Drgania sprawko, Mechatronika, Semestr IV, Struktury inteligentne w mechatronice, Laboratorium, Siwm sprawko drgania


DRGANIA PUNKTU MATERIALNEGO

Drgania swobodne nietłumione

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Drganie ruch drgający punktu materialnego jest to ruch w dostatecznie małym otoczeniu położenia swojej równowagi stałej x

0x08 graphic
0x08 graphic
A 0 m B

0x08 graphic
A, B położenia krańcowe punktu materialnego m

0x08 graphic
0 punkt położenia równowagi stałej

0x08 graphic
Drgania swobodne drgania zachodzące pod działaniem

sił sprężystych

0x08 graphic
Drgania swobodne nietłumione drgania swobodne bez

działania sił oporu (np. tarcia, oporu powietrza itd.)

0x08 graphic
Belka zginana P

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(a)

0x08 graphic
l P = kf =kcP k = 1/c

0x08 graphic

Sprężyna rozciągana

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
D P = 0

Rys.16 f

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
P

0x08 graphic
0x01 graphic
(b)

0x08 graphic
k sztywność sprężyny

0x08 graphic
k = 1/c (b1)

Przypadek gdy drga masa m zawieszona na sprężynie (17) o sztywności k (rys.16).

W położeniu równowagi na punkt materialny

działają siły:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Q siła ciężkości, S0 = kλst reakcja sprężyny (c)

z równania (c) wydłużenie sprężyny λst = S0/k = Q/k =mg/k

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Początek układu współrzędnych

przyjęto w położeniu równowagi

punktu materialnego.

0x08 graphic
Siły działające na punkt material- S0

-ny wychylony z położenia równo-

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
-wagi przedstawiono na rys.17.

Dynamiczne równanie różniczkowe Q x S

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
ruchu punktu materialnego ma Rys.17

postać 0x01 graphic
x Q

0x08 graphic
0x01 graphic
0x08 graphic
(d)

dzieląc stronami (d) oraz przenosząc -kx na prawą stronę

0x08 graphic
0x08 graphic
otrzymujemy 0x01 graphic
0x01 graphic
(19)

rozwiązaniem (19) jest funkcja 0x01 graphic

przy przyjęciu że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
mamy że:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(20)

0x08 graphic
0x08 graphic

bo 0x01 graphic

Z równania (20) wynika, że rozważany punkt materialny porusza się ruchem harmonicznym prostym, przy czym częstość drgań własnych ω0 równa się częstości kołowej.

Stąd okres drgań wynosi

0x08 graphic
0x01 graphic
(21)

Określenie C1, C2, *0

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
(e)

0x08 graphic
0x01 graphic
(e1)

0x08 graphic
gdzie: A amplituda drgań

0x08 graphic
*0 faza początkowa

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków

początkowych. Dla przykładu dla t = 0, wychylenie punktu

materialnego z położenia równowagi wynosiło x0,

Równania ruchu i prędkości mają postaci

0x08 graphic
0x01 graphic
(22)

0x08 graphic
0x01 graphic
(22a)

dla t = 0 mamy: C1 = x0 , C2 = V0/ω0

równanie (22) ma postać

0x08 graphic
0x01 graphic
(f)

Na podstawie zależności (e)

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(g)

Okres drgań określamy ze wzoru (21), a częstotliwość

0x08 graphic
0x01 graphic
(h)

Drgania swobodne tłumione

Przypadek gdy na punkt materialny m działają siły:

0x08 graphic
S = kx proporcjonalna do wychylenia

0x08 graphic
R = -cVx opór którego wartość jest proporcjonalny do

pierwszej potęgi prędkości (rys.18)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Dynamiczne równanie różniczkowe

ruchu punktu ma postać

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(23)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Po uporządkowaniu i oznaczeniu

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
m

0x08 graphic
Równanie (23) przyjmuje postać x 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(i)

Aby rozwiązać (i) podstawiamy x Rys.19

0x08 graphic
0x01 graphic
(j)

0x08 graphic
Po zróżniczkowaniu (j) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
(k)

Po podstawieniu (k) do (i)

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(l)

Pierwiastki równania (l)

0x08 graphic
0x01 graphic
(m)

gdzie 0x01 graphic

W zależności od wartości wyróżnika równanie charakterystyczne (l) może mieć trzy różne rozwiązania:

a. Przypadek tłumienia nadkrytycznego (n>ω0)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest większy od

zera, pierwiastki równania charakterystycznego są

rzeczywiste i oba ujemne, a rozwiązanie ogólne równania

(i) ma postać

0x08 graphic
0x01 graphic
(n)

Jest to przypadek silnego tłumienia, ruch aperiodyczny.

b. Przypadek tłumienia krytycznego (n = ω0)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest równy zeru

Rozwiązaniem jest jeden ujemny pierwiastek podwójny

0x08 graphic
0x01 graphic
(o)

Rozwiązanie równania (i) ma postać

0x08 graphic
0x01 graphic
(p)

c. Przypadek tłumienia podkrytycznego (n < ω0)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest mniejszy

od zera, równanie (l) ma wtedy dwa pierwiastki

zespolone i rozwiązanie ogólne równania (i) ma postać

0x08 graphic
0x01 graphic
(r)

gdzie 0x01 graphic
jest częstością drgań tłumionych

Charakter ruchu przedstawiono na rys.20. Ruch ma charakter o amplitudzie r0e-nt stale malejącej

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
x

0x08 graphic
t1 t2 t T = t2 - t1

0x08 graphic

T Rys.20 Drgania swobodne tłumione

0x08 graphic
(tłumienie podkrytyczne)

Drgania wymuszone nietłumione

Jeśli poza siłą ciężkości i siłą sprężystą na punkt materialny działa okresowo zmienna w czasie siła wymuszająca, to powstające wtedy drgania nazywamy

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
wymuszonymi.

0x08 graphic
Na punkt materialny S

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
działa siła zewnętrzna m

0x08 graphic
0x01 graphic
(rys.21), mg

oraz mg i S = kx P x Rys.21

Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu

0x08 graphic
0x01 graphic
(s)

0x08 graphic
Równanie (s) jest liniowym równaniem różniczkowym niejednorodnym, rozwiązaniem jest 0x01 graphic
(u)

0x08 graphic
x1 rozwiązanie równania jednorodnego

0x08 graphic
x2 rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(w)

Po podstawieniu (w) do (s) i przyrównaniu współczynników przy tych samych funkcjach trygonometrycznych znajdujemy wartość stałej A. Patrz poniżej:

0x08 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x08 graphic
stąd 0x01 graphic
(z)

Aby określić C1 i C2 przyjmujemy

dowolne warunki początkowe (dla t = 0, x = x0, 0x01 graphic
)

Patrz poniżej: z (u) mamy

0x08 graphic
0x08 graphic
x = x1 + x2 =0x01 graphic

0x08 graphic
dla t = 0, x = x0 = C1 C1 = x0

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Po podstawieniu C1, C2, A do (u) otrzymujemy

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Wykres A w funkcji A

ω/ω0 (rys.22)

0x08 graphic
0x08 graphic
P0/(mω02)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Rys.22 0 1 2 3 ω/ω0



Wyszukiwarka