4. Podstawowe prawa gazowe

Powietrze w zamkniętym zbiorniku wytwarza nacisk na jego ściany; wielkość tego nacisku wyrażamy przez podanie wartości ciśnienia (absolutnego). Stan fizyczny powietrza w zamkniętym zbiorniku jednoznaczne określają trzy parametry:

· temperatura
,

· ciśnienie
,

· objętość
.

Zależność masy
gazu zawartego w zamkniętym zbiorniku od temperatury, ciśnienia i objętości wyraża w przybliżeniu równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona)

gdzie: R - stała gazowa (dla powietrza R = 287 Nm/kgK).

Abstrakcyjny czynnik, którego własności są zgodne z prawem Clapeyrona nazywa się gazem idealnym. W obliczeniach inżynierskich traktuje się powietrze jako gaz idealny.

Z prawa Clapeyrona wynika szereg zależności opisujące tzw. przemiany gazowe.

Jeżeli objętość zbiornika, w którym zamknięta jest pewna ilość powietrza zostanie zmniejszona od
do
z zachowaniem niezmiennej temperatury, to ciśnienie wzrośnie od początkowej wartości
do
. Taka zmiana stanu zawartej w zbiorniku ilości powietrza nazywa się przemianą izotermiczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu początkowego i końcowego przemiany izotermicznej wyraża prawo Boyle'a i Mariotte'a

jeżeli

lub

Ogrzewanie powietrza, w wyniku czego wzrośnie jego temperatura od wartości
do
, przy zachowaniu stałej wartości ciśnienia w zbiorniku, powoduje wzrost jego objętości powietrza, proporcjonalny do wzrostu temperatury. Taka zmiana stanu powietrza nazywa się przemianą izobaryczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu początkowego i końcowego przemiany izobarycznej wyraża prawo Gay-Lussaca

lub
jeżeli

lub

Wzrost temperatury powietrza od wartości
do
, przy niezmiennej objętości, powoduje wzrost ciśnienia w zbiorniku, proporcjonalny do wzrostu temperatury. Taka zmiana stanu powietrza nazywa się przemianą izochoryczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu początkowego i końcowego przemiany izochorycznej wyraża prawo Charlesa

lub
jeżeli

lub

Wymienione trzy prawa, opisujące zmiany stanu gazu w zamkniętym zbiorniku, można wyrazić w postaci jednego równanie, zwanego ogólnym równaniem stanu gazu.

lub

Prawo Boyle'a i Mariotte'a wyraża związek pomiędzy parametrami stanu początkowego (objętością
i ciśnieniem
) pewnej masy powietrza o temperaturze
i parametrami stanu końcowego (objętością
i ciśnieniem
), jeżeli temperatura powietrza w stanie końcowym jest taka sama jak w stanie początkowym. Wiadomo jednak, że podczas sprężania pewnej masy powietrza o temperaturze otoczenia jego temperatura wzrasta, po czym, w wyniku oddawania przez ogrzane powietrze ciepła do otoczenia, ponownie osiąga temperaturę otoczenia. W stanie przejściowym prawo Boyle'a i Mariotte'a nie jest spełnione. Zależność pomiędzy objętością
i ciśnieniem
oraz objętością
i ciśnieniem
, kiedy
, wyraża równanie

Wartość wykładnika
zależy od ilości ciepła doprowadzonego (lub odprowadzonego) do powietrza poddawanego przemianie. Przemiana taka nazywa się przemianą politropową;
- wykładnikiem przemiany politropowej. Szczególnym przypadkiem przemiany politropowej

jest przemiana dokonująca się przy braku przepływu ciepła pomiędzy powietrzem poddawanym przemianie i otoczeniem. Przemiana taka nazywa się przemianą adiabatyczną. Wykładnik przemiany adiabatycznej przyjęto oznaczać symbolem
, przy czym
.

W przypadku przemiany adiabatycznej obowiązuje równanie

Procesy szybkiego sprężania lub rozprężania mogą być traktowane jako przemiany adiabatyczne.

Z równania przemiany adiabatycznej wynikają zależności:

lub

Wstawiając jedną z nich do ogólnego równania stanu gazu otrzymuje się dla przemiany adiabatycznej:

lub

Pojemność cieplna (danego ciała) - ilość ciepła niezbędna do ogrzania danego ciała o 1 K.

Ciepło właściwe (kilogramowe) - ilość ciepła niezbędna do ogrzania 1 kg substancji o 1 K.

W przypadku gazów rozróżnia się:

• ciepło właściwe przy stałej objętości
  ,

• ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
  .

Ponieważ przy ogrzewaniu przy stałym ciśnieniu część energii cieplnej jest zużywana na pracę rozszerzania gazu równą
, to
.

Przy ogrzewaniu gazu bez zmiany jego objętości należy dostarczyć ciepło

Przy ogrzewaniu gazu pod stałym ciśnieniem (ze zmianą jego objętości) należy dostarczyć ciepło

Zatem równanie energii ma postać

Z prawa Clapeyrona otrzymuje się:

oraz

Zatem

Po uwzględnieniu tego wyrażenia, z równania energii otrzymuje się:

lub
.

Dla powietrza:

Energia wewnętrzna
- iloczyn masy gazu, jego temperatury i ciepła właściwego przy stałej objętości (ilość ciepła potrzebna do ogrzania danej ilości gazu bez zmiany jego objętości od zera bezwzględnego do jego temperatury)

, gdzie

- energia wewnętrzna właściwa - energia wewnętrzna 1 kg substancji.

Energia wewnętrzna danego ciała jest funkcją tylko jego temperatury.

Entalpia
- iloczyn masy gazu, jego temperatury i ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu (ilość ciepła potrzebna do ogrzania danej ilości gazu przy stałym ciśnieniu od zera bezwzględnego do jego temperatury)

, gdzie

- entalpia właściwa - entalpia 1 kg substancji.

I zasada termodynamiki

Ciepło doprowadzone do układu może być zużyte na zwiększenie energii wewnętrznej lub wykonanie pracy bezwzględnej.

W przypadku przemiany izotermicznej
więc
, zatem dostarczone ciepło przekształca się na pracę bezwzględną lub włożona praca przekształca się w ciepło odprowadzane na zewnątrz.

W przypadku przemiany adiabatycznej
, zatem włożona praca zużywana jest tylko na przyrost energii wewnętrznej lub praca bezwzględna jaką wykonuje rozprężający się gaz dokonuje się kosztem zmniejszenia jego energii wewnętrznej.

Na podstawie I zasady termodynamiki można wyznaczyć wartości ciepła właściwego
i
.

Obliczmy jaką pracę wykonuje powietrze zawarte w cylindrze o powierzchni przekroju
zamkniętym tłokiem, rozprężające się adiabatycznie od ciśnienia początkowego
do ciśnienia końcowego
.

Siła oddziaływania powietrza na tłok wykonuje pracę na drodze od położenia początkowego
do położenia końcowego
. Praca
jaką wykona powietrze jest

Uwzględniając, że

,

otrzymuje się

Uwzględniając, że

otrzymuje się

W wyniku wykonania przez powietrze pracy zmniejsza się jego energia wewnętrzna o

Uwzględniając, że
oraz
, otrzymuje się

Z równania
otrzymuje się
.

Charakterystyki przepływowe oporu pneumatycznego

1