FILOZOFIA PRZYRODY

Prof. dr hab. Marian Grabowski

WYKŁAD XXVII

Idea liczb zespolonych

Ta idea pojawiła się podczas próby rozwiązywania równań z jedną niewiadomą i prostych z dwoma niewiadomymi, gdzie pojawiały się pierwiastki z liczb ujemnych, które w obrębie zbioru liczb rzeczywistych nie mają żadnego sensu, natomiast gdy matematycy się nimi posługiwali, to prowadziły do sensownych wyników.

Spójrzmy na taki prosty przykład:

Mamy taki układ równań, że:

x*y=40

x+y=10

Możemy próbować rozwiązać ten układ równań, i okazuje się wówczas, że pierwiastki tego równania mają taki nieprzyjemny wygląd kształt:

x=5+

y=5-

Można sprawdzić bezpośrednio rachunkiem, że jak te wielkości się wstawi do tych równań, to się wszystko zgadza. Bo ja dodamy x+y, to ten pierwiastek się upraszcza i zostaje 10, a jak pomnożymy x przez y, to widać wyraźnie, że to będzie różnica kwadratu tych dwóch liczb i znowu wyjdzie 40.

Wyszły takie liczby niewiadomo skąd wzięte z tym pierwiastkiem z liczby ujemnej, ale one faktycznie spełniają ten układ równań.

Natomiast w zbiorze liczb rzeczywistych nie jest to żadne rozwiązanie, bo te linie się wcale nie przecinają. Wyjdzie nam jedynie coś takiego:

Jest ciekawa historia, jak matematycy przygotowywali się na uznanie tego, że
to jest sensowna wielkość. Jest to taki fenomen psychologicznej natury, który ma taki charakter, ze człowiek zostaje wyuczony pewnego fragmentu rzeczywistości, tak jak tego zbioru liczb rzeczywistych, w taki sposób, że głęboko rozumie sensowność tej struktury, w tym sensie, że w obrębie tej struktury nie może się pojawić pierwiastek z ujemnej liczby, a z drugiej strony towarzyszy mu takie głębokie przeświadczenie, którego często sobie nie uświadamiamy, że to jest koniec, że to jest taki rodzaj pełnej wiedzy. I teraz jak dostajemy taką wrzutkę, która się nie zgadza z naszym przeświadczeniem, to coś nam się nie zgadza. Trudno jest się zgodzić na takie poszerzenie obszaru tego, co dotychczas jest wiadome. Istnieje również sekwencja przekonań światopoglądowych, które też mają taką naturę.

W jaki sposób te liczby zespolone zagościły w matematyce?

W dość elegancki sposób wprowadza się to pojęcie liczb zespolonych, że zaczyna się zamiast liczb rzeczywistych, rozważać pary takich liczb. To jest takie uogólnienie liczb rzeczywistych, że zamiast samej liczby rzeczywistej a rozważamy jakąś parę. Wyraźnie widać, że takie uogólnienie liczby rzeczywistej jest w pewnym sensie zasadne, bo te liczby rzeczywiste będą wtedy przedstawiać w ramach tego zbioru par, takie pary, gdzie na drugim miejscu stoi 0. Jak będziemy mieli takie pary, gdzie zawsze na 2 miejscu stoi 0, to będą tu występować wszystkie liczby rzeczywiste i nic nowego się nie dzieje. Oczywiście, jak w zbiorze tych par wprowadzimy działania analogiczne do działań dodawania, czy mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych, to rzeczywiście te pary, które mają właśnie taki kształt, to muszą mieć właśnie te działania, które my znamy. To zdefiniowane nowe dodawanie i nowe mnożenie dla tego zbioru par musi przejść to, czym jest mnożenie i dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

W tym sensie można tutaj pokazać, że jak wykonujemy taką operację jak poniżej, to definicja jej jest taka, że dodajemy po składowych:

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)

Odpowiednio mnożenie będzie ta wyglądało:

(a,b)*(x,y)=(ax-by,ay+bx)

Jeżeli weźmiemy teraz pary typu (a,0) i (x,0), to te pary liczba będą nam tworzyć takie działania:

(a,0)+(x,0)=(a+x,0)

(a,0)*(x,0)=(ax,0)

Jest to takie sprytne uogólnienie dodawania i mnożenia na parach liczb rzeczywistych, które sprowadza się do normalnego dodawania i normalnego mnożenia dla samych liczb rzeczywistych, które reprezentujemy tu jako takie pary, gdzie na drugim miejscu stoi 0.

Tutaj ładnie zostaje rozwiązana sprawa z
.

Weźmy sobie takie wyrażenie:

(0,1)*(0,1)=(-1,0)

To wyrażenie pomnożone przez siebie daje nam -1.

Jak mieliśmy na początku kłopoty z tym i=
, to tutaj mamy teraz całkiem sensownie określony element, który ma właśnie taką własność, że jak znowu pomnożymy go przez siebie, to:

i*i=-1

Tego rodzaju konstrukcja, że bierzemy pary liczb rzeczywistych, w których tak określamy dodawanie i mnożenie, zawiera w sobie taki obiekt, jak ten -1, który bierze się ze złożenia tej pary (0,1) z samym sobą.

Aby rachunki na liczbach zespolonych szły sprawnie, to zwykle nie pisze się tego w postaci takich par, tylko taka parę zapisujemy tak, że piszemy, że jest to:

a+ib

i=

wszystkie operacje algebraiczne wykonujemy tak, że tam, gdzie te i będzie się mnożyło przez siebie, to będziemy stawiać -1, a resztę operacji z tymi liczbami prowadzimy tak, jakby to były zwykłe liczby rzeczywiste.

Tego rodzaju uogólnienie liczb rzeczywistych na to, co się nazywa liczbami zespolonymi, jest rzeczywiście czymś niezwykle istotnym w matematyce. Po pierwsze, to ten zbiór tych par tak określonych, zbiór liczb zespolonych, ma taką sympatyczną właściwość, że już nie trzeba tego komplikować dodatkowo. Może się budzić niepokój, że jak uogólniłem liczby rzeczywiste na zespolone, to być może te zespolone będzie trzeba uogólniać na hiperzespolone i ta zabawa generalnie nie ma końca. Okazuje się, że różne sztuczki i uogólnienia robić można, ale w ramach tych algebraicznych wymogów, które chcemy, aby te liczby spełniały, czyli aby te działania algebraiczne nie wyprowadzały tych elementów poza ten zbiór, to tu właśnie te liczby zespolone są takim algebraicznie domkniętym ciałem. Jest tu coś takiego, co odróżnia te liczby zespolone od liczb rzeczywistych.

Wprowadzenie tego zbioru liczb zespolonych okazuje się niezwykle owocne, że to otwiera całkiem nowe działy matematyki, pozwoliło wiele spraw zrozumieć, jak chociażby to, że jak mamy do czynienia z równaniem n-tego stopnia, to można pokazać, że każde takie równanie ma n pierwiastków. W ciele liczb zespolonych mamy tego rodzaju rezultat.

Przestrzeń liniowa to był zbiór wektorów, które można było mnożyć przez liczby rzeczywiste. Jak mamy teraz bogatszy zbiór niż zbiór liczb rzeczywistych, to możemy próbować też określać przestrzenie liniowe w sensie takich abstrakcyjnych tworów, w których te wektory się mnoży przez liczby zespolone. Nie tylko przez liczby rzeczywiste, ale także przez zespolone. Można konstruować takie przestrzenie wektorowe, ciało liczb zespolonych. Jest to twór, który jest w niezwykle fundamentalny sposób związany właśnie takimi podstawowymi właściwościami tego świata fizykalnego na poziomie mikroskopowym, kwantowym. Wiemy, że te teorie, które tego dotyczą nie są kompletne, ale ten fakt, że liczby zespolone w taki zupełnie podstawowy sposób są w języku matematycznym, którego używamy aby te własności opisywać.

Jest tu jeszcze jedna operacja w obrębie liczb zespolonych. Operacja sprzężenia zespolonego. Jest to taka operacja, która tego rodzaju liczbie przyporządkowuje liczbę, gdzie ten
zmienia znak. Znaczy się to zwykle kreską nad tą liczbą zespoloną i ta kreska oznacza, że zmieniamy znak tego i.

a+ib=a-ib

Wówczas jeśli mamy do czynienia z liczbą zespoloną mnożoną przez swoje sprzężenie zespolone

(a+ib)(a+ib)=(a+ib)(a-ib)=a²+b²

Modułem tej liczby zespolonej będziemy nazywać pierwiastek z tej sumy kwadratów:

|a+bi|=

1

10

10

x*y=40

x+y=10

---