Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych

Niech
będzie funkcją dwóch zmiennych niezależnych, określoną i posiadającą pierwsze pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu
.

Różniczką zupełną dz funkcji
w punkcie
dla przyrostów dx i dy nazywamy wyrażenie

(1)

Powyższy wzór znajduje zastosowanie do obliczania przybliżonych wartości funkcji, mianowicie:

(2)

Poniżej rozwiążemy kilka przykładów. W rachunkach pomoże nam kalkulator ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Obliczyć różniczkę zupełną funkcji

Liczymy zgodnie z (1):

Zatem

Przykład 2. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

Mamy kolejno

A więc

Zgodnie z (2) możemy więc zapisać

Sprawdźmy:

Idealnie!

Przykład 3. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

Mamy kolejno

A więc

Zgodnie z (2) możemy więc zapisać

Sprawdźmy:

Super!

Przykład 4. Obliczyć maksymalny błąd bezwzględny oraz błąd względny przy wyznaczaniu objętości stożka o promieniu podstawy x i wysokości y, przyjmując

Wobec tego

Zatem maksymalny błąd bezwzględny:

oraz błąd względny: