Wzory 4

WZORY 4: podstawowe rozkłady zmiennej losowej X typu skokowego

Rozkład zero-jedynkowy zmiennej losowej Xi i = 1,..., n, x = 0,1	Rozkład dwumianowy liczby X sukcesów w n doświadczeniach X = 3 Xi, k = 0,1,..., n
(1)	(2)
Funkcje prawdopodobieństwa: wzory (4.1)
p = P(Xi = 1), 1 - p = P(Xi = 0) lub P(Xi = x) = p^x(1 - p)^1-^x dla x = 0,1
gdzie	gdzie
p + (1 - p) = 1	P(X = k) = 1
Dystrybuanty: wzory (4.2)
F(x) = P(X ≤ x)	F(x) = P(X ≤ x)
Wartości oczekiwane: wzory (4.3)
E(Xi) = xp^x (1 - p)^1-^x	E(X) =  kP(X = k) = np, lub:
E(Xi) = 0(1 - p) + 1p = p	E(X) = E( Xi)=  E(Xi) =  p = np
Wariancje: wzory (4.4)
D^2(Xi) = (x - p)^2 p^x (1 - p)^1-^x	D^2(X) =  (k-np)^2 P(X = k) = np (1-p)
D^2(Xi) = (0 - p)^2 (1 - p) + (1 - p)^2p = = p^2(1 - p) + p(1 - p)^2 = = p(1 - p)(p + 1 - p) = p(1 - p)	D^2(X) = D^2( Xi) = D^2(Xi) = =  p(1 - p) = np (1 - p)
D^2(Xi) = p(1 - p)	D^2(X) = np(1 - p)
Odchylenia standardowe: wzory (4.5)
Współczynniki zmienności: wzory (4.6)
V = 1 - p	V = 1 - p
Współczynniki asymetrii: wzory (4.7)
gdzie
= (1 - p)^3 p + (0 - p)^3 (1 - p) = = p(1 - p)(1 - 2p)	= np(1 - p)(1 - 2p)
	Mediana Me: wzory (4.8)
	F(Me) ≥ 0,5
	Kwantyl Kp rzędu p: wzory (4.9)
	F(Kp) ≥ p gdzie 0 < p < 1
	Dominanta Do: wzory (4.10)
	Do = kd, gdy P(X = kd) =  {P(X = k)}
Funkcje prawdopodobieństwa: wzory (4.11)
p = P(Xi = 1), 1 - p = P(Xi = 0) lub	W = X/n = ( Xi)/n
P(Xi = x) = p^x(1 - p)^1-^x dla x = 0,1
gdzie	gdzie
p + (1 - p) = 1
Dystrybuanty: wzory (4.12)
F(x) = P(X ≤ x)	F(x) = P(W ≤ x)
Wartości oczekiwane: wzory (4.13)
E(Xi) = xp^x (1 - p)^1-^x	E(W) =  P(X = k) = p, lub:
E(Xi) = 0(1 - p) + 1p = p
Wariancje: wzory (4.14)
D^2(Xi) = (x - p)^2 p^x (1 - p)^1-^x
D^2(Xi) = (0 - p)^2 (1 - p) + (1 - p)^2p = = p^2(1 - p) + p(1 - p)^2 = = p(1 - p)(p + 1 - p) = p(1 - p)
Odchylenia standardowe: wzory (4.15)
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---