Z Ćwiczenia 06.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Matematyka dyskretna i logika


Dziś wykonamy zadania z zasady indukcji matematycznej i rekurencji. Na sam początek taka zasada. Mamy dane jakieś twierdzenie T(n) dla liczby naturalnej n. Aby zbadać indukcyjnośc tego twierdzenia należy kolejno:

  1. Sprawdzić prawdziwość T(1), ewentualnie T(2)

  2. Skorzystać z założenia indukcyjnego, czyli założyć, że T(n) jest prawdziwe dla wybranej liczby naturalnej n.

  3. Udowodnić prawdziwość T(n+1) - jest to takzwany krok indukcyjny

  4. Wywnioskować, że 0x01 graphic
    jest prawdziwe.

I teraz na podstawie tego wykonajmy takie zadanie według powyższych czterech kroków. Należy udowodnić, że:

0x01 graphic
.

I tak:

1. Sprawdzamy dla n = 1:

L = 0x01 graphic

P = 0x01 graphic

Sprawdzamy dla n = 2:

L = 8

P = 0x01 graphic

2. Zakładamy, ze dla pewnego n naturalnego:

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic

3. Udowodnijmy, że:

0x01 graphic

4.Dla każdego 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Teraz praca domowa. Należy podobnie, jak powyżej udowodnić następujące twierdzenia:

0x01 graphic

A my wykonajmy kolejne zadanie. Należy udowodnić, że T(n):0x01 graphic
.

1. Sprawdzamy dla n = 1. Wówczas: 0x01 graphic

Sprawdzamy dla n = 2. Wówczas: 0x01 graphic

2. Zakładamy, że dla pewnego n naturalnego: 0x01 graphic

3. Udowodnimy, że 0x01 graphic
. Najpierw jednak, aby obliczyć (n + 1) do 7 potęgi,

należy skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona: 0x01 graphic
. Mamy więc za zadanie obliczyć: 0x01 graphic
. Najpierw rozpisujemy na czynniki:

0x01 graphic

I teraz możemy dalej liczyć:

0x01 graphic

I tak:

0x01 graphic

Z założenia 0x01 graphic
dzieli się przez 7 i drugi składnik też, więc całe wyrażenie dzieli się przez 7, co należało dowieść.

Na koniec takie cztery przykłady do domu z zasady indukcji matematycznej:

0x01 graphic

A teraz przejdziemy do rekurencji. I mamy takie zadanie. Przyjmijmy, że 0x01 graphic
. Oto, jak się bada rekurencję. Najpierw badamy trzy kolejne wyrazy:

0x01 graphic

I tak dalej kolejne wyrazy. Przyjmijmy, że 0x01 graphic
. Wówczas: 0x01 graphic
. Stąd równanie charakterystyczne 0x01 graphic
.

Liczymy więc pierwiastki i deltę: 0x01 graphic
.

Wówczas: 0x01 graphic
, czyli: 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
wyznaczamy z warunku początkowego:

0x01 graphic

Stąd: 0x01 graphic
. Ostatecznie: 0x01 graphic
. I na koniec wykonajmy sprawdzenie:

0x01 graphic

I kilka przykładów do domu o tej samej tematyce:

0x01 graphic

I na koniec zajęć zajmiemy się ciągiem Fibbonacciego. Przyjmijmy, że Fib(0) = Fib(1) = 1, oraz 0x01 graphic
Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2). Przyjmujemy, że 0x01 graphic
. Wówczas:

0x01 graphic
. Stąd przyrównując to do 0 mamy równanie charakterystyczne, z którego wyliczamy pierwiastki, deltę: 0x01 graphic
.

0x01 graphic
. Stąd: 0x01 graphic
. Uwzględniając warunki początkowe mamy układ równań, który rozwiążemy metodą wyznacznikową:

0x01 graphic

Wyznacznik W = 0x01 graphic
. Ponadto:

0x01 graphic

Stąd: 0x01 graphic

I ostatecznie: 0x01 graphic

Nasze założenie



Wyszukiwarka