie maja bezpośredniej interpretacji fizycznej.

Rys..1.2. Układ dynamiczny o charakterystyce rezonansowej

Równanie dynamiki obwodu, przedstawionego na rys. 1.2, może mieć znaną postać.

gdzie =t. Zmiennymi stanu obwodu w powyższym równaniu są prąd i(t), przepływający m.in, przez cewkę, oraz napięcie na kondensatorze uc(t). Równanie dynamiki tego obwodu można także przedstawić przy użyciu innych zmiennych stanu. Jedną z takich zmiennych jest pochodna napięcia na kondensatorze. Pochodna ta, odróżnieniu od prądu, jest w rozważanym czwórniku bezpośrednio mierzalną zmienną stanu. Aby w powyżym równaniu zmienną prąd i(t) zastąpić przez pochodną napięcia uc(t), można posłużyć się zależnością

którą, po zróżniczkowaniu, można zapisać

Podstawiając powyższe równania do równania dynamiki obiektu uzyskuje się postać

zaś, po podstawieniu do ostatniego równania ogólnych oznaczeń:

równanie to przyjmuje postać

Przyjmując jako zmienne stanu

można zapisać powyższe równanie różniczkowe w postaci układu równań

lub równania macierzowego o postaci

1.2. Opis za pomocą transmitancji

Model dynamiki obiektu, przedstawiony za pomocą liniowych równań różniczkowych zwyczajnych, można przedstawić w innej postaci stosując przekształcenie Laplace'a lub Fouriera. Przy przekształceniach tych operacja różniczkowania dla przekształcenia Fouriera jest zastępowana przez operator j, zaś dla przekształcenia Laplace'a przez operator s. Ponadto sygnały czasowe, występujące w równaniach różniczkowych, są w równaniach z operatorami zastępowane odpowiednimi ich transformatami, np. zmienna stanu x jest zastępowana transformatą Fouriera X(j). Równanie dynamiki układu z rys. 1.1, przy przekształceniu Fouriera, przyjmuje postać

(1.5)

Iloczyn RC jest często określany jako stała czasowa inercji.

Rys. 1.3. Wykres amplitudy i fazy obiektu inercyjnego pierwszego rzędu (T=10)

W praktyce najczęściej dynamikę obiektów przedstawia się za pomocą stosunku transformaty sygnału wejściowego X(j) do transformaty sygnału wejściowego U(j) obiektu. Iloraz ten nosi nazwę transmitancji. Dla równania (1.5) odpowiednia transmitancja wynosi

(1.6)

Przekształcenie Fouriera ma w stosunku do przekształcenia Laplace'a więcej ograniczeń, dotyczących zakresu stosowalności, ma jednak nad nim tę przewagę, że bezpośrednio wyraża przenoszenie przez układ składowych sygnału wejściowego o określonych częstotliwościach. Wykres charakterystyki częstotliwościowej obiektu, zwany wykresem Bodego, o transmitancji (1.6) i stałej czasowej inercji T=RC=10s, przedstawia rys. 1.3. Wykresem tym można między innymi uzasadnić możliwość stosowania rozważanego układu RC jako częstotliwościowego filtru dolnoprzepustowego.

Warto zwrócić uwagę, że przy przyjęciu skali podwójnie logarytmicznej, wykres modułu obiektu inercyjnego dla wyższych częstotliwości ma stałe ujemne nachylenie o wartości -20dB/dekadę względnej zmiany częstotliwości. Dla np. układu inercyjnego drugiego rzędu nachylenie to jest dla wyższych częstotliwości dwukrotnie większe. Pulsacje graniczne gi, przy których następują istotne zmiany nachylenia zależą od pierwiastków wielomianów, występujących w mianowniku i liczniku transmitancji. W przypadku transmitancji (1.6) pulsacja g1 wynosi

Dla pulsacji dziesięciokrotnie wyższej moduł transmitancji jest 20dB (10 razy) mniejszy niż dla niskich częstotliwości. Przy niskich częstotliwościach faza transmitancji dąży do zera, przy wysokich częstotliwościach faza transmitancji dąży do wartości -90, zaś przy częstotliwości granicznej faza wynosi -45.

Postać transmitancji danego obiektu można uzyskać także innymi metodami, zwłaszcza dotyczy to obwodów elektrycznych. Na przykład dla obwodu, przedstawionego na rys. 1.2, postać transmitancji można uzyskać zapisując równanie dzielnika, złożonego z impedancji elementów rozpatrywanego czwórnika

Podczas doboru regulatorów układów cieplnych szeroko stosuje się modele w postaci układów inercyjnych pierwszego rzędu z zastępczymi opóźnieniami. (W niektórych obiektach mogą występować opóźnienia rzeczywiste, np. pochodzenia transportowego). Wspomniany model obiektu cieplnego jest charakteryzowany za pomocą 3 parametrów:

G0	- wzmocnienia statycznego,
T	- stałej czasowej inercji,
	- zastępczego opóźnienia.

Odpowiednia transmitancja Fouriera ma postać:

(1.7)

Przy zapisie przy pomocy równania różniczkowego transmitancja ta odpowiada równaniu różniczkowo-różnicowemu

(1.8)

Ponieważ stosowanie równań różniczkowo-różnicowych w wielu przypadkach powoduje komplikacje obliczeniowe, często stosuje się w miejsce operatora opóźnienia jego aproksymację. Aproksymacja Padé bazuje na rozwinięciu operatora opóźnienia na szereg.

(1.9)

W przypadku pominięcia wyrazów o wyższych potęgach, zaznaczonych we wzorze (1.9) kropkami, jest to aproksymacja drugiego stopnia. W praktyce najczęściej stosuje się aproksymację pierwszego stopnia o postaci

(1.10)

Moduł operatora opóźnienia oraz aproksymacji Padé wynosi 1. W operatorze opóźnienia faza zmienia się liniowo z częstotliwością, natomiast faza aproksymacji jest bliska funkcji aproksymowanej tylko w niższym zakresie częstotliwości. Odpowiednie wykresy są przedstawione na rys. 1.4.

Rys. 1.4. Wykres przesunięcia fazy w operatorze opóźnienia i aproksymacji Padé

1.2. Opis za pośrednictwem odpowiedzi czasowej

Bardzo często stosuje się opis dynamiki obiektu za pośrednictwem odpowiedzi na skokowe pobudzenie jako wejścia. Rozważmy obiekt o transmitancji (1.7). Przy zerowych warunkach początkowych i pobudzeniu o skokiem jednostkowym

(1.11)

przez czas równy opóźnieniu sygnał wyjściowy nie ulega zmianom, czyli

Po tym czasie, to znaczy dla t, równanie odpowiedzi obiektu można zapisać jako

(1.12)

Wykres częstotliwościowy transmitancji (1.7) jest przedstawiony na rys. 1.5, zaś odpowiedź czasowa - na rys. 1.6. Przyjęto następujące parametry transmitancji: G0=2, T=10s, =1s. Przy rysowaniu odpowiedzi czasowej przyjęto długość okresu próbkowania o wartości 0.1s.

Rys. 1.5. Wykres Bodego transmitancji (1.7)

Rys. 1.6. Odpowiedź czasowa układu o transmitancji (1.7).

Można porównać wykres charakterystyki częstotliwościowej obiektu inercyjnego bez opóźnienia na rys. 1.3 i wykres podobnego obiektu z opóźnieniem na rys. 1.5. Zasadniczą różnicą jest dużo większe przesunięcie fazy dla wyższych częstotliwości. Ponadto obiekt na rys. 1.5 ma większe wzmocnienie statyczne G0, co widać na wykresie modułu dla niskich częstotliwości.

Wraz ze wzrostem czasu odpowiedź układu dąży do wartości G0. Pochodna tej odpowiedzi dla czasu t=0 wynosi

(1.13)

Znajomość czasu opóźnienia, wartości G0 oraz maksymalnej pochodnej (dla t=) umożliwia na określenie parametrów transmitancji, charakteryzującej rozpatrywany obiekt.

Jak już wspomniano, w przypadku bardziej złożonych opisów dynamiki obiektów często stosuje się uproszczenie modelu, polegające na wprowadzeniu opóźnienia zastępczego. Odpowiedź czasowa takiego obiektu jest przedstawiona na rys. 1.7.

Rys. 1.7. Aproksymacja odpowiedzi czasowej przy modelu z zastępczym opóźnieniem.

Rys. 1.7 ilustruje sposób wyznaczania parametrów modelu z zastępczym opóźnieniem na podstawie odpowiedzi na wymuszenie skokowe. W miejsce nachylenia odpowiedzi układu idealnego z opóźnieniem dla t=, opisanego zależnością (1.13), przyjmuje się maksymalną wartość nachylenia odpowiedzi układu rzeczywistego. Na rys. 1.6 nachylenie to ilustruje styczna do krzywej wykresu wspomnianej odpowiedzi. Przecięcie tej stycznej z osią czasową wyznacza wartość zastępczego opóźnienia.

1.3. Równoważność metod identyfikacji częstotliwościowej i czasowej

Poprzednie paragrafy omawiały między innymi model inercyjny pierwszego rzędu z opóźnieniem o transmitancji

(1.14)

Jak wspomniano, opis w postaci transmitancji (1.14) jest opisem wystarczająco dokładnym dla dużej klasy obiektów elektrotermicznych. Ponadto obiekty te na ogół charakteryzują się ponadto tym, że

T>> (1.15)

W efekcie, rozpatrując charakterystykę częstotliwościową obiektu ze wzrostem częstotliwości stwierdza się najpierw wpływ stałej czasowej T. Wpływ opóźnienia jest istotny dopiero przy wyższych częstotliwościach.

W paragrafie 1.2 podano sposób wyznaczania parametrów tej transmitancji na podstawie odpowiedzi skokowej. Parametry te pozwalają na dobór parametrów regulatora obiektu. Innym sposobem doboru regulatora jest metoda Zieglera-Nicholsa, stosowana z powodzeniem od kilkudziesięciu lat. Bazuje ona na wyznaczeniu punktu charakterystyki częstotliwościowej o przesunięciu fazowym równym =-. Oznaczmy tę częstotliwość fu=u/(2). Ze względu na warunek (1.15) przesunięcie fazowe wnoszące przez czysty człon inercyjny dla tej częstotliwości jest bliskie -/2, gdyż

(1.16)

W efekcie dla częstotliwości u musi wystąpić dodatkowe przesunięcie fazowe, wprowadzane przez człon opóźniający, o wartości -/2. Można zatem zapisać, że

(1.17)

Wartość wzmocnienia |G(u)| można zmierzyć. Zgodnie z modelem, przy słuszności warunku (1.16), wynosi ono

(1.18)

Mierząc wartość u można wyznaczyć stosunek G0/T. Jest to więc metoda identyfikacji, alternatywna do badania odpowiedzi na skok jednostkowy, która bazuje na zależności (1.13).

Na podstawie wyników identyfikacji przedstawionych powyżej parametrów można przyjąć np. wartości parametrów regulatora PID, jakimi są wzmocnienie Kr, czas zdwojenia Ti oraz czas wyprzedzenia Td. W przypadku bazowania na identyfikacji częstotliwościowej parametry te maja wartość

(1.19)

zaś w przypadku identyfikacji czasowej parametry regulatora maja wartość

(1.20)

Łatwo na podstawie równań (1.17) i (1.18) sprawdzić, że zależności (1.19) i (1.20) są równoważne.

W przypadku obiektów termicznych, ze względu na zastąpienie opisu układów o stałych rozłożonych za pomocą opisu układów o stałych skupionych, model inercyjny z opóźnieniem jest tylko przybliżeniem. W efekcie wyniki uzyskiwane przy stosowaniu obu metod nie zawsze pokrywają się z odpowiednią dokładnością. Dlatego też identyfikację startowa tych układów za pomocą wymuszeń skokowych prowadzi się z reguły dla zgrubnego określenia dynamiki tych obiektów. Dla celów dokładnej regulacji tych obiektów zachodzi potrzeba identyfikacji metodami częstotliwościowymi np. metodą MBS.

1.4. Stany przejściowe w obiektach dynamicznych

Pobudzenie układu dynamicznego sygnałem testowym na ogół powoduje powstanie stanu nieustalonego. Dla przykładu pobudzenie układu inercyjnego pierwszego rzędu o transmitancji (1.6) sygnałem sinusoidalnym

(1.21)

powoduje, przy zerowym warunku początkowym hs(t)=0, odpowiedź

(1.22)

Uproszczenia tej zależności dla wybranych zakresów pulsacji przedstawia tabela 1. Dla zakresu małych pulsacji sygnał odpowiedzi praktycznie zawiera tylko składową sinusoidalną. Natomiast dla zakresu dużych pulsacji w odpowiedzi występuje znacząca składowa wykładnicza, co wiąże się z przesunięciem fazy -90 dla tej częstotliwości i koniecznością spełnienia warunku początkowego hs(t)=0. Wykres odpowiedzi (1.22) dla T=20 przedstawiony jest na rys. 1.8.

Przy zerowym warunku początkowym pobudzenie rozważanego układu sygnałem sinusoidalnym

(1.23)

prowadzi do uzyskania odpowiedzi

(1.24)

Uproszczenia, analogiczne jak dla sinusoidalnego sygnału wymuszenia prowadzą do postaci, zaprezentowanych w tabeli 1. Wykres odpowiedzi (1.24) przy zerowym warunku początkowym dla T=0.1 przedstawia wykres na rys. 1.9.

Tabela 1.

Sygnał wymuszający

Rys. 1.8. Odpowiedź obiektu inercyjnego na pobudzenie sinusoidalne przy warunku T>>1.

Rys. 1.9. Odpowiedź obiektu inercyjnego na pobudzenie kosinusoidalne przy warunku

T<<1.

Analizę zawartości harmonicznych przeprowadza się dla przebiegów okresowych, poddając obróbce odcinek przebiegu równy okresowi tego przebiegu. (Uwzględnienie wielokrotności tego okresu stosuje się przy konieczności filtracji zakłóceń.) Jeżeli w okresie analizowanego przebiegu występuje dodatkowa nieokresowa składowa odpowiedzi, powoduje ona błąd analizy. Analiza daje bowiem wyniki, które odpowiadają nieistniejącemu przypadkowi, w którym fragment odpowiedzi nieokresowej, poddany analizie, powtarza się w każdym okresie przebiegu okresowego. Rozpatrzmy przypadek występowania dodatkowej składowej

która występuje w razem z sygnałem okresowym, który jest badany w czasie 02.8T. Sygnał ten powoduje pojawienie się w wynikach składowych harmonicznych o amplitudach, przedstawiony w tabeli 2.

Tabela 2.

Pulsacja	=1/T rad/s	=2/T rad/s	=3/T rad/s	=4/T rad/s
Amplituda	0.274	0.146	0.099	0.075

2. IDENTYFIKACJA METODĄ MBS

Wieloczęstotliwościowe ciągi binarne (MBS) stanowią podgrupę ważnej klasy binarnych sygnałów testowych. Główna moc sygnałów MBS jest skoncentrowana w kilku wybranych składowych harmonicznych widma sygnałów, w rezultacie czego, w pojedynczym eksperymencie można określić wartości charakterystyki częstotliwościowej obiektu jednocześnie w kilku punktach. Sygnały te zapewniają bardzo dobry stosunek sygnału użytecznego do szumów dla dominujących składowych harmonicznych, przesunięcie zera oraz dużą dowolność wyboru widma sygnału. Ponieważ bazują one na funkcji skokowej, która jest łatwa do wygenerowania, nadają się bardzo dobrze do zastosowania z użyciem techniki komputerowej, a w szczególności do cyfrowych pomiarów odpowiedzi częstotliwościowej różnych układów, w tym układów termicznych. Spośród wielu znanych sygnałów MBS dobre rezultaty przy pomiarach układów elektrotermicznych dają sygnały opracowane przez Van den Bosa oraz w Politechnice Łódzkiej i Strathclyde University w Glasgow (Szkocja).

Rys. 2.1. Schemat blokowy układu do identyfikacji metodą MBS

Rys. 2.1 pokazuje piec rezystancyjny, reprezentowany przez liniowy stacjonarny model SISO (single input-single output) procesu. Przyjmując oznaczenie u(t) dla okresowego sygnału MBS, w którego widmie dominuje kilka wybranych częstotliwości. Dla celów estymacji przyjmuje się, że sygnał wyjściowy
obiektu, którym jest temperatura pieca, jest superpozycją odpowiedzi idealnej y(t) i zakłóceń losowych z(t). Zakłócenia te, stanowiące zakłócenia stanu obiektu oraz szumy układu pomiarowego, mogą być rozpatrywane jako gaussowski proces losowy o zerowej wartości średniej. Własności dynamiczne układu mogą być określone przez transmitancję częstotliwościową G(j) w postaci

(2.1)

gdzie oznaczono:

Y(j), U(j) - transformaty Fouriera sygnałów wejściowego i wyjściowego,

P(), Q() - rzeczywista i urojona część transmitancji G(j).

Estymatory P() i Q() rzeczywistej i urojonej części G(j) mogą być zapisane jako

(2.2)

(2.3)

gdzie:

k	- pulsacja k-tej harmonicznej (k=k0 =2k/N),
0	- bazowa pulsacja,
aku , bku	- kosinusowy i sinusowy współczynnik Fouriera sygnału MBS
ky, ky	- kosinusowy i sinusowy współczynnik Fouriera sygnału wyjściowego.

Estymatory te są dane przez równania

(2.3a)

(2.3b)

gdzie:

M	- liczba sekwencji MBS, podanych na wejście,
N	- liczba impulsów w jednej sekwencji MBS,
	- okres jednego impulsu,
y(n)	- wartość temperatury w chwili czasowej t= n, n=0,1,...MN-1.

Analizując zależności (2.3a) i (2.3b) można zauważyć filtracyjny charakter metody MBS, gdyż mnożenie sygnału wyjściowego y(t) odpowiednio przez cos(t) oraz sin(t), a następnie sumowanie po n, dla każdego k, stanowi realizację cyfrowej częstotliwościowej analizy korelacyjnej. Zastosowanie w cyfrowym systemie pomiarowym wzorów (2.3), pozwala na obliczanie wyników dla niezbyt dużej liczby analizowanych częstotliwości, dominujących w sygnale MBS, poprzez sumowanie na bieżąco kolejnych składowych równań w fazach okresu próbkowania systemu, wolnych od zadań sterowania systemem. W odróżnieniu od znacznie szybszego lecz dużo bardziej złożonego algorytmu szybkiej transformacji Fouriera (FFT), zależności (2.3) nie wymagają przechowywania w pamięci danych pomiarowych z całego przedziału czasu, podlegającego analizie. Estymaty P() oraz Q(), opisujące części rzeczywistą i urojoną odpowiedzi częstotliwościowej układu, określone metodą MBS, są estymatami zgodnymi i nieobciążonymi, których wariancja jest odwrotnie proporcjonalna do czasu trwania pomiaru i mocy zawartej w k-tej harmonicznej sygnału testowego.

Należy nadmienić, że okres impulsu wyznaczany jest nz podstawie oszacowanej wartości czasu opóźnienia na podstawie wyników wstępnej identyfikacji z krzywej rozgrzewu pieca.

3. IDENTYFIKACJA METODĄ MBS OBIEKTÓW O WIELU WEJŚCIACH I WIELU WYJŚCIACH

Obiekty o wielu wejściach i wielu wyjściach są nazywane w skrócie MIMO (multi input - multi output). Przykładem obiektu MIMO jest piec do dyfuzji półprzewodników z wielosekcyjnym grzejnikiem, pokazany schematycznie na rys. 3.1. Ze względu na wymaganą bardzo dużą dokładność rozkładu temperatury w reaktorze takiego pieca, dla opracowania właściwej konstrukcji pieca oraz dla opracowania właściwego sterowania temperaturą pieca, ważna jest znajomość wartości parametrów dynamicznych układu dynamicznego złożonego z grzejnika i izolacji termicznej pieca oraz toru przepływu energii cieplnej pomiędzy grzejnikiem i reaktorem pieca, wsadem i czujnikami temperatury.

Rys. 3.1. Schemat pieca do dyfuzji półprzewodników

Piec do dyfuzji, pokazany na rys. 3.1 wyposażony jest w 5-sekcyjny grzejnik. Strukturalny dynamiczny model konstrukcji pieca i wsadu zawartego w reaktorze tego pieca jest pokazany na rys. 3.2, na którym przyjęto oznaczenia:

ui - wejściowe sygnały sterowania mocą grzejną.

yhi - sygnały wyjściowe, mierzone przez czujniki temperatury umieszczone w bezpośrednim otoczeniu poszczególnych sekcji grzejnika,

ybi - sygnały wyjściowe mierzone przez czujniki umieszczone we wsadzie,

zaś i=1..5 jest numerem sekcji pieca. Schemat na rys. 3.2, ze względu na czytelność, pomija wejścia zakłóceń stanu obiektu oraz zakłóceń pomiarowych, niemniej w analizie należy uwzględnić obecność tych zakłóceń w wymienionych wyżej sygnałach wyjściowych.

Dynamiczny model blokowy, zaprezentowany na rys. 3.2, składa się z bloków składowych Ghi, Ghij, Gbi oraz Gbij. Bloki Ghi oraz Gbi modelują przepływ ciepła w poszczególnych sekcjach pieca. Bloki Ghij oraz Gbij, przy czym ij, opisują sprzężenia skrośne między sekcjami pieca. Dla celó syntezy regulatora temperatury bloki Ghi oraz Gbi mogą być dobrze opisane transmitancjami inercyjnymi pierwszego stopnia z opóźnieniami. Opis dynamiki bloków Ghij oraz Gbij mogą być zadawalająco opisane transmitancjami pierwszego rzędu bez opóźnień.

Rys.3.2. Schemat blokowy modelu dynamicznego 5-sekcyjnego pieca ze wsadem.

Parametry dynamiczne przedstawionego obiektu powinny być zmierzone dla każdego członu obiektu, opisanego przez schemat blokowy na rys. 3.2. Zależności pomiędzy składnikami harmonicznymi sygnałów o pulsacji k, przedstawionymi na rys.3.2, mogą być przedstawione przez układ równań macierzowych

(3.1)

(3.2)

gdzie m oznacza numery zbiorów sygnałów wejściowych i wyników pomiarów. Wektory i macierze w powyższych równaniach dla n-sekcyjnego obiektu mogą być zapisane jako

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

W równaniach (3.1) i (3.2) występują wektory Gh i Gb o elementach zespolonych w liczbie

l = 3n-2 (3.9)

których wartości trzeba wyznaczyć na podstawie znajomości wymuszeń Um i wyników pomiarów, zgromadzonych w macierzach Cm i Dm. W czasie pomiarów powinny być pobudzone wszystkie wejścia obiektu. Dla wyznaczenia wartości l elementów wektorów Gh i Gb konieczne jest uwzględnienie l niezależnych równań liniowych, podczas gdy równania (3.1) i (3.2) reprezentują sobą n równań. Z równania (3.9) wynika, że dla uzyskania niezbędnej liczby równań należy co najmniej 3-krotnie pobudzić obiekt sekwencjami MBS, podawanymi na wybrane wejścia obiektu. W celu uzyskania korzystnego stosunku sygnału pomiarowego do sygnału zakłóceń wskazane jest wykorzystywanie tych wyników pomiarów Yhi(jk) i Ybi(jk), które uzyskuje się przy zastosowania pobudzenia Ui(jk), Ui-1(jk) oraz Ui+1(jk). Taką sekwencją pomiarów dla obiektu 5-sekcyjnego, pokazanego na rys.3.1, może być sekwencja przy pobudzeniach sygnałami MBS wejść, oznaczonych symbolem “+” w tabeli 3.1. Parametry sygnału MBS zostały określone na podstawie wstępnej identyfikacji parametrów dynamicznych obiektu z krzywej rozgrzewu.

Tabela 3.1.

Numer pomiaru	U1(jk)	U2(jk)	U3(jk)	U4(jk)	U5(jk)
m=1	+	-	-	+	-
m=2	-	+	-	-	+
m=3	-	-	+	-	-

W przypadku pierwszego i drugiego pomiaru w tej sekwencji spełniony jest warunek pobudzenia i-tego lub sąsiedniego wejścia dla wszystkich zmiennych stanu, zawartych w równaniach (3.4) i (3.7). Po połączeniu tych wyników uzyskuje się 10 niezależnych równań, które można przedstawić w postaci macierzowej

(3.10)

(3.11

Równania (3.1) i (3.2), zawierające wyniki trzeciego pomiaru można zredukować o do postaci, która zgodnie z przyjętym założeniem, obejmuje trzy równania związane z pobudzeniem U2(jk), U3(jk) oraz U4(jk). Uzyskać to można przez usunięcie pierwszego i ostatniego elementu w wektorach (3.3) i (3.6) oraz pierwszego i ostatniego wiersza w macierzach (3.4) i (3.7). Dla obiektu 5-sekcyjnego równania (3.1) i (3.2) tak zredukowane mają postaci

(3.12)

(3.13)

gdzie

(3.14)

(3.15)

(3.17)

(3.18)

Ostateczne wartości pomierzonych parametrów dynamicznych obiektu 5-sekcyjnego dla pulsacji k, przedstawione w postaci wektorów Gh i Gb można obliczyć z równań

(3.19)

(3.20)

Znając wartości zespolonych wektorów Gh i Gb łatwo jest, na podstawie zależności (3.5) i (3.8), obliczyć składowe rzeczywiste i urojone Ghi(jk), Ghij(jk), Gbi(jk) oraz Gbij(jk).

Pomiary metodą MBS oszczędzają czas pomiarów ze względu na jednoczesny pomiar dla kilku punktów częstotliwościowych mierzonej charakterystyki obiektu. Mimo to, ograniczenie liczby pomiarów MBS do minimalnej ich liczby jest dla obiektów elektrotermicznych bardzo istotne, gdyż ze względu na występujące w modelach tych obiektów duże stałe czasowe, pomiary dynamiczne parametrów dynamicznych tych obiektów są bardzo czasochłonne.

2

---