ROZWIĄZANIA ANALIZA WAHAŃ W CZASIE

Zadanie 1 Produkcja papierosów (w mld szt.) w Polsce w kolejnych miesiącach 1995 roku kształtowała się następująco:

Miesiąc	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Produkcja	8,4	8,4	8,4	6,8	8,0	8,9	8,3	8,6	9,2	8,7	9,1	7,5

1. Wyznaczyć trend liniowy produkcji papierosów w Polsce w badanym okresie

2. Podać interpretacje wyznaczonych parametrów

3. Określić wielkość produkcji papierosów w lutym i kwietniu 1996 roku.

***

Musimy wyznaczyć liniową funkcję trendu wg wzoru:

Parametr a

Parametr b

Tworzymy tabelę pomocniczą i obliczamy t średnie:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
y	8,4	8,4	8,4	6,8	8,0	8,9	8,3	8,6	9,2	8,7	9,1	7,5
	-5,5	-4,5	-3,5	-2,5	-1,5	-0,5	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5
	30,25	20,25	12,25	6,25	2,25	0,25	0,25	2,25	6,25	12,25	20,25	30,25
	-46,2	-37,8	-29,4	-17	-12	-4,45	4,15	12,9	23	30,45	40,95	41,25

Zapis funkcji:

Interpretacja:

Parametr a - w roku 1995 produkcja papierosów w Polsce zwiększała się teoretycznie o 41 tysięcy z miesiąca na miesiąc.

Parametr b - teoretyczny poziom produkcji papierosów w 12 miesiącu 1994 roku wynosił 8,092 mln sztuk.

Prognozy dokonamy na podstawie oszacowanej funkcji trendu

Musimy określić okres t na który prognozujemy:

Rok	1995												1996
Mies	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	1	2	3	4	5	6	7
t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

• Luty 1996, okres t=14

• Kwiecień 1996, okres t=16

Odp. Zakładając, że trend produkcji papierosów w roku 1995 nie ulegnie zmianie - produkcja papierosów powinna w lutym 1996 roku wynieść teoretycznie 8,666 mln; a w kwietniu 1996 roku teoretycznie 8,748 mln.

Zadanie 2 Oszacować tendencję rozwojową spożycia kawy (w kg na osobę) w Polsce postaći: Y = 6,4 t + b na podstawie danych w tabeli (przyjąć założenie, że t=1,2… oraz t=0,1,2…):

Lata	1988	1989	1990	1991	1992	1993
Spożycie	10	15	25	45	40	36

1. Podać interpretacje parametrów funkcji trendu

2. Wyznaczyć prognozę spożycia kawy dla roku 1995, jeżeli odchylenie standardowe reszt wynosi 5 kg na osobę

3. Wiedząc, że wskaźniki sezonowości dla poszczególnych kwartałów wynoszą:

1 kwartał	2 kwartał	3 kwartał	4 kwartał
1,3	0,8	0,5	?

Wyznaczyć wielkość spożycia kawy w każdym z kwartałów 1995 roku.

***

Założenie, że t=1,2… oraz t=0,1,2… oznacza, iż musimy oszacować dwie funkcje trendu dla badanego zjawiska.

Znamy parametr a, który wynosi 6,4 - szukamy parametrów b:

• 
  

Lata

1988

1989

1990

1991

1992

1993

spożycie

10

15

25

45

40

36

okresy

1

2

3

4

5

6

t=1,2…













• 
  

Lata

1988

1989

1990

1991

1992

1993

spożycie

10

15

25

45

40

36

okresy

0

1

2

3

4

5

t=0,1,2…













Interpretacja:

Spożycie kawy w latach 1988-1993 wzrastało średnio z roku na rok o 6,4 kg/os. Teoretyczny poziom spożycia kawy w roku 1987 wynosił 6,1 kg/os.

Wyznaczamy prognozę na rok 1995

• 
  

Rok 1995 jest 8 okresem




Wyznaczamy średni błąd prognozy dla tego roku, S(zt)=5,





Tworzymy tabelę pomocniczą z obliczeniami

Lata	1988	1989	1990	1991	1992	1993
y	10	15	25	45	40	36
ti	1	2	3	4	5	6
	-2,5	-1,5	-0,5	0,5	1,5	2,5
	6,25	2,25	0,25	0,25	2,25	6,25	17,5

T = 8 (okres na który prognozujemy)




• 
  

Rok 1995 jest 7 okresem




Wyznaczamy średni błąd prognozy dla tego roku, S(zt)=5,





Tworzymy tabelę pomocniczą z obliczeniami

Lata	1988	1989	1990	1991	1992	1993
y	10	15	25	45	40	36
ti	0	1	2	3	4	5
	-2,5	-1,5	-0,5	0,5	1,5	2,5
	6,25	2,25	0,25	0,25	2,25	6,25	17,5

T = 7 (okres na który prognozujemy)




Odp. Teoretyczne spożycie kawy w roku 1995 powinno wynieść 57,3 kg na osobę. Średni błąd prognozy wynosi 7,62 kg/os.

Wskaźniki sezonowości wynoszą dla kwartałów wynoszą:

O1	O2	O3	O4
1,3	0,8	0,5	?

Przy 4 podokresach (kwartałach) występuje relacja:


Zatem O4 = 4 - 1,3 - 0,8 - 0,5 = 1,4

Aby wyznaczyć prognozę dla roku 1995 dla każdego kwartału musimy teoretyczną wartość spożycia w roku '95 podzielić przez liczbę podokresów (4), a następnie skorygować o wskaźniki sezonowości:




Odp.

Średnio w pierwszym kwartale 1995 roku - pod wpływem działania czynnika sezonowego - spożycie kawy było większe o 30% od poziomu wyznaczonego przez trend - spożycie w pierwszym kwartale 1995 roku teoretycznie wyniosłoby 18,655 kg/os.

Średnio w drugim kwartale 1995 roku - pod wpływem działania czynnika sezonowego - spożycie kawy było mniejsze o 20% od poziomu wyznaczonego przez trend - spożycie w drugim kwartale 1995 roku teoretycznie wyniosłoby 11,46 kg/os.

Średnio w trzecim kwartale 1995 roku - pod wpływem działania czynnika sezonowego - spożycie kawy było mniejsze o 50% od poziomu wyznaczonego przez trend - spożycie w trzecim kwartale 1995 roku teoretycznie wyniosłoby 7,163 kg/os.

Średnio w czwartym kwartale 1995 roku - pod wpływem działania czynnika sezonowego - spożycie kawy było większe o 40% od poziomu wyznaczonego przez trend - spożycie w czwartym kwartale 1995 roku teoretycznie wyniosłoby 20,055 kg/os.

Zadanie 3 W latach 1992-1999 wynagrodzenia w resorcie edukacji w Polsce przeciętnie zwiększały się o 9,85 zł z kwartału na kwartał, natomiast w IV kwartale 1991 roku wynagrodzenia te kształtowały się na poziomie 425,70 zł. Wyznaczyć liniową funkcję trendu wynagrodzeń w resorcie edukacji w Polsce w badanym okresie. Wiedząc ponadto, że wskaźniki sezonowości dla poszczególnych kwartałów wynosiły: dla pierwszego 114,4%; dla drugiego 93,9%; dla trzeciego 95,5% oraz, że odchylenie standardowe reszt wynosiło 93,84 zł - oszacować wielkość wynagrodzeń w resorcie edukacji w IV kwartale 2000 roku. Podać wartość średniego błędu prognozy. Wiemy, że


***

Dane:

Parametr a = 9,85

Parametr b = 425,70 (dla t=1,2,3….)

O1 = 114,4%

O2 = 93,9%

O3 = 95,5%

S(zt)=93,84




Musimy oszacować wielkość wynagrodzenia w IV kwartale 2000 roku - musimy najpierw wyznaczyć funkcję trendu, a następnie zgodnie z nią wyznaczyć prognozę na dany okres:




Pomocnicza tabela dla odczytania szukanego okresu:

1992				1993				1994				1995				1996
I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1997				1998				1999				2000
I	II	III	II	III	IV	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36




Prognozę musimy skorygować o wskaźnik sezonowości dla IV kwartału.

Wskaźniki sezonowości wynoszą dla kwartałów wynoszą:

O1	O2	O3	O4
114,4%	93,9%	95,5%	?

Przy 4 podokresach (kwartałach) występuje relacja:


Zatem O4 = 400 - 114,4 - 93,9 - 95,5 = 96,2%




Wyznaczamy średni błąd prognozy dla okresu T=36




Obliczenia pomocnicze wykonujemy w tabeli:













Odp. Prognozowana wysokość wynagrodzenia w resorcie edukacji w IV kwartale 2000 roku powinna wynieść teoretycznie 750,65 zł; średni bład tej prognozy wynosi 109,85 zł.

Zadanie 4 Na podstawie danych miesięcznych dotyczących liczby urodzeń na terenie województwa częstochowskiego w latach 1992 - 1994 oszacowano liniową funkcję trendu i otrzymano:




Zinterpretować parametry, wyznaczyć teoretyczny poziom liczy urodzeń w 11 miesiącu 1992 roku, wrześniu 1993 roku oraz w sierpniu roku 1994.

***

Interpretacja parametrów:

W latach 1992 - 1994 liczba urodzeń w województwie częstochowskim średnio z miesiąca na miesiąc malała o 2,3. Teoretyczna liczba urodzeń w grudniu roku 1991 roku wynosiła 762,3.

Aby wyznaczyć teoretyczny poziom zjawiska musimy mieć wyznaczoną funkcję trendu oraz okresy w których poziom chcemy wyznaczyć.

Szukamy okresów:

1992
sty	lut	mar	kwi	maj	cze	lip	sie	wrz	paź	lis	gru
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1993
sty	lut	mar	kwi	maj	cze	lip	sie	wrz	paź	lis	gru
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
1994
sty	lut	mar	kwi	maj	cze	lip	sie	wrz	paź	lis	gru
25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36













Odp. Teoretyczny poziom liczby urodzeń w województwie częstochowskim w listopadzie 1992 roku wynosił 737; we wrześniu 1993 roku 714; a w sierpniu roku kolejnego 688,7.

---