Wstęp teoretyczny

Ruch obrotowy ciała to ruch w którym ciało sztywne, czyli obracające się w taki sposób, że wszystkie jego części są związane ze sobą, obraca się wokół stałej osi - jej położenie nie ulega zmianie. Według praw dynamiki Newtona, na ciało poruszające się w ten sposób działają wielkości wspólne dla wszystkich punktów odległych od osi obrotu. Poprzez analogie dla ruchu postępowego, w ruchu obrotowym występuje: przemieszczenie kątowe ϕ=s*r; prędkość kątowa ω=v*r; przyspieszenie kątowe ε=a*r, gdzie s to przemieszczenie, v prędkość liniowa, a przyspieszenie liniowe, a r to promień osi obrotu. Jeżeli punkty ciała poruszającego się ruchem obrotowym przyspieszają liniowo (ich prędkość rośnie w czasie) to oznacza to, że działa na nie wypadkowa siła skierowana prostopadle do promienia odległości od osi obrotu. Iloczyn ramienia działania tej siły i tej siły nazywa się momentem siły. Wypadkowy moment siły działający na ciało jest wektorową sumą momentów siły działających na obracające się ciało i wyraża się

wzorem M_wyp=I*ε; gdzie I to moment bezwładności ciała.

Ruch okresowy to każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu. Gdy zależność wielkości fizycznych (przemieszczenia, prędkości czy przyspieszenia) opisują funkcje sinusoidalne to mamy do czynienia z ruchem harmonicznym. W przypadku ruchu tłumionego, opory ruchu powodują jego zanikanie, poprzez zmniejszanie energii drgań.

W takim razie na ciało poruszające się takim ruchem działa wypadkowy moment siły będący sumą momentów siły wywołującej drgania i hamującej.

M_wyw.=-k*ϕ; M_ham.=-b*dϕ/dt; M_wyp.=M_ham.+M_wyw.
Można w takim razie zapisać:

Różniczkując powyższe równanie dochodzimy do równania drgań tłumionych: ϕ=ϕ₀e^-βtcos(ωt+ϴ); gdzie ϕ₀ to amplituda drgań (zmienna w czasie: ϕ_t=ϕ₀*e^-βt), β - współczynnik tłumienia drgań
Do opisu tego ruchu posłużyć może także dekrement logarytmiczny dekrement tłumienia mierzący stosunek amplitud w odstępie czasu równym jednemu okresowi: λ=ln(ϕ_t/ϕ_t+T)=β*T W wyniku tłumienia drgań obserwuje się także zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumionych względem drgań nietłumionych co opisuje zależność ω²=ω₀²-β², gdzie: ω to częstość kołowa drgań tłumionych, a ω₀ - częstość kołowa drgań nietłumionych.

Celem ćwiczenia było zapoznanie się ze zjawiskiem ruchu harmonicznego tłumionego oraz wielkościami fizycznymi opisującymi ten proces. W ramach ćwiczenia wykonywane były pomiary odchylenia dysku wprawionego w ruch harmoniczny od położenia równowagi wahadła torsyjnego zanurzonego w dwóch różnych ośrodkach - wodzie i glicerynie. Po odchyleniu wahadła o 40 stopni w prawo od położenia równowagi i zwolnieniu, zaczęto zapisywać pomiary począwszy od drugiego drgnięcia. Dla wody 30 pomiarów odchyleń dla n=15 okresów, a dla gliceryny 14 pomiarów dla 7 okresów. Równolegle mierzono czas trwania całego ruchu od drugiego drgnięcia.

Obliczenia dla wody:
Na samym początku obliczono okres drgań według wzoru T=t/n.
n=15 pełnych drgań trwało 56 sekund, co po podstawieniu d powyższego wzoru daje T=3,77s
Korzystając z metody różniczki zupełnej obliczono błąd bezwzględny pomiaru okresu: ΔT=Δt/n i przyjmując za niedokładność pomiaru czasu 0,4s. ΔT=0,03s. Następnie, wykorzystując wzór ω=2π/T obliczono częstość kołową drgań tłumionych ω =1,682 rad/s oraz jej względny (równy bezwzględnemu błędowi pomiaru okresu) i bezwzględny błąd (Δω = Δ_ω*ω); odpowiednio Δ_ω = ΔT/ T = 0,03/3,73= 0,01 i Δω = 0,03*1,682/3,73 = 0,014 rad/s. Podane wartości zostały zaokrąglone po obliczeniu wszystkich składników.

Następnie, na podstawie otrzymanych wyników odchyleń od położenia równowagi obliczono logarytmiczne dekrementy tłumienia.

λk = ln(ϕk/ ϕk+1)	ϕk	K	ϕk	λk = ln(ϕk/ ϕk+1)
ln(37/34) = 0,08	37	1	39	ln(39/37) = 0,05
ln(34/30) = 0,13	34	2	37	ln(37/36) = 0,03
ln(30/28) = 0,07	30	3	36	ln(36/35) = 0,03
ln(28/27) = 0,04	28	4	35	ln(35/34) = 0,03
ln(27/25) = 0,08	27	5	34	ln(34/33) = 0,03
ln(25/24) = 0,04	25	6	33	ln(33/32) = 0,03
ln(24/23) = 0,04	24	7	32	ln(32/29) = 0,10
ln(23/22) = 0,04	23	8	29	ln(29/28) = 0,04
ln(22/20) = 0,10	22	9	28	ln(28/26) = 0,07
ln(20/19) = 0,05	20	10	26	ln(26/25) = 0,04
ln(19/18) = 0,05	19	11	25	ln(25/24) = 0,04
ln(18/17) = 0,06	18	12	24	ln(24/23) = 0,04
ln(17/16,5) = 0,03	17	13	23	ln(23/22) = 0,04
ln(16,5/16) = 0,03	16,5	14	22	ln(22/21) = 0,05
------------	16	15	21	------------

Następnie obliczono średnią ze wzoru


=(0,08+0,13+0,07+0,04+0,08+0,04+0,04+0,04+0,1+0,05+0,05+0,06+0,03+0,03+0,05+0,03+0,03+0,03+0,03+0,03+0,1+0,04+0,07+0,04+0,04+0,04+0,04+0,05)/28 = 0,05

Korzystając z metody Studenta-Fishera obliczono bezwzględny i względny błąd pomiaru logarytmicznego dekrementu tłumienia:

gdzie, t_α dla 27 stopni swobody (28 pomiarów) i poziomie istotności α=0,05 wynosi w 2,052)
Odchylenie standardowe obliczono na podstawie wzoru

Podstawiając kolejne wartości, otrzymano wynik:
i podstawiono go do wzoru

Co daje wynik λ_k = 0,05
0,01 Podstawiając niezaokrąglone wartości do wzoru, obliczono błąd względny pomiaru dekrementu:

W następnej kolejności obliczono współczynnik tłumienia drgań β=λ_k/T; β=0,014 oraz metodą różniczki zupełnej jego błąd względny
oraz bezwzględny

Mając wyznaczony współczynnik tłumienia oraz jego bezwzględny błąd pomiaru obliczono częstość drgań nietłumionych:

Korzystając z metody różniczki zupełnej obliczono bezwzględny i względny błąd pomiaru tej wartości:








Analogicznie postąpiono dla gliceryny:
T = 40s/7=5,71s;
ΔT = 0,4/7=0,06
ω = 1,10 rad/s
Δ_ω = 0,06/5,71 = 0,01
Δω = 0,06*1,1/5,71 = 0,012 rad/s

λk = ln(ϕk/ ϕk+1)	ϕk	K	ϕk	λk = ln(ϕk/ ϕk+1)
ln(36/25) = 0,36	36	1	28	ln(28/20) = 0,34
ln(25/17) = 0,39	25	2	20	ln(20/15) = 0,29
ln(17/12) = 0,35	17	3	15	ln(15/9) = 0,51
ln(12/7) = 0,54	12	4	9	ln(9/6) = 0,41
ln(7/5) = 0,34	7	5	6	ln(6/3) = 0,69
ln(5/4) = 0,22	5	6	3	ln(3/2) = 0,41
------------	4	7	2	------------

=(0,36+0,39+0,35+0,54+0,34+0,22+0,34+0,29+0,51+0,41+0,69+0,41)/12 = 0,40




β = 0,4/5,71 = 0,07

Wyniki zebrano i przedstawiono w tabeli:

Wielkość fizyczna	Dla wody	Dla gliceryny
Okres (T)	(3,77 0,03)s	(5,71 0,06)s
Logarytmiczny dekrement tłumienia (λk)	0,05 0,01	0,40 0,08
Względny błąd pomiaru logarytmicznego dek. tłum. ( )	19%	20%
Współczynnik tłumienia drgań (β)	0,014 0,003	0,070 0,015
Względny błąd pomiaru współczynnika tłumienia drgań ( )	0,2	0,21
Częstość drgań tłumionych ω	(1,682 0,014) rad/s	(1,100 0,012) rad/s
Względny błąd pomiaru częstości drgań tłumionych (Δω)	0,01	0,01
Częstość drgań nietłumionych ω0	(1,682 0,014) rad/s	(1,102 0,013) rad/s
Względny błąd pomiaru częstości drgań nietłumionych	0,008	0,012

Wnioski:
Powyższe badanie umożliwiło mi zapoznanie się ze zjawiskiem ruchu harmonicznego tłumionego oraz przypomnienie zasad dynamiki. Zgodnie z przewidywaniami, wahadło poruszające się ruchem harmonicznym na skutek działających sił oporu zmniejszało amplitudę swoich drgań, aż do pełnego ich wygaszenia.

Na niepewności pomiaru miały wpływ takie czynniki jak:
- niedokładność urządzeń pomiarowych - niedokładność stopera podczas pomiaru czasu n drgań (błąd pomiaru przyjęty na poziomie 0,4s), podczas odczytywania wartości wychyleń z kątomierza
- niska klasa urządzeń pomiarowych - kątomierz papierowy i stoper mechaniczny
- wpływ czynnika ludzkiego - niemożność wyznaczenia dokładnego położenia (ϕ_k) i czasu (T) zakończenia drgania wahadła
- błędy wynikające z zaokrągleń podczas wykonywania szeregu obliczeń

Ze względu na podobne (prawie identyczne) względne błędy pomiaru logarytmicznych dekrementów tłumienia i współczynników tłumienia drgań oraz względne błędy pomiaru częstotliwości drgań tłumionych i nietłumionych w obu ośrodkach można stwierdzić, że pomiary odbywały się z taką samą

dokładnością, co zmniejsza wpływ czynnika błędu na wartości porównywane.

Co więcej, pozwala to wyciągnąć wnioski, że tłumienie jest zjawiskiem charakterystycznym oddziaływania pary - poruszającego się elementu i ośrodka w którym ono następuje. W zależności od wielkości, kształtu i stanu powierzchni obiektu wprawionego w ruch harmoniczny, jak również gęstości, lepkości

(w przypadku cieczy) zmieniają się parametry opisujące ten ruch.

Na podstawie porównania wyników obliczonych wielkości fizycznych można stwierdzić, że wraz ze wzrostem takich parametrów jak gęstość i lepkość ośrodka w którym odbywa się ruch harmoniczny:
- rośnie średni okres drgań
- rośnie logarytmiczny dekrement tłumienia
- rośnie współczynnik tłumienia
- rosną różnice w częstości drgań tłumionych i nietłumionych - w przypadku wody ze względu na prawie identyczne wartości częstości drgań tłumionych i nietłumionych są one pomijalne
- wyodrębnić można mniej pełnych okresów drgań do chwili pełnego ich stłumienia - w przypadku wody po n=15 okresach amplituda utrzymywała się na poziomie około 40-50% wartości początkowych, natomiast w przypadku gliceryny już po 7 okresach na poziomie około 5-10% wartości początkowych
A wraz ze wzrostem współczynnika i logarytmicznego dekrementu tłumienia wydłużał się średni okres drgań wahadła.

Powyższe wnioski pozwalają stwierdzić, że zarówno logarytmiczny dekrement tłumienia i współczynnik tłumienia są wielkościami charakteryzującymi ośrodki w których odbywa się ruch harmoniczny tłumiony. Dlatego też, mogą one posłużyć do porównywania ich właściwości lepkospręzystych.

Wiktor Adamski, Nanotechnologia, semestr II, grupa 1., gr. laboratoryjna 14.

---