EKONOMETRIA 09.03.2012, II rok, Wykłady, Ekonometria


EKONOMETRIA - WYKŁADY.

Wykład z dnia 9.03.2012 r.

Funkcja regresji.

Narzędziem badania mechanizmu powiązanego między zmiennymi jest funkcja regresji.

Funkcja regresji to analityczny wyraz podporządkowujący średnią zmiennych objaśnianych konkretnych wartości zmiennych objaśniających

Daje to funkcji 1 -ego rodzaju realizację zmiennych objaśniających, przypisuje średnie warunkowe zmiennej objaśnianej.

Jeżeli badanie statystyczne dotyczy dwóch zmiennych to funkcja regresji 1 - pierwszego rodzaju zmiennych losowych y względem zmiennych losowych x nazywamy:

0x01 graphic
( pierwszy wzór)

Gdzie:

0x01 graphic
to jest wartość losowa y pod warunkiem że x = xi

Analiza funkcji regresji 1 - ego rodzaju zmiennych x względem y nazywamy średnią warunkową zmiennej x, która jest funkcją ustalonych wartości 0x01 graphic
(drugi wzór).

Analityczne postacie funkcji xy i qi są nieznane. Dlatego na podstawie zaobserwowano wyniki w próbie tego rodzaju powiązania, przedstawiają się następująco:

W prostokątny układ współrzędnych w formie empirycznej linii regresji.

Empiryczna linia regresji zmiennej x względem y jest linią łamaną powstałą przez połączenie punktu o współrzędnych :0x01 graphic
empiryczną linią regresji y względem x jest linią łamaną powstała przez połączenie punktu 0x01 graphic

Przykładowe zadanie.

Chcemy w badaniu zależności między wiekiem kobiet, a liczbą posiadanych dzieci. W sposób niezależny wylosowano :

Wiek dzieci v

Wiek kobiet

25-25

25-35

35-45

45-55

0

2

1

-

-

1

10

12

15

-

2

8

19

10

5

3

-

-

5

4

4

-

-

-

3

5

-

-

-

6

Na podstawie danych sporządź, wykres empirycznych linii regresji w celu określenia średnich warunkowych obydwu zmiennych x przy ustalaniu wartości zmiennej y który jest równy.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
pod warunkiem że 0 dzieci

0x01 graphic

Zad. Przykładowe 2

Mamy tabelkę zależności inwestycji firmy od dochodu

x/y

1

2

3

4

5

1

1

2

-

-

-

2

2

3

1

-

-

3

1

2

2

1

-

4

-

-

3

1

1

n = 17

x - inwestycje

y - dochód

0x01 graphic

Funkcje regresji II rodzaju.

Ona jest aproksymantą czyli przybliżeniem funkcji regresji 1 - ego rodzaju opisującą zależność korelacyjną zmiennych w próbie losowej.

Wymóg analityczny postaci funkcji regresji II -ego rodzaju nie jest łatwy.

Zajmiemy się metodą badań zależności między dwiema zmiennymi, które mają postać liniową, w takich przypadkach regresja I - ego rodzaju opisującą zależność zmiennych losowych y od x, przyjmuje nastepującą postać:

0x01 graphic
(pierwszy wzór)

Gdzie:

Y - teoretyczne wartości funkcji regresji odpowiadającej danym poziomom realizacji zmiennej x

0x01 graphic
- parametry strukturalne liniowej funkcji regresji y względem x

0x01 graphic
- składnik losowy.

Natomiast liniowa funkcja regresji drugiej zmiennej x względem y ma postać:

0x01 graphic
(drugi wzór)

Występującą w równaniach regresji 1 - ego, 2 - ego rodzaju, składniki losowe pełnią rolę błędu przypadkowego zakrócającego funkcyjny związek między wartością zmiennych objaśnianych a wartością zmiennej objaśniającej.

Potrzeby wprowadzone składników losowych do modelu uzasadnia się następującymi względami:

a - w modelu nie jesteśmy w stanie uwzględnić wszystkich zmiennych objaśniających

b - przyjęto analityczną postać funkcji regresji niż odpowiada dokładnie rzeczywistej formie zależności między badanymi zmiennymi. Zwykle przyjmuje się że wartości mają wartości oczekiwania:

0x01 graphic
niewielkie

Oszacowanie funkcji regresji i1 zmiennej y względem w próbie losowej jest funkcja postaci :

0x01 graphic
(trzeci wzór)

Gdzie:

i = 1,2…n - tj. kolejne numery jednostek z populacji generalnej do próby 0x01 graphic

analogicznie oszacowanie funkcji regresji drugiej zmiennej x względem y jest funkcja regresji x względem y w próbie losowej postaci:

0x01 graphic
(czwarty wzór)

Funkcje regresji (trzeci i czwarty wzór) są dobrymi aproksymantami funkcji regresji 1 - ego rodzaju jeżeli spełnione są dwa warunki:

a - odchylenia wartości empirycznych Yi od wartości teoretycznych Yi są pochodzenia losowego tzn. są statystycznie nie istotne.

b - suma kwadratu odchyleń wartości empirycznych od teoretycznych stanowi minimum.

Problem losowości odchyleń może być zbadany po oszacowaniu parametrów strukturalnych danej funkcji regresji. Warunek b zaś jest spełniony jeżeli do szacowania paramteru funkcji regresji wykorzystano metody najmniejszych kwadratów.

0x01 graphic

Metoda najmniejszych kwadratów polega na takim oszacowaniu parametru a0 , a1 funkcji 3 (trzeci wzór), aby dla danych z próby n wartości

0x01 graphic
(czwarty wzór)

0x01 graphic
(piąty wzór)

Wyrażenie nr 5 jest funkcja dwóch zmiennych a0 , a1 . Zagadnienie sprowadza się do znalezienia minimum funkcji kwadratowej dwóch zmiennych a0 , a1 .

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pochodnych cząstkowych ze względu na:

0x01 graphic
(szósty wzór)

Po odpowiednich przekształceniach w układzie równań 6 otrzymujemy:

0x01 graphic
(wzór siódmy)

Układy równań 7 ma rozwiązanie:

0x01 graphic
0x01 graphic
(wzór 8)

0x01 graphic
(wzór 9 )

Wzory 8 i 9 można przedstawić w prostszej postaci:

0x01 graphic
(wzór 10)

0x01 graphic
(wzór 11)

0x01 graphic

Postępując analogicznie w przypadku liniowej funkcji regresji x względem y otrzymamy następujące wzory na estygmatory b0 i b1.

Wzór 12

0x01 graphic
wzór 13

Zad. Przykładowe

W urzędzie stanu cywilnego przeprowadzono badanie nowo zawartych małżeństw według wieku męża i żony w jednym dniu.

W wieku żony - x

W wieku męża - y

X

18

19

20

21

23

24

26

27

27

30

y

19

21

23

21

20

23

26

25

26

34

n = 10

Znaleźć liniową funkcję regresji x względem y

0x01 graphic



Wyszukiwarka