SZEREGI LICZBOWE
Definicja szeregu
Niech 
będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg 
gdzie 
. Taki szereg liczbowy oznaczamy symbolem 
. Liczbę 
nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę 
- n-tą sumą tego szeregu.
Definicja szeregu zbieżnego, rozbieżnego i sumy szeregu
Mówimy, że szereg 
jest zbieżny jeśli ciąg 
jest zbieżny do granicy skończonej zwanej w tym przypadku sumą szeregu i oznaczanej symbolem identycznym z symbolem szeregu.
Mówimy, że szereg 
jest rozbieżny gdy nie jest zbieżny.
Twierdzenie o kombinacji liniowej szeregów
Jeśli szeregi 
, 
są zbieżne odpowiednio do liczb 
i 
, to dla dowolnych liczb rzeczywistych 
, 
zbieżny jest również szereg 
przy czym suma tego szeregu wynosi 
.
Twierdzenie o zbieżności szeregu geometrycznego
Szereg 
zwany szeregiem geometrycznym o podstawie 
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy 
.
Twierdzenie o zbieżności szeregu harmonicznego
Szereg 
zwany szeregiem harmonicznym rzędu 
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy 
.
Warunek konieczny zbieżności szeregu
Jeśli szereg 
jest zbieżny to 
.
Niech 
i 
oznaczają szeregi liczbowe.
Uwaga. Jeśli ciągi 
i 
różnią się skończoną ilością wyrazów, to oba szeregi 
i 
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
Kryterium porównawcze
Jeśli 
to ze zbieżności szeregu 
wynika zbieżność szeregu 
i z rozbieżności szeregu 
wynika rozbieżność szeregu 
.
Kryterium ilorazowe
Jeśli 
oraz 
, to oba szeregi 
i 
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Kryterium Cauchy'ego
Jeśli 
to 
jest zbieżny gdy 
i rozbieżny gdy 
.
Kryterium d'Alemberta
Jeśli 
oraz 
to szereg 
jest zbieżny gdy 
i rozbieżny gdy 
.
Kryterium Raabego
Jeśli 
oraz 
to szereg 
jest zbieżny gdy 
i rozbieżny gdy 
.
Twierdzenie o zagęszczaniu
Jeśli 
jest ciągiem nierosnącym o wyrazach nieujemnych to szeregi 
i 
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Kryterium Dirichleta
Jeśli ciąg sum częściowych szeregu 
jest ograniczony oraz 
jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do zera to szereg 
jest zbieżny.
Kryterium Abela
Jeśli szereg 
jest zbieżny i ciąg 
jest monotoniczny i ograniczony, to szereg 
jest zbieżny.
Kryterium Leibniza
Jeśli 
jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg 
zwany szeregiem naprzemiennym jest zbieżny.
Definicja zbieżności bezwzględnej
Mówimy, że szereg 
jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg 
.
Uwaga Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.
Uwaga Istnieją szeregi zbieżne lecz nie bezwzględnie zbieżne.
Definicja szeregu zbieżnego warunkowo
Szereg zbieżny lecz nie bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.
Twierdzenie
Jeśli szereg 
jest bezwzględnie zbieżny, to dla dowolnej permutacji 
liczb naturalnych szereg 
jest zbieżny i ma taką samą sumę jak szereg 
.
Twierdzenie Cauchy'ego
Jeśli szeregi 
i 
są bezwzględnie zbieżne, to szereg 
jest zbieżny przy czym suma tego szeregu wynosi 
gdzie 
oznacza sumę szeregu 
, a 
sumę szeregu 
.
Twierdzenie Riemanna
Niech 
będzie szeregiem warunkowo zbieżnym. Dla dowolnego 
istnieje permutacja 
zbioru liczb naturalnych taka, że 
jest sumą szeregu 
.
Wyszukiwarka