Całka Riemanna

Domyślnie funkcja jest ograniczona i
.

Definicja. Podziałem przedziału
nazywamy ciąg punktów
, i-tym przedziałem podziału
nazywamy przedział
. Długość przedziału
oznaczamy
, a średnicą podziału
.
jest rodziną wszystkich podziałów przedziału
.

Definicja. Dla funkcji
i dla podziału
definiujemy

i
. Górną sumą Riemanna dla funkcji
wzg. podziału
nazywamy liczbę
, a dolną sumą Riemanna liczbę
.

Uwaga. Dla dowolnej funkcji
oraz dowolnego podziału
,
.

Definicja. Podział
nazywamy zagęszczeniem podziału
, gdy
, czyli jeżeli
i
to
. Podział
nazywamy wspólnym zagęszczeniem podziałów
, gdy
.

Uwaga. Jeżeli
jest zagęszczeniem podziału
,
i
, to
.

Twierdzenie. Jeżeli
jest zagęszczeniem przedziału
, to
.

Wniosek.
.

Definicja. Dolną całką Riemanna z funkcji
na przedziale
nazywamy liczbę
, a górną całką Riemanna liczbę
.

Uwaga.
i
są określone dla dowolnej funkcji ograniczonej
,
oraz
.

Definicja. Mówimy, że
jest całkowalna w sensie Riemanna (R - całkowalna), gdy
. Wtedy liczbę
nazywamy całką (Riemanna) funkcji
na przedziale
i oznaczamy
.

Twierdzenie. Funkcja
jest R - całkowalna
.

Twierdzenie Riemanna. Zał, że
jest ciągła. Wtedy
jest R-całkowalna.

Twierdzenie. Zał, że
jest monotoniczna. Wtedy
jest R-całkowalna.

Uwaga. Istnieją funkcje monotoniczne, które nie są ciągłe.

Definicja. Zał, że
ograniczona,
,
. Funkcję
nazywamy funkcją wyboru dla przedziału
, gdy
.

Definicja. Sumą Riemanna dla funkcji
względem podziału
i funkcji
nazywamy liczbę
.

Uwaga. Dla dowolnej funkcji wyboru
zachodzą nierówności
.

Definicja. Ciąg
podziałów przedziału
nazywamy normalnym, gdy
.

Twierdzenie. Zał, że
jest ciągła. Wtedy dla dowolnego normalnego ciągu przedziałów
przedziału
oraz dla dowolnego ciągu
, gdzie
jest funkcją wyboru podziału
,
.

Twierdzenie. Zał, że
jest ograniczona. Jeżeli
jest zbiorem punktów nieciągłości, oraz
istnieje skończony ciąg przedziałów otwartych i rozłącznych
takich, że (1)
i (2)
. Wtedy
jest R-całkowalna.

Wniosek. Jeżeli zbiór punktów nieciągłości jest skończony, to
jest R-całkowalna.

Twierdzenie. Zał, że
jest R-całkowalna,
,
jest ciągła. Wtedy
jest R-całkowalna.

Wniosek. Jeżeli
jest R-całkowalna,
, to funkcje
,
,
są R-całkowalne.

Twierdzenie. Jeżeli
jest R-całkowalna,
, to
.

Twierdzenie. Jeżeli
są R-całkowalne, to
jest R-całkowalna, i
.

Wniosek. Jeżeli
są R-całkowalne, to
jest R-całkowalna, i
.

Twierdzenie. Jeżeli
jest R-całkowalna, oraz
to
.

Wniosek. Jeżeli
są R-całkowalne oraz
, to
.

Twierdzenie. Jeżeli
są R-całkowalne, to
jest R-całkowalna.

Twierdzenie. Jeżeli
jest R-całkowalna, to
.

Wniosek. Jeżeli
i
jest R-całkowalna, to
.

Twierdzenie całkowe o wartości średniej. Zał, że
jest ciągła. Wtedy
.

Twierdzenie o podziale przedziału całkowania. Zał, że
jest R-całkowalna,
. Wtedy
jest R-całkowalna na przedziałach
i
, oraz
.

Uwaga. Z faktu, że
i
są R-całkowalne wynika, że
jest R-całkowalna.

Wniosek. Jeżeli
jest R-całkowalna,
, to
jest R-całkowalna na
.

Definicja. Zał, że
jest R-całkowalna. Wtedy
,
.

Twierdzenie. Zał, że
jest R-całkowalna. Wtedy dla dowolnych liczb
zachodzi
.

Twierdzenie. Zał, że
jest R-całkowalna,
jest określona wzorem
. Wtedy
jest ciągła.

Twierdzenie. Zał, że
jest ciągła. Wtedy
jest różniczkowalna na
oraz
.

Definicja. Zał, że
. Mówimy, że
jest funkcją pierwotną dla funkcji
, gdy
.

Wniosek. Jeżeli
jest funkcją ciągłą, to
posiada funkcję pierwotną. Funkcja pierwotna dla funkcji
jest określona wzorem
.

Uwaga. (1) Jeżeli
jest funkcją pierwotną dla funkcji
, to
też jest funkcją pierwotną dla
.

(2) Jeżeli
są funkcjami pierwotnymi dla
, to
.

(3) Jeżeli
jest ciągła,
jest funkcją pierwotną dla
, to
.

Twierdzenie. Zał, że
jest R-całkowalna,
jest funkcją pierwotną dla

. Wtedy
.

Definicja. Zał, że
jest ciągła. Całką nieoznaczoną z funkcji
nazywamy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych dla
,
.

Twierdzenie o całkowaniu przez części. Zał, że
są klasy
. Wtedy
.

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Zał, że
taka, że
oraz
,
,
. Wtedy dla dowolnej funkcji ciągłej
zachodzi
.

Twierdzenie. Zał, że
;
,
jest R-całkowalna oraz
. Wtedy
też jest R-całkowalna oraz
.

Wniosek. Jeżeli
jest jednostajnie zbieżny na
oraz
jest R-całkowalna na
, to
jest funkcją R-całkowalną, oraz
.

Uwaga. Zał, że
jest istotne.

Całki niewłaściwe.

Definicja. Zał, że
. Jeżeli
jest R-całkowalna oraz istnieje
, to mówimy, że dla
istnieje całka niewłaściwa na półprostej
i oznaczamy ją
. Dodatkowo, jeżeli
jest skończona, to mówimy że
jest R-całkowalna na
. Analogicznie, jeśli
.

Jeżeli
oraz
jest R-całkowalna oraz istnieje
, to tę granicę nazywamy całką niewłaściwą z
na prostej
i oznaczamy
.

Twierdzenie.
istnieje i jest skończona
.

Uwaga. (1) Jeżeli
jest ciągła i nieujemna, to istnieje
;

(2) Jeżeli
jest ciągła, nieujemna i niemalejąca, to
;

(3) Jeżeli
jest ciągła, nieujemna i nierosnąca, to
jest skończona
szereg
jest zbieżny.

Definicja. Zał, że
oraz
jest R-całkowalna na
. Jeżeli
istnieje, to oznaczamy ją
i nazywamy całką niewłaściwą z
na
. Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą z
. Zał, że
,
oraz istnieją całki niewłaściwe
,
. Jeżeli wykonywalne jest dodawanie
, to sumę tę nazywamy całką niewłaściwą z
na
.

Zastosowanie całek w geometrii.

I. Pole figury.

Pole figury
to funkcja
spełniająca:

(1) jeżeli
oraz
, to
;

(2) jeżeli zbiór
jest przesunięciem zbioru
, to
.

Definicja. Jeżeli
jest R-całkowalna,
. Wtedy możemy określić pole zbioru
wzorem
.

Definicja. Obszarem normalnym wyznaczonym przez funkcje ciągłe

nazywamy zbiór
. Pole
obszaru
obliczamy ze wzoru
.

Wniosek. Pole
obszaru ograniczonego wykresem funkcji
z osią
jest równe
.

II. Obliczanie objętości figur obrotowych.

Objętość figury jest funkcją analogiczną do funkcji pola.

Definicja. Zał, że
jest ciągła i nieujemna,
to bryła otrzymana przez obrót wykresu funkcji
dookoła osi
,
to objętość bryły
. Wtedy
.

III. Obliczanie długości łuku.

Definicja. Zał, że
. Wykres funkcji
nazywamy łukiem o końcach
. Wtedy długość łuku
wynosi
.

IV. Obliczanie pól powierzchni bocznych.

Definicja. Jeżeli
jest ciągła, to pole powierzchni bocznej zakreślonej przez łuk
wynosi
.

2