Dziś wykonamy zadania z zasady indukcji matematycznej i rekurencji. Na sam początek taka zasada. Mamy dane jakieś twierdzenie T(n) dla liczby naturalnej n. Aby zbadać indukcyjnośc tego twierdzenia należy kolejno:
Sprawdzić prawdziwość T(1), ewentualnie T(2)
Skorzystać z założenia indukcyjnego, czyli założyć, że T(n) jest prawdziwe dla wybranej liczby naturalnej n.
Udowodnić prawdziwość T(n+1) - jest to takzwany krok indukcyjny
Wywnioskować, że
jest prawdziwe.
I teraz na podstawie tego wykonajmy takie zadanie według powyższych czterech kroków. Należy udowodnić, że:
.
I tak:
1. Sprawdzamy dla n = 1:
L =
P =
Sprawdzamy dla n = 2:
L = 8
P =
2. Zakładamy, ze dla pewnego n naturalnego:
3. Udowodnijmy, że:
4.Dla każdego
:
Teraz praca domowa. Należy podobnie, jak powyżej udowodnić następujące twierdzenia:
A my wykonajmy kolejne zadanie. Należy udowodnić, że T(n):
.
1. Sprawdzamy dla n = 1. Wówczas:
Sprawdzamy dla n = 2. Wówczas:
2. Zakładamy, że dla pewnego n naturalnego:
3. Udowodnimy, że
. Najpierw jednak, aby obliczyć (n + 1) do 7 potęgi,
należy skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona:
. Mamy więc za zadanie obliczyć:
. Najpierw rozpisujemy na czynniki:
I teraz możemy dalej liczyć:
I tak:
Z założenia
dzieli się przez 7 i drugi składnik też, więc całe wyrażenie dzieli się przez 7, co należało dowieść.
Na koniec takie cztery przykłady do domu z zasady indukcji matematycznej:
A teraz przejdziemy do rekurencji. I mamy takie zadanie. Przyjmijmy, że
. Oto, jak się bada rekurencję. Najpierw badamy trzy kolejne wyrazy:
I tak dalej kolejne wyrazy. Przyjmijmy, że
. Wówczas:
. Stąd równanie charakterystyczne
.
Liczymy więc pierwiastki i deltę:
.
Wówczas:
, czyli:
, gdzie
wyznaczamy z warunku początkowego:
Stąd:
. Ostatecznie:
. I na koniec wykonajmy sprawdzenie:
I kilka przykładów do domu o tej samej tematyce:
I na koniec zajęć zajmiemy się ciągiem Fibbonacciego. Przyjmijmy, że Fib(0) = Fib(1) = 1, oraz
Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2). Przyjmujemy, że
. Wówczas:
. Stąd przyrównując to do 0 mamy równanie charakterystyczne, z którego wyliczamy pierwiastki, deltę:
.
. Stąd:
. Uwzględniając warunki początkowe mamy układ równań, który rozwiążemy metodą wyznacznikową:
Wyznacznik W =
. Ponadto:
Stąd:
I ostatecznie:
Nasze założenie