ZADANIA

Geometria analityczna

1. Oblicz współrzędne wektora
   , jeśli:

a)
,
; b)
,
;

c)
,
; d)
,
.

2. Oblicz długość wektora
   , jeśli:

a)
,
; b)
,
;

c)
,
; d)
,
.

3. Dane są punkty
   ,
   ,
   . Punkt
   jest środkiem odcinka
   ,

a
- środkiem odcinka
. Oblicz współrzędne i długości następujących wektorów:

1. 
   ; b)
   .

4. Dane są punkty
   ,
   ,
   ,
   ,
   ,
   . Wśród wektorów
   ,
   ,
   ,
   ,
   ,
   wskaż pary wektorów równych i pary wektorów przeciwnych. Które wektory mają tę samą długość?

5. Dla jakich liczb rzeczywistych
   ,
   wektory
   i
   są przeciwne, jeśli:

1. 
   ,
   ; b)
   ,
   .

1. Dany jest odcinek o końcach
   i
   . Wyznacz współrzędne punktu
   , który tak dzieli odcinek
   , że:

1. 
   ; b)
   .

2. Dane są punkty
   ,
   ,
   ,
   . Oblicz współrzędne wektorów:

a)
; b)
.

6. Dane są punkty
   ,
   ,
   . Wyznacz taki punkt
   , by
   .

7. Oblicz iloczyn skalarny wektorów:

1. 
   i
   ; b)
   i
   ; c)
   i
   .

8. Wyznacz kąt między wektorami:

1. 
   i
   ; b)
   i
   ; c)
   i
   .

9. Wyznacz kąty trójkąta
   o wierzchołkach:

1. 
   ,
   ,
   ; b)
   ,
   ,
   .

10. Wykaż, że przekątne czworokąta
    , w którym
    ,
    ,
    ,
    są prostopadłe.

11. Dane są wektory:
    ,
    . Oblicz:

1. 
   ; b)
   ; c)
   .

12. Oblicz iloczyn wektorowy podanej pary wektorów:

1. 
   ,
   ; b)
   ,
   .

13. Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach:

1. 
   ,
   ; b)
   ,
   .

14. Dla jakiej wartości
    punkty
    ,
    i
    są wierzchołkami trójkąta prostokątnego?

15. Napisz równanie prostej prostopadłej do wektora
    i przechodzącej przez punkt:

1. 
   ; b)
   ; c)
   .

16. Udowodnij, że proste o równaniach
    i
    są równoległe.

17. Udowodnij, że proste o równaniach
    i
    są prostopadłe.

18. Dane są dwie proste o równaniach
    i
    . Dla jakich wartości
    i
    proste te są:

1. równoległe; b) prostopadłe.

19. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt
    oraz:

1. równoległej do prostej
   ;

2. prostopadłej do prostej
   ;

3. równoległej do osi
   .

20. Wektor
    jest podstawą trójkąta równoramiennego o wierzchołku
    i wektorze wysokości
    . Znajdź równania prostych zawierających boki tego trójkąta.

21. Wyznacz równanie postaci
    , gdzie
    , prostej
    .

22. Wyznacz równanie parametryczne prostej
    .

23. Wykaż, że układy równań

oraz

opisują tę samą prostą

24. Udowodnij, że punkt
    należy do prostej
    .

25. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych

oraz
.

26. Wyznacz równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt
    oraz:

1. równoległej; b) prostopadłej

do prostej
.

27. Napisz równanie parametryczne prostej:

1. przechodzącej przez punkt
   i równoległej do wektora
   ;

2. przechodzącej przez punkty
   ,
   .

28. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
    i prostopadłej do wektora
    , jeśli:

1. 
   ,
   ; b)
   ,
   .

29. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka
    , gdzie
    .
    i prostopadłej do tego odcinka.

30. Napisz równania parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez środek układu współrzędnych i równoległej do wektorów
    ,
    .

31. Napisz równania parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt
    i równoległej do wektorów
    ,
    .

32. Napisz równania ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty
    ,
    ,
    

33. Zbadaj czy punkty
    ,
    należą do prostej
    .

34. Zbadaj czy punkty
    ,
    należą do płaszczyzny
    .

35. Znajdź odległość punktu
    od prostej
    o równaniu:

1. 
   ; b)
   .

36. Znajdź odległość prostych równoległych
    ,
    .

37. Znajdź odległość

1. punktu
   od płaszczyzny
   ;

2. płaszczyzn równoległych
   ,
   .

38. Znajdź rzut prostokątny

1. punktu
   na płaszczyznę
   ;

2. prostej
   na płaszczyznę
   .

39. Znajdź rzut równoległy punktu

1. 
   ; b)
   

na płaszczyznę
w kierunku prostej
.

40. Przez punkty
    i
    leżące poza płaszczyzną
    poprowadzono proste prostopadłe do tej płaszczyzny, przebijające ją odpowiednio w punktach
    i
    . Wiedząc, że
    i
    , oblicz odległość środka odcinka
    od płaszczyzny
    .

41. Z punktów
    i
    płaszczyzny
    poprowadzono poza nią dwa równoległe do siebie odcinki
    i
    ,
    ,
    . Prosta przechodząca przez punkty
    i
    przebija płaszczyznę w punkcie
    . Wiedząc, że
    , wyznacz długość

odcinka
.

42. Odcinek
    ma długość
    i jest nachylony do płaszczyzny
    pod kątem:

1. 
   ; b)
   ; c)
   .

Oblicz długość rzutu prostokątnego tego odcinka na płaszczyznę
.

43. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równoramiennego leży w płaszczyźnie
    , a druga tworzy z płaszczyzną
    kąt
    . Jaki kąt tworzy przeciwprostokątna trójkąta z płaszczyzną?

44. Odległość między dwiema płaszczyznami równoległymi
    i
    wynosi
    . Końce odcinka długości
    leżą na tych płaszczyznach. Oblicz długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę
    .

45. Wyznacz współrzędne środka
    i długość promienia
    okręgu danego równaniem:

1. 
   ; b)
   .

46. Określ wzajemne położenie prostej
    i okręgu
    , jeśli:

1. 
   ,
   ;

2. 
   ,
   ;

3. 
   ,
   .

47. Określ wzajemne położenie okręgów:

1. 
   ,
   ;

2. 
   ,
   ;

3. 
   ,
   .

48. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych dwóch okręgów opisanych równaniami

oraz
.

49. Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie
    , stycznego do prostej o równaniu

.

50. Znajdź równania stycznych do okręgu o równaniu
    , przechodzących przez punkt
    .

51. Napisz wzór na translację o wektor
    , gdy:

1. 
   ; b)
   ; c)
   .

52. Znajdź obrazy punktów:
    ,
    ,
    w translacji o wektor
    .

53. Dane są punkty
    ,
    ,
    . Napisz wzór opisujący translację o wektor:

1. 
   ; b)
   ; c)
   .

54. Znajdź równanie obrazu prostej o równaniu
    w translacji o wektor
    .

55. Znajdź równanie obrazu okręgu o równaniu
    w translacji

o wektor
.

56. Znajdź równanie obrazu paraboli o równaniu
    w translacji o wektor
    .

57. Dane są punkty
    ,
    ,
    . Znajdź translację, w której:

1. obrazem punktu
   jest punkt
   ;

2. obrazem środka
   odcinka
   jest punkt
   .

58. Dla jakich wartości
    przekształcenie
    płaszczyzny określone wzorami:
    jest translacją o wektor
    .

59. Wyznacz translację, w której obrazem linii
    jest linia
    , gdy:

1. 
   ,
   ;

2. 
   ,
   .

60. Wykaż, że obrazem prostej w translacji jest prosta do niej równoległa.

61. Znajdź obrazy punktów
    ,
    ,
    ,
    w symetrii względem punktu:

1. 
   ; b)
   ; c)
   .

62. Znajdź równanie okręgu, który jest obrazem okręgu o równaniu
    w symetrii względem punktu
    , gdy:

1. 
   ; b)
   ; c)
   .

63. Znajdź równanie obrazu linii
    w symetrii względem punktu
    , gdy:

1. 
   ,
   ,
   ;

2. 
   ,
   ,
   .

64. Wyznacz symetrię środkową, w której obrazem punktu
    jest punkt
    .

65. Znajdź obrazy punktów
    ,
    w obrocie dookoła punktu
    o kąt
    .

66. Znajdź wierzchołek
    trójkąta równobocznego
    , wiedząc, że
    ,
    .

67. Znajdź równanie obrazu prostej o równaniu
    w obrocie dookoła punktu
    

o kąt
.

68. Znajdź równanie obrazu okręgu o równaniu
    w obrocie dookoła punktu
    o kąt
    .

69. Znajdź obrazy punktów
    ,
    ,
    w jednokładności o środku
    i stosunku
    , gdy:

1. 
   ,
   ; b)
   ,
   ;

c)
,
; d)
,
.

70. Znajdź punkty, których obrazami w jednokładności o środku
    i stosunku
    są punkty
    ,
    ,
    , gdy

1. 
   ,
   ; b)
   ,
   ;

c)
,
; d)
,
.

71. Wyznacz środek jednokładności o stosunku
    , w której obrazem punktu
    jest punkt
    .

72. Jakie przekształcenie określają wzory
    .

73. Znajdź obrazy linii:

1. 
   ; b)
   ; c)
   

w jednokładności o środku
i stosunku
.

74. Dany jest trójkąt o wierzchołkach
    ,
    ,
    . Oblicz pole tego trójkąta.

75. Na płaszczyźnie dane są punkty:
    ,
    ,
    ,
    . Przez punkt
    poprowadzono prostą
    prostopadłą do prostej
    . Znajdź na prostej
    taki punkt
    , by pola trójkątów
    i
    były równe.

76. Pole trójkąta o wierzchołkach
    ,
    jest równe
    . Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka, wiedząc, że należy on do prostej o równaniu
    .

77. Narysuj elipsę o równaniu

1. 
   ; b)
   .

Znajdź współrzędne jej ognisk.

78. Napisz równanie elipsy o środku w początku układu współrzędnych i wierzchołkach
    ,
    .

79. Narysuj hiperbolę o równaniu.

1. 
   ; b)
   .

Znajdź współrzędne jej ognisk.

80. Narysuj parabolę o równaniu

1. 
   ; b)
   .

Znajdź współrzędne jej ogniska i równanie kierownicy

2

---