Wydział : GGiOŚ	Imię i nazwisko :				rok I	Grupa 1A			Zespół 2
PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH	Temat ćwiczenia : Mostek Wheatstone'a							Ćwiczenie nr: 32
Data wykonania:		Data oddania:	Zwrot do poprawy:	Data oddania:			Data zaliczenia:			Ocena:

1. Cel ćwiczenia

Mostek Wheatstone'a jako przykład zastosowania praw Kirchoffa do opisu złożonych

obwodów elektrycznych. Pomiar nieznanych oporów oraz ich połączeń szeregowych

i równoległych.

2. Część teoretyczna

a) Prawa Kirchoffa:

Pierwsze prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia. Algebraiczna

suma natężeń prądów przepływających przez punkt rozgałęzienia (węzeł) jest równa

zeru

.

Drugie prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o obwodzie zamkniętym. Algebraiczna suma

sił elektromotorycznych i przyrostów napięć w dowolnym obwodzie zamkniętym jest

równa zeru (spadek napięcia jest przyrostem ujemnym napięcia).

Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest wynikiem zasady zachowania energii,

a twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wynika z zasady zachowania ładunku.

Przy stosowaniu praw Kirchhoffa zakładamy jakiś kierunek prądu i jego natężenie

w każdej gałęzi. Spadek napięcia pojawia się gdy "przechodzimy" przez opornik

w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem prądu, a przyrost napięcia gdy przechodzimy

przez źródło SEM w kierunku od "−" do "+". Jeżeli w wyniku obliczeń otrzymamy ujemne

natężenie prądu to znaczy, że rzeczywisty kierunek prądu jest przeciwny do przyjętego.

b) Wyprowadzenie wzorów na opór zastępczy dla połączenia szeregowego i równoległego

dwóch oporników R1 i R2 .

SZEREGOWE

Rezystory połączone są szeregowo, wiemy że płynie przez nie taki sam prąd I. Z II Prawa Kirchoffa możemy zapisać dla obwodu po prawej stronie:
U = U1 + U2
oraz kolejne przekształcenia:
U = I*R1 + I*R2
U = I*(R1 + R2)
Ponieważ chcemy by rezystancje widziane z obu zacisków były sobie równe, powyższy wzór podstawiamy pod wzór prawa Ohma:
U = I*R
podstawiając i przyrównując:
I*R = I*(R1 + R2)
dzieląc obustronnie przez I otrzymujemy
R = R1 + R2

RÓWNOLEGŁE
Wiemy że na elementach połączonych równolegle występuje to samo napięcie. Wykorzystajmy ten fakt, stosując I Prawo Kirchoffa dla układu po prawej stronie:
I = I1 + I2
z prawa Ohma wiemy ze I= U/R, więc:
I = U/R1 + U/R2
I = U*( 1/R1 + 1/R2)
Ponieważ rezystancje widziane na obu zaciskach powinny być równe, porównujemy powyższy wzór z prawem Ohma:
I = U/R
więc
U/R = U*( 1/R1 + 1/R2)
dzieląc obustronnie przez U otrzymujemy
1/R = 1/R1 + 1/R2

c)Opór właściwy i przewodność właściwa.

Opór przewodnika zależy od jego wymiarów; opór R jest proporcjonalny do długości

przewodnika l i odwrotnie proporcjonalny do jego przekroju S.

Stałą ρ, charakteryzującą elektryczne własności materiału, nazywamy oporem

właściwym (rezystywnością), a jej odwrotność σ = 1/ρ przewodnością właściwą . Jednostką przewodności elektrycznej właściwej jest 1Ω-1m-1.

Opór właściwy materiału ρ zależy od temperatury. Wiąże się to z tym, że prędkość

ruchu przypadkowego cząsteczek zależy od temperatury

d) Zależność oporności elektrycznej metali od temperatury

Typowa zależność oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest pokazana na rysunku

Z dobrym przybliżeniem jest to zależność liniowa ρ ~ T za wyjątkiem temperatur bliskich zera bezwzględnego. Wtedy zaczyna odgrywać rolę tzw. opór resztkowy ρ0 zależny w dużym stopniu od czystości metalu.

e) Schemat układu dla mostka Wheatstone'a i wyprowadzenie wzoru na wartość nieznanego oporu dla mostka zrównoważonego.

Mostek Wheatstone'a jest układem do pomiaru (porównywania) oporów. Tworzy go połączenie czterech oporów: R_x, R₂, R₃,R₄ oraz galwanometru o oporze R₅. Mostek jest zasilany z ogniwa galwanicznego lub zasilacza.

Niech I oznacza natężenie prądu płynącego z ogniwa, a natężenia prądów w odcinkach obwodu AB, AD, BC, DC, i BGD odpowiednio: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. W układzie są 4 węzły A, B, C, D. Dla trzech z nich układa się równania Kirchoffa. Jeśli kierunek prądu jest taki, jak wskazują strzałki, dla węzłów A, B i D otrzymujemy:

A: I - I₁ - I₃ = 0
B: I₁ - I₂ -I₅ = 0 (1)
D: I₅ +I₃ -I₄ = 0

Drugi układ równań Kirchoffa można ułożyć wydzielając w schemacie zamknięte obwody ABDA, BCDB i ACEA. Obchodząc każdy z tych obwodów według kierunku wskazówek zegara otrzymujemy dla obwodu:

ABDA: I₅R_x + I₅R₅ - I₃R₃ = 0
BCDB: I₂R₂ + I₄R₄ - I₅R₅ = 0 (2)
ACEA: I₃R₃ + I₄R₄ + IR_E =

Jeśli dana jest siła elektromotoryczna
oraz opory R₂, R₃,R₄ i R_E, można znaleźć natężenia wszystkich sześciu prądów I, I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Metoda Wheatstone'a porównywania oporów polega na tzw. równoważeniu mostka, to znaczy na takim dopasowaniu oporów, by potencjały w punktach B i D były równe (V_B = V_D), czyli żeby prąd płynący przez galwanometr G był równy zeru. Przy I₅ = 0 drugie i trzecie równanie układu (1) dają:

I₂ = I₁ I₃ = I₄ (3)

a pierwsze i drugie równanie układu (2)

I₁R_x = I₃R₃ I₂R₂ ­= I₄R₄. (4)

Z równań (3) i (4) wynika, że

Ostatnie wyrażenie pozwala eksperymentalnie wyznaczyć R_x.

Prąd płynący z ogniwa galwanicznego E rozgałęzia się w punkcie A. Jedna jego część płynie przez szeregowo połączone opory R_x i R₂, druga przez przewód AC. Przez zmiany położenia punktu D zmienia się stosunek oporów R₃ do R₄. Na odcinku BGD prąd nie będzie płynął, jeżeli

Ponieważ R_AD i R_DC są oporami odcinków tego samego jednorodnego drutu, ich wielkości są proporcjonalne do długości:

Ponadto b jest różnicą całkowitej długości drutu l i odległości a, b=l-a. Ostatecznie otrzymujemy:

Dokładność pomiaru mostkiem Wheatstone'a z drutem oporowym zależy przede wszystkim od błędu wyznaczenia odległości a. Zgodnie z prawem przenoszenia błędu:

(5)

Tak więc błąd pomiaru będzie najmniejszy gdy pochodna wyrażenia (5) będzie równa 0:

Rozwiązanie a=1/2 l odpowiada po uwzględnieniu drugiej pochodnej minimalnej wartości błędu. Tak więc aby pomiar był najdokładniejszy należy tak dobrać opór R₂, aby stan równowagi mostka można było uzyskać w przybliżeniu w połowie długości drutu oporowego.

f.) Udowodnij,że opór zastępczy dwóch oporników połączonych równolegle

jest mniejszy od oporu mniejszego z nich.

Opór zastępczy dla połączenia równoległego:

Mamy udowodnić, że:

Rz<R1 i

Rz<R2

Zakładamy, że R1 jak i R2 >0.

g)

Natężenie prądu elektrycznego - Natężenie prądu elektrycznego definiujemy jako ilość ładunku jaka przepływa przez przekrój poprzeczny przewodnika w jednostce czasu.

W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (C). Jest to ładunek przenoszony przez

prąd o natężeniu 1 ampera w czasie 1 sekundy 1 C = 1 A·s.

Ładunek -  fundamentalna własność materii przejawiająca się w oddziaływaniu elektromagnetycznym ciał obdarzonych tym ładunkiem. Ciała obdarzone ładunkiem mają zdolność wytwarzania pola elektromagnetycznego oraz oddziaływania z tym polem.Ładunek elektryczny ciała może być dodatni lub ujemny. Dwa ładunki jednego znaku odpychają się, a pomiędzy ładunkiem dodatnim i ujemnym działa siła przyciągająca.

W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (C). Jest to ładunek przenoszony przez

prąd o natężeniu 1 ampera w czasie 1 sekundy 1 C = 1 A·s.

napięcie - różnica potencjałów. Różnica potencjałów między dwoma punktami A i B jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia w polu elektrycznym ładunku jednostkowego (próbnego) q pomiędzy tymi punktami.

Jednostką napięcia jest wolt (V).

a wymiar wolta

opór - Stosunek napięcia przyłożonego do przewodnika do natężenia prądu

przepływającego przez ten przewodnik jest stały i nie zależy ani od napięcia ani od

natężenia prądu.

Ten iloraz nazywamy oporem elektrycznym . Jednostką oporu jest ohm (Ω); 1Ω = 1V/A.

Rys. Mostek oporowy Wheatstone'a

Rys. Mostek używany w ćwiczeniu

---