EKONOMETRIA - WYKŁADY.

Wykład z dnia 9.03.2012 r.

Funkcja regresji.

Narzędziem badania mechanizmu powiązanego między zmiennymi jest funkcja regresji.

Funkcja regresji to analityczny wyraz podporządkowujący średnią zmiennych objaśnianych konkretnych wartości zmiennych objaśniających

Daje to funkcji 1 -ego rodzaju realizację zmiennych objaśniających, przypisuje średnie warunkowe zmiennej objaśnianej.

Jeżeli badanie statystyczne dotyczy dwóch zmiennych to funkcja regresji 1 - pierwszego rodzaju zmiennych losowych y względem zmiennych losowych x nazywamy:

( pierwszy wzór)

Gdzie:

to jest wartość losowa y pod warunkiem że x = x_i

Analiza funkcji regresji 1 - ego rodzaju zmiennych x względem y nazywamy średnią warunkową zmiennej x, która jest funkcją ustalonych wartości
(drugi wzór).

Analityczne postacie funkcji x_y i q_i są nieznane. Dlatego na podstawie zaobserwowano wyniki w próbie tego rodzaju powiązania, przedstawiają się następująco:

W prostokątny układ współrzędnych w formie empirycznej linii regresji.

Empiryczna linia regresji zmiennej x względem y jest linią łamaną powstałą przez połączenie punktu o współrzędnych :
empiryczną linią regresji y względem x jest linią łamaną powstała przez połączenie punktu

Przykładowe zadanie.

Chcemy w badaniu zależności między wiekiem kobiet, a liczbą posiadanych dzieci. W sposób niezależny wylosowano :

Wiek dzieci v	Wiek kobiet
	25-25	25-35	35-45	45-55
0	2	1	-	-
1	10	12	15	-
2	8	19	10	5
3	-	-	5	4
4	-	-	-	3
5	-	-	-	6

Na podstawie danych sporządź, wykres empirycznych linii regresji w celu określenia średnich warunkowych obydwu zmiennych x przy ustalaniu wartości zmiennej y który jest równy.

pod warunkiem że 0 dzieci

Zad. Przykładowe 2

Mamy tabelkę zależności inwestycji firmy od dochodu

x/y	1	2	3	4	5
1	1	2	-	-	-
2	2	3	1	-	-
3	1	2	2	1	-
4	-	-	3	1	1

n = 17

x - inwestycje

y - dochód

Funkcje regresji II rodzaju.

Ona jest aproksymantą czyli przybliżeniem funkcji regresji 1 - ego rodzaju opisującą zależność korelacyjną zmiennych w próbie losowej.

Wymóg analityczny postaci funkcji regresji II -ego rodzaju nie jest łatwy.

Zajmiemy się metodą badań zależności między dwiema zmiennymi, które mają postać liniową, w takich przypadkach regresja I - ego rodzaju opisującą zależność zmiennych losowych y od x, przyjmuje nastepującą postać:

(pierwszy wzór)

Gdzie:

Y - teoretyczne wartości funkcji regresji odpowiadającej danym poziomom realizacji zmiennej x

- parametry strukturalne liniowej funkcji regresji y względem x

- składnik losowy.

Natomiast liniowa funkcja regresji drugiej zmiennej x względem y ma postać:

(drugi wzór)

Występującą w równaniach regresji 1 - ego, 2 - ego rodzaju, składniki losowe pełnią rolę błędu przypadkowego zakrócającego funkcyjny związek między wartością zmiennych objaśnianych a wartością zmiennej objaśniającej.

Potrzeby wprowadzone składników losowych do modelu uzasadnia się następującymi względami:

a - w modelu nie jesteśmy w stanie uwzględnić wszystkich zmiennych objaśniających

b - przyjęto analityczną postać funkcji regresji niż odpowiada dokładnie rzeczywistej formie zależności między badanymi zmiennymi. Zwykle przyjmuje się że wartości mają wartości oczekiwania:

niewielkie

Oszacowanie funkcji regresji i₁ zmiennej y względem w próbie losowej jest funkcja postaci :

(trzeci wzór)

Gdzie:

i = 1,2…n - tj. kolejne numery jednostek z populacji generalnej do próby

analogicznie oszacowanie funkcji regresji drugiej zmiennej x względem y jest funkcja regresji x względem y w próbie losowej postaci:

(czwarty wzór)

Funkcje regresji (trzeci i czwarty wzór) są dobrymi aproksymantami funkcji regresji 1 - ego rodzaju jeżeli spełnione są dwa warunki:

a - odchylenia wartości empirycznych Y_i od wartości teoretycznych Y_i są pochodzenia losowego tzn. są statystycznie nie istotne.

b - suma kwadratu odchyleń wartości empirycznych od teoretycznych stanowi minimum.

Problem losowości odchyleń może być zbadany po oszacowaniu parametrów strukturalnych danej funkcji regresji. Warunek b zaś jest spełniony jeżeli do szacowania paramteru funkcji regresji wykorzystano metody najmniejszych kwadratów.

Metoda najmniejszych kwadratów polega na takim oszacowaniu parametru a₀ , a₁ funkcji 3 (trzeci wzór), aby dla danych z próby n wartości

(czwarty wzór)

(piąty wzór)

Wyrażenie nr 5 jest funkcja dwóch zmiennych a₀ , a₁ . Zagadnienie sprowadza się do znalezienia minimum funkcji kwadratowej dwóch zmiennych a₀ , a₁ .

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pochodnych cząstkowych ze względu na:

(szósty wzór)

Po odpowiednich przekształceniach w układzie równań 6 otrzymujemy:

(wzór siódmy)

Układy równań 7 ma rozwiązanie:

(wzór 8)

(wzór 9 )

Wzory 8 i 9 można przedstawić w prostszej postaci:

(wzór 10)

(wzór 11)

Postępując analogicznie w przypadku liniowej funkcji regresji x względem y otrzymamy następujące wzory na estygmatory b₀ i b₁.

Wzór 12

wzór 13

Zad. Przykładowe

W urzędzie stanu cywilnego przeprowadzono badanie nowo zawartych małżeństw według wieku męża i żony w jednym dniu.

W wieku żony - x

W wieku męża - y

X	18	19	20	21	23	24	26	27	27	30
y	19	21	23	21	20	23	26	25	26	34

n = 10

Znaleźć liniową funkcję regresji x względem y

---