Transformata „Z”
X(t) |
X(s) |
X(z) |
kδ(t) |
k |
K |
1(t) |
1/s |
z/z-1 |
t1(t) |
1/s2 |
zTp/(z-1)2 |
t2/2 1(t) |
1/s3 |
z(z+1)Tp2/(z-1)2 |
exp(-αt)1(t) |
1/(s+α) |
z/(z-exp(-αTp)) |
t exp(-αt)1(t) |
1/(s+α)2 |
z Tp exp(-αTp)/[z-exp(-αTp)]2 |
sin (βt)1(t) |
β / s2 + β2 |
z sin(βTp) / z2-2zcos(βTp)+1 |
cos (βt)1(t) |
s / s2 + β2 |
z [z -cos(βTp)] / z2-2zcos(βTp)+1 |
Własności transformaty „Z”
y(t)=bx(t) |
x{zb(-Tp)} |
y(t)=tx(t) |
-z Tp d/dz{x(z)} |
y(t)=x(t-mTp) |
z-mx(z)+z-m∑x(-kTp)zk |
Y(t)=x(t-mTp)1(t-mTp) |
z-mx(z) |
y(t)=x(t+mTp) |
z-mx(z)-z-m∑x(kTp)z-k |
Modele sygnałowe napięć i prądów:
X(t)=x1cos(ω1t+ϕ1)+x0exp(-t/Ta)+
∑lk=1xkcos(kω1t+ϕk)+
∑lk=1x0kexp(-t/Tak)cos(ωkt+ϕk)+e(t),
X(nTp)=x1cos(Ω1+ϕ1)+x0exp(-nTp/Ta)+
∑lk=1xkcos(kΩ1+ϕk)+
∑lk=1x0kexp(-nTp/Tak)cos(Ωk+ϕk)+e(nTp),
gdzie x1amplituda składowej podstawowej o częstotliwości 50 Hz, xk amplitudy składowych harmonicznych o częstotliwościach będących całkowita wielokrotnością 50 Hz, x0 - amplituda składowej nieokresowej zanikającej ze stała czasowa ta, x0 - amplitudy składowych oscylacyjnych zanikających wykładniczo, e(t) - pozostałe składowe sygnału nie uwzględnione w modelu - sygnał błędu.
Twierdzenie o próbkowaniu:
- widmo sygnału próbkowanego
x* - sygnał próbkowany
p(t) - funkcja próbkujaca (wartość funkcji w tym położeniu)
x*(jω0 - widmo sygnału (szereg Fouriera)
p(t) =1/Tp - funkcja próbkujaca jako szereg Fouriera całka wewnętrzna (transf. Fouriera)
1/Tp - czynnik próbkujący
- widmo periodyczne takie samo dla ω, ω+2Tp, ω+3Tp
- Warunek Shanona:
ωp≥2ωm , gdzie ωm - najwyższa pulsacja składowych obecnych w sygnale.
- sposoby postępowania prowadzące do odtwarzalności sygnału o konkretnym widmie:
a) dobrać pulsację próbkowania taką, aby spełnić warunek Shanona
b) wybrać mniejszą pulsacje próbkowania, ale ograniczyć widmo sygnału za pomocą odpowiednio zaprojektowanego filtru analogowego, który poprzedza układ próbkowania. W wyniku tego warunek Schanona jest spełniony bez zmiany pulsacji próbkowania.
3.podać transmitancje i równania różnicowe filtów NOI i SOI
Typowy algorytm filtrów NOI (rekursywnych) ma postać:
Filtr SOI (nierekursywny)
y(n)-n-ta próbka syg. Wyj.
X(n) n-ta próbka syg.wej
A(k),b(k) stałe współ.
Filtr taki wytwarza kolejną próbkę syg.wyj. jak sumę ważoną N poprzednich próbek sygnału oraz M poprzednich próbek syg.wyj.
Filtr nierekursywny tworzy próbkę syg.wyj. wyłącznie z próbek syg.wej.
Filtry parzyste i nieparzyste
4.Warunki uzyskania fitrów o liniowej fazie to odpowiednie parzyste(symetryczne) lub nieparzyste(asymetryczne)
symetrie współ.filtru opisane równaniem
a(k)=a(N-1-K) a(k)=-a(N-1-K)
Można wykazać, że pary filtrów z których jeden spełnia pierwszy z warunków tj. parzystość odpo.impulsowej a drugi nieparzysta odp.impul..Każdy z nich ma liniową fazę w funkcji częstotliwości a różnica ich faz jest równa pi/2 dla dowolnej częstotliwości
Transmitancja widmowa jest określona równaniem:
(1.1)
Można ją wykorzystać do wykazania liniowości fazy i ortogonalności fitrów , których współ. Spełniają podane wyżej warunki symetrii
Uzyskuje się wówczas
(1.2),(1.3)
Znak plus w nawiasie kwadratowym sumy występuje w przypadku parzystej symetrii współ. Filtru , a znak minus w przypadku nieparzystej symetrii.
Jeśli współ. Pary filtrów spełniają warunki symetrii parzystej i nieparzystej to oba te filtry mają liniową fazę i są ortogonalne, czyli różnica ich argumentów wynosi pi/2
Filtry Walsha:
Filtr zerowego rzędu:
widmo tego filtru :
Ω=ωTp=2πf/fp
żeby policzyć liczbe próbek albo fp
Nf/fp = k i k=1,2,3...
Filtr I rzędu:
Filtr II rzędu:
Moduły filtrów pełnookresowych:
|W1(jΩ1)|=|W2(jΩ1)|=2/(sin(π/N1)
argumenty:
arg[W1(jΩ1)]=π/2-[(N1-1)/2Ω1]= -π/2+π/N1
arg[W2(jΩ1)]=-[(N1-1)/2Ω1]= -π+π/N1
Moduły filtrów półokresowych:
|W0(jΩ1)|=|W1(jΩ1)|=1/(sin(π/N1)
argumenty:
arg[W1(jΩ1)]=π/2-[(N1/2-1)/2Ω1]= π/N1
arg[W2(jΩ1)]=-[(N1/2-1)/2Ω1]= -π/2+π/N1
gdzie Ω1=ω1/fp=2π/N1 N1=fp/f1
Filtry Sin i Cos
widma:
Pomiar składowych impedancji metodami uśredniania
Pomiar częstotliwości przez zliczanie impulsów
a błąd:
Pomiar częstotliwości i jej odchyleń impulsów zastosowaniem składowych ortogonalnych
Pomiar napięcia i prądu z wyk. składowych ortogonalnych
stąd najprostszy algorytm:
a z kolei stąd mamy dwa algorytmy pomiarowe amplitudy prądu i napiecia:
Składowe symetryczne:
[X012]=[S][XABC], [X012]=[x0,x1,x2]
[XABC]=[xa,xB,xc]T
[x]=[xC]+j[xS]
a=exp(j2π/3)=-0.5+j√3/2
a2=exp(j4π/3)=-0.5-j√3/2
Po wstawieniu a do macierzy S otrzymujemy dwie macierze: [S]=[SR]+j[SI]
[xC012]+j[xS012]={ [SR]+j[SI]}{ [xCABC]+j[xSABC]
[xC012]=[SR] [xCABC]- [SI] [xSABC]
[xS012]=[SR] [xSABC]- [SI] [xCABC]
x0(n)=1/3[xA(n)+xB(n)+xC(n)]
x1(n)=1/3[xA(n)+xB(n-2N1/3)+xC(n-N1/3)]
x0(n)=1/3[xA(n)+xB(n-N1/3)+xC(n-2N1/3)]
Pomiar impedancji pętli zwarciowej dla obw. RL
Zad.1 T=10-3s
T
T
Zad. 4
Dzielimy przez najwyższą potęgę:
__________________________________________
ωp
Gb
Ga
ωp