Def. Podgrupa H grupy G jest dzielnikiem normalnym, gdy dla każdego a∈G, aH=Ha (H∇G)

Podsumowanie: Następujące warstwy są równe:

1. H∇G

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. istnieje grupa L i epimorfizm ϕ:G→L takie że H=kerϕ

7. można zdefiniować grupę ilorazową G/H, tzn. działanie [a][b]=[ab] jest poprawnie określone [a]=aH=Ha

Tw. o EPIMORFIŹMIE

Niech ϕ: G→L (G,L - grupy) będzie epimorfizmem. Wówczas grupy G(kerϕ i L są izomorficzne)

Dowód: nieczytelne notatki

Przykład:

wtedy gdy różnica
czyli gdy

Wystarczy pokazać poprawność

j.-el. neutralny w L

Istotnie:

Wniosek: Niech G,L - grupy, H - podgrupa grupy G. Aby pokazać, że H∇G oraz G/H jest izomorfizmem z L wystarczy wskazać epimorfizm
H=Ker

Przykłady:

Ucięta końcówka strony

-
jest homomorfizmem, bo dodawanie w Rⁿ (oraz w R^n-k) jest dodawaniem po współ.

-
jest „na” bo dla dowolnego wektora y=(x_k+1, x_k+2,…, x_n) istnieje wektor
czyli

-
{x:

(2) G={A

Pokażemy, że H∇G oraz G/H jest izomorficzne z R* R*-zbiór {R\{0}, · } Aby to pokazać wystarczy wskazać epimorfizm

H={A:

H₁={A:detA=1 lub -1},

H₂={A:detA>0},

L₁ =R₊ L₂ = ({1,-1},·)

PIERŚCIENIE

Def. Pierścieniem nazywamy strukturę (P,+, •) P≠φ taką, że:

1. (P,+) jest grupą przemienną

2. mnożenie „•” jest działaniem wewnętrznym, łącznym

3. zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania, tzn.
   

Proste Fakty „0” - el. neutralny „+”

FAKT1:

Dowód:

FAKT2: a(-b)=(-a)b=-(ab)

Dowód: a(b+(-b))=a0=0, ab+a(-b)=0, zatem a(-b)=-(ab)

FAKT3: (-a)(-b)=ab

Dowód: (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab

Uwaga: sumę a+(-b) będziemy oznaczać a-b

FAKT4: a(b-c)=ab-ac, (b-c)a=ba-ca

Wprow. dalsze oznaczenia 0a=0

(n+1)a=na=a dla n∈N, n>0 (inaczej na=a+a+…+a) [n składników]

(-n)a=n(-a) n∈Z

Def. Mówimy, że:

1. pierścień jest przemienny jeśli mnożenie jest przemienne

2. pierścień me jedynkę jeśli istnieje element neutralny mnożenia

3. pierścień jest ciałem jeśli jest pierścieniem przemiennym z jedynką: (P\{0},•) jest grupą

UWAGA: Jeśli pierścień ma „jedynkę” to jest ona dokładnie jedna

Def. Niech P będzie p-m z „1” Element a∈P nazywamy odwracalnym jeśli istnieje taki element b∈P, że ab=ba=1 (ozn. b=a^-1)

Jeśli a jest odwracalny to ma dokładnie 1 element odwrotny

Uwaga: Zbiór elementów odwracalnych pierścieni z „1” tworzy grupę multiplikatywną ((ab)^-1 = b^-1 a^-1)

Def. Element a pierścienia nazywamy DZIELNIKIEM ZERA jeśli istnieje b≠0 takie że ab≠0 lub ba≠0. Jeśli a≠0 i jest DZ to mówimy, że a jest właściwym DZ.

Mówimy, że P jest pierścieniem bez DZIELNIKA ZERA jeśli nie ma właściwego dzielnika zera

FAKT: Jeśli P jest pierścieniem z „1” i a jest dzielnikiem to a nie jest odwracalny

Dowód: Pokażemy, że jeśli a odwr. to a nie jest dzielnikiem. Mamy aa^-1 = a^-1a=1 Przypominamy, że ab=0 a a^-1 -ab=1-0=1 czyli a(a^-1 -b)=1 stąd a^-1 -b= a^-1 czyli b=0

FAKT: W pierścieniu bez dzielnika zachodzi „PRAWO SKRACANIA” tzn. jeśli dla pewnych a, b, c mamy: ab=ac to b=c

a(b-c)=0 stąd b-c=0 czyli b=c

Def. Pierścień przemienny z „1” bez dzielnika nazywamy pierścieniem całkowitym (dziedziną całkowitości)

Przykłady:

1. Każde ciało jest p-m całkowitym

2. (Z,+, •) jest pierścieniem całkowitym

3. (Z_p,
   dla l.p-pierwszej jest ciałem; w przeciwnym wypadku NIE jest p-m całkowitym - ma wł. dz. zera. W tym pierścieniu (p-złożenia) elementy nieodwracalne i dzielniki zera to to samo. (okaże się, że K jest DZ wtedy i tylko wtedy gdy k i p nie są względnie pierwsze)

4. (C[0,1],+, •) (f+g)(t)=f(t)+g(t), (fg)(t)=f(t)g(t)

W tym pierścieniu elementy nieodwracalne to f e przyjmują warunki „0“ przyjmujemy w 1 - p-e. Przypuśćmy, że fg=0 zatem

5. jeśli P₁ ,P₂ pierścienie to struktura (P₁xP₂, +, •) z działaniami „po współrzędnych”

a,b∈P₁ (a,x)+(b,y)=(a+b,x+y)

(a,x)(b,y)=(ab,xy) jest pierścieniem z dzielnikami zero

ucięty fragment strony

Def. Podzbiór Q pierśc. P nazywamy podpierścieniem P jeśli struktura (Q, +(QxQ), •(QxQ)) jest pierścieniem

FAKT: Q jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko, gdy

1. a-b∈Q

2. ab∈Q i ba∈Q

FAKT:

1. podpierścień p-nia przemiennego jest przemienny

2. podpierścień p-nia bez dzielnika nie ma dzielnika

3. podpierścień p-nia z”1” może nie mieć „1”

4. podpierścień p-nia P może mieć „1_Q” różną od „1_P”

Def.Podprzestrzeń J pierścienia P nazywamy „ideałem” jeśli

Motywacja: Niech
homomorfizm pierścienia P w pierścień P, mamy
Załóżmy, że a
WNIOSEK Ker

Przykład: Jeśli P - dowolny pierścień przemienny, a
to Ja={ab:b
} jest ideałem w P

Taki ideał nazywamy „głównym” w Z 2Z={2k:k

FAKT: J⊂P jest ideałem wtedy i tylko, gdy

Ideałami są {0} oraz cały pierścień P. Pozostałe ideały nazywamy „właściwymi”

Niech P-pierścień, Q⊂P - podp-ń przestrzeni P. Możemy wprowadzić relację równoważności

Twierdzenie: Następujące warunki są równoważne:

1. J jest ideałem

2. jeśli a≈b i c≈d to ac≈bd i ca≈db

Dowód: Jeśli a-b∈J to (a-b)c∈J Jeśli c-d∈J to b(c-d)∈J

(a-b)c+b(c-d)=ac-bc+bc-bd=ac-bd ∈J oraz Z(2) ac-0c=ac∈J

Twierdzenie: Niech P pierścień przemienny z „1” Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. P jest ciałem

2. P nie ma ideałów właściwych

Dowód: (1) => (2) Przypuśćmy, że J jest ideałem w P „niezerowych” Wówczas istnieje 0≠a∈J stąd aa^-1 =1∈J

Zatem dla każdego c∈P c=1c∈J czyli J=P

(2)=>(1) Niech a≠0 Weźmy pod uwagę ideał główny. Ponieważ Ja≠{0} więc Ja=P Zatem istnieje b∈P ab=1 stąd istnieje element odwrotny do a (b=a^-1)

Def. Ideał J⊂P nazywamy „pierwszym” jeśli

Przykład: 2Z jest 6Z nie jest ideałem pierwszym Z. Ogólnie ideał pZ jest pierwszy (w Z) wtw gdy p - liczba pierwsza

Def. Ideał właściwy J⊂P nazywamy maksymalnym jeśli dla każdego ideału J' takiego, że J⊂J'⊂P mamy J=J' lub J'=P

Przykłady: W Z ideał jest maxymalny wtw gdy jest pierwszy. Ogólnie w pierścieniu przemiennym z „1” każdy ideał maxymalny jest pierwszy (ale nie koniecznie na odwrót)

Pierścień ilorazowy:

Def. Niech P - pierścień, J - ideał. Weźmy pod uwagę relację a≈b jeśli a-b∈J i klasy abstrakcji [a] względem tej relacji definiujemy: [a]+[b]=[a+b], [a][b]=[ab] Mamy J=[0] -[a]=[a]

Zbiór wartw z tak zdefiniowane „+” i „•” nazywamy p-niem ilorazowym P/J

Przykład: Z/2Z m≈n m-n jest liczbą parzystą m i n są parzyste lub m i n są nieparzyste

[0]=2Z={…-4,-2,0,2,4,6…} [1]={..-3,-1,1,3,5,7,..}

ZWIĄZKI MIĘDZY WŁ IDEAŁU PIERŚCIENIA ILORAZOWEGO

Tw.1 P/J nie ma dzielników zera wtw, gdy J jest ideałem pierwszym

Tw.2 Niech P - pierścień przemienny z „1” P/J jest ciałem wtw gdy J jest ideałem maxymalnym

Tw. Na to, aby J⊂P był jądrem pewnego homomorfizmu pierścieni (ϕ:P->P') potrzeba i wystarcza by J był ideałem

Dowód: Jeśli J=Kerϕ to jest jądrem homomorfizmu grup addytywnych pierścieni PP'

Zatem J jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia P, czyli
Niech teraz a∈J=Kerϕ, b∈P

Mamy ϕ(a,b)=ϕ(a) ϕ(b)=0ϕ(b)=0 czyli ab=Kerϕ=J Niech P'=P/J z Def. ϕ:P->P' ϕ(a)=[a] ϕ jest szukanym homomorfizmem

Twierdzenie (o izomorfizmie i epimorfizmie)

Jeśli ϕ jest epimorfizmem pierścienia P na pierścień P' to pierścień ilorazowy P/Kerϕ jest izomorficzny z P' przy czym izomorfizm Ψ:P/Kerϕ może być dany wzorem Ψ([a])=ϕ(a)

Dowód: Prawdziwość tego tw. wynika z faktu, że ϕ(a)=ϕ(b) wtw gdy [a]=[b] czyli gdy a przystaje do b „modulo J”

Własność (aksjomat) Archimedesa:

---