Zadanie:

Zbudować i zweryfikować jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny opisujący zależność między ilością pokoi (zmienna Y ), ceną (zmienna X₁ wyrażona w tys.zł) i wielkością (zmienna X₂ wyrażona w metrach kwadratowych) , gdzie dane statystyczne zebrano w poniższej tabeli:

Y	1	1	2	2	3	4	4	5	5
Xi1	50	50	55	55	65	70	75	80	80
Xi2	30	30	40	40	50	60	60	80	80

Źródło:dane umowne

Zmienna objaśniana: Y - ilość pokoi

Zmienne objaśniające: X₁ - cena mieszkania X₂ - wielkość mieszkania

Ogólna postać powiązań między analizowanymi zmiennymi:

y_i=α₀+ α₁x_i1+ α₂x_i2+ε_i , i=1, 2,...,9

Estymacja parametrów strukturalnych modelu:

Do estymacji parametrów strukturalnych modelu wykorzystujemy wzór:

a=(X^TX)^-1X^Ty

gdzie macierze y i X mają postać:

	1	50	30		1
	1	50	30		1
	1	55	40		2
X=	1	55	40		2
	1	65	50	Y=	3
	1	70	60		4
	1	75	60		4
	1	80	80		5
	1	80	80		5

Wykonując obliczenia otrzymujemy:

	9	580	470
X^TX=	580	38600	32150
	470	32150	27500

		20,84299		-0,62766		0,37757
(X^TX)^-1=		-0,62766		0,01989		-0,01252
		0,37757		-0,01252		0,00822
det (X^TX)=		1337500

	27
X^Ty=	1895
	1650

	-3,67103
a=(X^TX)^-1X^Ty=	0,07701
	0,03271

Model po oszacowaniu parametrów strukturalnych ma postać:

ŷ_i=-3,67103+0,07701x_i1+0,03271x_i2, i=1, 2,...,9

Wyznaczanie reszt modelu:

1	1,160748	-0,16075
1	1,160748	-0,16075
2	1,872897	0,127103
2	1,872897	0,127103
3	2,970093	0,029907
4	3,682243	0,317757
4	4,06729	-0,06729
5	5,106542	-0,10654
5	5,106542	-0,10654
suma	x	0,0

Oszacowanie wariancji składnika losowego:

S_e²=

y^Ty=101

a^T=-3,67103 0,07700 0,03271

a^TX^Ty=100,78692

Oszacowanie odchylenia standardowego składnika losowego:

S
=
=0,04=0,2

Interpretacja: wartości teoretyczne odchylają się od wartości empirycznych przeciętnie o

0,2 szt.

Oszacowanie macierzy wariancji i kowariancji estymatorów parametrów strukturalnych:

	20,84299	-0,62766	0,37757
D^2(a)=Se^2=(X^TX)^-1=0,04	-0,62766	0,01989	-0,01252
	0,37757	-0,01252	0,00822

S(a₀)= 0,04⋅20,84299= 0,91

S(a₁)= 0,04⋅0,01989= 0,03

S(a₂)= 0,04⋅0,00822= 0,02

Postać modelu po oszacowaniu parametrów strukturalnych i ich średnich błędów szacunku:

ŷ_i=-3,67103+0,07701x_i1+0,03271x_i2, i=1, 2,...,9

(0,91) (0,03) (0,02)

Wyznaczenie współczynnika determinacji i zbieżności modelu:

R² = 1-

Współczynnik zbieżności ϕ²=1-0,01=0,99 , co oznacza, że 1% zmienności ilości pokoi nie jest wyjaśnione przez przyjęty model.

Weryfikacja merytoryczna modelu:

Znaki parametrów stojących przy zmiennych objaśnianych nie przeczą teorii ekonomii:

1. znak parametru przy zmiennej „ cena mieszkania” jest dodatni, co oznacza, ze wzrost ceny mieszkań spowoduje wzrost ilości pokoi.

2. znak parametru przy zmiennej „wielkość mieszkania” jest dodatni, co oznacza, ze wzrost wielkości spowoduje wzrost ilości pokoi.

Interpretacja parametrów modelu:

1. interpretacja parametru a₁=0,07701: Wzrost ceny mieszkania o 1 tys.zł, przy założeniu, że wielkość mieszkania pozostanie na niezmienionym poziomie, wywoła wzrost ilości pokoi o ok.0,08 sztuk.

2. interpretacja parametru a₂=0,03271: Wzrost wielkości mieszkania o 1 m², przy założeniu, że cena pozostanie bez zmian, spowoduje wzrost ilości pokoi o ok. 0,03 sztuk.

Weryfikacja statystyczna modelu:

Testowanie statystycznej istotności parametrów strukturalnych modelu na poziomie istotności α=0,05

A. testowanie statystycznej istotności parametru α₀

a) formułujemy hipotezę zerową i alternatywną: H₀: α₀=0 ; H₁: α₀≠0

b) przyjmujemy poziom istotności α=0,05

c) obliczamy wartość statystyki testowej:

­

t =
= =-4,03

Powyższa statystyka, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, ma rozkład t-Studenta z (n-k-1)=9-2-1=6 stopniami swobody.

d) Odczytujemy wartość krytyczną testu dla poziomu istotności α oraz 6 stopni swobody:

t_kryt=2,447

obszar krytyczny: (-∞;-2,447)U(2,447;+∞)

t=-4,03 -2,447 2,447

e) ponieważ -4,03∈ (-∞;-2,447)U(2,447;+∞), to odrzucamy H₀ i przyjmujemy H₁, co interpretujemy w ten sposób, że parametr α₁ jest statystycznie istotny (zmienna x₁-cena mieszkania wpływa w statystycznie istotny sposób na kształtowanie się zmiennej Y- ilość pokoi).

B. testowanie statystycznej istotności parametru α₁

a) formułujemy hipotezę zerową i alternatywną: H₀: α₁=0 ; H₁: α₁≠0

b) przyjmujemy poziom istotności α=0,05

c) obliczamy wartość statystyki testowej:

­

t = =2,57

Powyższa statystyka, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, ma rozkład t-Studenta z (n-k-1)=9-2-1=6 stopniami swobody.

d) obszar krytyczny: (-∞;-2,447)U(2,447;+∞)

e) ponieważ 2,57∈ (-∞;-2,447)U(2,447;+∞) to odrzucamy H₀ i przyjmujemy H₁, co interpretujemy w ten sposób, że parametr α₁ jest statystycznie istotny (zmienna x₁-cena mieszkania wpływa w statystycznie istotny sposób na kształtowanie się zmiennej Y- ilość pokoi).

C. testowanie statystycznej istotności parametru α₂

a) formułujemy hipotezę zerową i alternatywną: H₀: α₂=0 ; H₁: α₂≠0

b) przyjmujemy poziom istotności α=0,05

c) obliczamy wartość statystyki testowej:

­

t = =1,64

Powyższa statystyka, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, ma rozkład t-Studenta z (n-k-1)=9-2-1=6 stopniami swobody.

d) obszar krytyczny: (-∞;-2,447)U(2,447;+∞)

e) ponieważ 1,64∉(-∞;-2,447)U(2,447;+∞)to stwierdzamy że, na poziomie istotności α=0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co interpretujemy w ten sposób, że parametr α₂ jest statystycznie nieistotny (zmienna x₂-wielkość mieszkania nie wpływa w statystycznie istotny sposób na kształtowanie się zmiennej Y- ilość pokoi).

Wniosek odnośnie statystycznej istotności zmiennych objaśniających:

Na poziomie istotności 0,05 zmienna objaśniająca x₁ jest statystycznie istotna, natomiast zmienna objaśniająca x₂ jest statystycznie nieistotna.

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R		0,994659
R kwadrat		0,989346
Dopasowany R kwadrat		0,985794
Błąd standardowy		0,188452
Obserwacje		9
ANALIZA WARIANCJI
	df			SS					MS			F		Istotność F
Regresja	2			19,78692					9,893458			278,5789		1,21E-06
Resztkowy	6			0,213084					0,035514
Razem	8			20
		Współczynniki					Błąd standardowy				t Stat		Wartość-p		Dolne 95%		Górne 95%		Górne 95,0%
Przecięcie		-3,67103					0,860359				-4,26685		0,005281		-5,77625		-1,5658		-1,5658
Cena mieszkania		0,077009					0,026576				2,897675		0,027418		0,01198		0,142039		0,142039
Wielkość mieszkania		0,03271					0,01709				1,913969		0,104133		-0,00911		0,074529		0,074529
SKŁADNIKI RESZTOWE - WYJŚCIE
Obserwacja	Przewidywane Y				Składniki resztowe
1	1,160748				-0,16075
2	1,160748				-0,16075
3	1,872897				0,127103
4	1,872897				0,127103
5	2,970093				0,029907
6	3,682243				0,317757
7	4,06729				-0,06729
8	5,106542				-0,10654
9	5,106542				-0,10654

y^Ty-a^TX^Ty

n-k-1

=

101-100,78692

9-2-1

=

0,04

y^Ty-a^TX^Ty

y^Ty-n(y)²

= 1-

0,21

101-9⋅(3)²

= 0,01

---