Spostrzeżenia pośredniczące. Równania poprawek i równania normalne

Jeżeli do wyznaczenia pewnych niewiadomych wielkości x, y, z,..., t, które nie mogą być wyznaczone bezpośrednio, obserwujemy szereg wielkości dostępnych
, aby za ich pośrednictwem, przez odpowiednie związki matema­tyczne, obliczyć poszukiwane niewiadome x, y, z,..., t, to mówimy wówczas, że spostrzeżenia
są spostrzeżeniami pośredniczą­cymi.

Wyznaczenie niewiadomych x, y, z,..., t jest tylko wtedy możliwe, jeżeli n = u, gdzie u to liczba spostrzeżeń niezbędnych do określenia wielkości wyznaczanych, czyli liczba niewiadomych, a n to liczba spostrzeżeń dokonanych. Możliwość wy­równania jest uwarunkowana istnieniem spostrzeżeń nadliczbowych, tj. przypad­kiem, gdy u<n. Metoda wyrównania spostrzeżeń pośredniczących powinna jedno­cześnie spełniać warunek wyrażony wzorem

[vv] = minimum lub [pvv] = minimum.

Spostrzeżenia wyrównane tą metodą określamy za pośrednictwem niewiado­mych wzorem

(1)

gdzie i - kolejne spostrzeżenie w wyrównywanym układzie, zaś v_i - poprawka jaką należy dodać do spostrzeżenia, czyli do wielkości pomierzonej L_i.

Przed wyrównaniem znamy tylko przybliżone wartości niewiadomych
różniące się od niewiadomych o niewielkie poprawki
. Wobec tego równanie (1) przyjmie postać

lub

Równanie typu (2) nazywamy równaniem poprawek w postaci ogólnej lub pierwotnej. Jeżeli funkcja F nie jest funkcją liniową, należy ją rozwinąć na szereg Taylora w otoczeniu wartości
. A zatem

(2)

Przez R_i oznaczono dalsze wyrazy szeregu Taylora, które można odrzucić, jeżeli przybliżenia wielkości niewiadomych
są wystarczająco bliskie wartościom najprawdopodobniejszym.

Równania poprawek przyjmują zatem postać liniową

Równanie to przedstawiamy w postaci

gdzie
- współczynniki równania poprawek równe pochodnym cząstkowym funkcji F względem poszczególnych niewiadomych po podstawieniu do nich wartości przybliżonych
;
- różnice między wartościami wyrównanymi niewiadomych a ich wartościami przybliżonymi;
- poprawki wyrównawcze poszczególnych spostrzeżeń;
wyrazy wolne.

Wyraz wolny równań poprawek jest to różnica między przybliżoną a pomie­rzoną wartością spostrzeżenia:

Równań poprawek będzie zawsze tyle, ile wykonaliśmy spostrzeżeń, poprawki bowiem
są błędami pozornymi dla n doko­nanych spostrzeżeń pośredniczących.

Przybliżone wartości niewiadomych
obliczamy przed przystą­pieniem do wyrównania na podstawie dokonanych spostrzeżeń pośredniczących.

Bardzo często równania poprawek mają od razu postać liniową i wówczas nie trzeba dokonywać żadnych dodatkowych działań matematycznych, lecz dla unik­nięcia działań na dużych liczbach podstawiamy jak poprzednio


…Jako nowe niewiadome wystąpią wówczas w równaniach poprawek zawsze niewielkie wartości
; Równania poprawek w liczbie n o postaci

nie dają możliwości obliczenia różnic
, ponieważ mamy tu n po­prawek v i u niewiadomych różnic
zatem w sumie n + u niewiado­mych, a tylko n równań. Problem ten rozwiązujemy w następujący sposób. Pod­stawowe wymaganie metody najmniejszych kwadratów [vv] = minimum będzie spełnione, jeżeli pierwsze pochodne funkcji
w stosunku do kolejnych zmiennych niezależnych będą równe zeru, czyli

Jeżeli każde równanie poprawek podniesiemy do kwadratu i zsumujemy, to rozpatrując dla przykładu układ 3 równań (n = 3), otrzymamy jedno równanie kształtu:

Kolejne pochodne cząstkowe tego równania w stosunku do trzech zmiennych są następujące

z czego po podzieleniu przez 2 otrzymujemy 3 tzw. równania normalne o 3 niewiadomych:

,

Rozwiązanie tych równań da nam jednoznaczne wartości niewiadomych
, wobec czego wartości najprawdopodobniejsze szukanych elementów znajdziemy za pomocą równań

Równań normalnych jest oczywiście zawsze tyle, ile niewiadomych. Jeżeli obserwacje
, są niejednakowo dokładne, to każdemu z równań poprawek należy przypisać odpowiednią wagę

z wagą

a równania normalne przyjmą wówczas postać

Uwaga: Często dla prostoty zapisu zastępujemy wyrażenia
. przez x, y, z, ...

Rozpatrzmy sposób układania równań normalnych na przykładzie. Dla uprosz­czenia przyjmujemy trzy niewiadome x, y, z oraz 6 obserwacji niejednakowo do­kładnych. Przy obserwacjach jednakowo dokładnych mielibyśmy p = 1. Przybliżone wartości niewiadomych
oblicza się najprostszą drogą przed przystąpieniem do wyrównania. Jeżeli funkcję rozwijamy na szereg Taylora, to przybliżone wartości niewiadomych należy liczyć z takich zależności, aby wartości różnic
były możliwie małe.

---