P4-Skrzypulec H, Zarządzanie i inżynieria produkcji, Semestr 5, Badania operacyjne


Hubert Skrzypulec 21.11.2008r.

ZiIP 3.2 Zabrze

0x08 graphic

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH

WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA

Katedra Informatyki i Ekonometrii

BADANIA OPERACYJNE

Projekt nr 4

Metody programowania dynamicznego

Treść zadania

Przedsiębiorstwo branży spożywczej „Frost” jest producentem głęboko mrożonych zestawów obiadowych. Chce opracować program produkcji na najbliższe 3 miesiące (od stycznia do marca). Wiadomo, że popyt na produkty tego przedsiębiorstwa jest stały i wynosi 1200 szt. zestawów obiadowych. Moce wytwórcze pozwalają na skierowanie do sprzedaży 2000 sztuk miesięcznie. Koszt produkcji zależnie od ilości wyprodukowanych zestawów przedstawia tabela 1.

Tabela 1

Ilość wyprodukowanych zestawów

0

400

800

1200

1600

2000

Koszt (zł)

0

2500

2900

3300

3700

4100

Koszt przechowywania produktów w chłodni wynosi miesięcznie 150zł od 400 sztuk. Chłodnia jest w stanie pomieścić maksymalnie 1600 zestawów obiadowych. Obecnie w magazynie znajduje się 800 sztuk. Na zakończenie planowanego okresu magazyn ma zostać pusty. Należy zminimalizować koszty.

W trakcie rozwiązywania posługuję się ciągiem równań funkcyjnych Bellmana.

Oznaczenia

Dla uporządkowania procesu rozwiązania zagadnienia dynamicznego wprowadzam oznaczenia:

x1 - ilość wyprodukowanych zestawów obiadowych w styczniu

x2 - ilość wyprodukowanych zestawów obiadowych w lutym

x2 - ilość wyprodukowanych zestawów obiadowych w marcu

si - poziom zapasów na początku i-tego miesiąca

p - popyt

ki(j) - koszty magazynowania j elementów (0 ≤ j ≤ 1600) w i-tym miesiącu

fi(xi,si) - koszty produkcji i magazynowania w i-tym miesiącu

fi(xi,si) = ki(xi) + ki(si+1)

łączne koszty produkcji i magazynowania z każdego miesiąca wynoszą:

f1(x1,s1) + f2(x2,s2) + f3(x3,s3)

W tym miejscu warto zauważyć pewną zależność pomiędzy produkcją, stanem magazynowym i popytem, z której będę korzystał na dalszych etapach rozwiązania:

0 ≤ si + xi - p ≤ 1600

Wiemy, że na początku roku, gdy rozpoczynamy planowanie znany jest stan magazynowy, oraz założenie mówiące o pustym magazynie na koniec okresu planowania.

Stąd:

s1 = 800

s4 = 0

Rozwiązanie

Sztucznie dzielę proces produkcji na 3 etapy:

Etap 1 - wyprodukowanie x1 zestawów w styczniu.

Etap 2 - wyprodukowanie x2 zestawów w lutym.

Etap 3 - wyprodukowanie x3 zestawów w marcu.

Krok 1 Etap 3 (Marzec)

g3(s3) = min(f3(x3,s3))

funkcja g3(s3) mówi nam o kosztach ponoszonych na produkcje i magazynowanie. Założeniem zadania jest minimalizacja kosztów, stąd szukamy minimalnej wartości funkcji f3. Założenie to jest obowiązujące na wszystkich etapach rozwiązywania rozpatrywanego problemu dynamicznego.

Wykorzystując zależność produkcji, stanów magazynowych i popytu otrzymuję:

0x08 graphic
s4 = s3 + x3 - p

s4= 0

s3 + x3 - p = 0

0 ≤ x3 = p - s3

­­­­­­­­­­0 ≤ s3 ≤ 1600

0 ≤ s3 + x3 - p ≤ 1600

0 ≤ s3 + x3 - 1200 ≤ 1600

x3 ≤ 2800 - s3

0 ≤ s3 ≤ 1600

Wyznaczam minimalny koszt produkcji i utrzymania zapasów w marcu.

Tabela 2

s3

x3

s4

f3(x3,s3)

g3(s3)

0

1200

0

3300+0

3300

400

800

0

2900+0

2900

800

400

0

2500+0

2500

1200

0

0

0

0

Krok 2 Etap 2 (Luty)

g2(s2) = min(f2(x2,s2)+ g3(s3))

Wykorzystując zależność produkcji, stanów magazynowych i popytu otrzymuję:

1200 - s2 ≤ x2 ≤ 2800 - s2

0 ≤ s2 ≤ 1600

0 ≤ s2 + x2 - p ≤ 1600

0 ≤ s2 + x2 - 1200 ≤ 1600

1200 - s2 ≤ x2 ≤ 2800 - s2

Tabela 3

s2

x2

s3

f2(x2,s2)

g3(s3)

f2(x2,s2)+ g3(s3)

g2(s2)

0

1200

0

3300 + 0

3300

6600

6600

0

1600

400

3700 + 150

2900

6750

0

2000

800

4100 + 300

2500

6900

400

800

0

2900 + 0

3300

6200

400

1200

400

3300 + 150

2900

6350

400

1600

800

3700 + 300

2500

6500

400

2000

1200

4100 + 450

0

4450

4450

800

400

0

2500 + 0

3300

5800

800

800

400

2900 + 150

2900

5950

800

1200

800

3300 + 300

2500

6100

800

1600

1200

3700 + 450

0

4150

4150

1200

0

0

0 + 0

3300

3300

3300

1200

400

400

2500 + 150

2900

5500

1200

800

800

2900 + 300

2500

5700

1200

1200

1200

3300 + 450

0

3750

1600

0

400

0 + 150

2900

3050

3050

1600

400

800

2500 + 300

2500

5300

1600

800

1200

2900 + 450

0

3350

Krok 3 Etap 1 (styczeń)

g1(s1) = min(f1(x1,s1)+ g2(s2))

400 ≤ x1 ≤ 2000

s1 = 2

0 ≤ s1 + x1 - p ≤ 1600

0 ≤ s1 + x1 - 1200 ≤ 1600

0 ≤ 2 + x1 - 1200 ≤ 1600

Tabela 4

s1

x1

s2

f1(x1,s1)

g2(s2)

f1(x1,s1) + g2(s2)

g1(s1)

2

400

0

2500 + 0

6600

9100

2

800

400

2900 + 150

4450

7500

2

1200

800

3300 + 300

4150

7750

2

1600

1200

3700 + 450

3300

7450

7450

2

2000

1600

4100 + 600

3050

7750

Odpowiedź i interpretacja wyników.

x1 = 1600

x2 = 0

x3 = 1200

s2 = 1200

s3 = 0

Najniższy koszt wytwarzania uzyskamy produkując w styczniu 1600 sztuk zestawów obiadowych. W tej sytuacji stan magazynowy na początku lutego wyniesie 1200 sztuk. W lutym najlepszym rozwiązaniem jest wstrzymanie produkcji na miesiąc. Dzięki temu magazyn na początku marca będzie pusty. W marcu, jako że mamy pusty magazyn, a popyt jest stały produkujemy właśnie tyle ile wynosi wartość popytu, czyli 1200 sztuk. Dzięki temu osiągniemy najniższy z możliwych kosztów zorganizowania produkcji wynoszący 7450 zł

Strona 4 z 6



Wyszukiwarka