CAŁKI POWIERZCHNIOWE

Powierzchnie

Powierzchnia jest to zbiór punktów (x,y,z) spełniających pewne równanie, które jest klasy
i ma jedną z trzech postaci:

* postać uwikłana:

** postać jawna:

*** postać parametryczna:
- obszar w

Definicja

Wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie
nazywamy niezerowy wektor prostopadły do wszystkich krzywych leżących na S i przechodzących przez
.

Jeśli S zadana jest w postaci:

* uwikłanej, to

,

gdzie M jest punktem zwyczajnym, tzn. gradient w tym punkcie nie zeruje się, gradF(M)
.

** jawnej, to przekształcając równanie
otrzymujemy postać uwikłaną

gdzie

i korzystając ze wzoru na wektor normalny w przypadku * dostajemy

*** parametrycznej, to w punkcie jednokrotnym powierzchni S, tzn. punkcie odpowiadającym tylko jednej parze
wektor normalny zadany jest wzorem

przy założeniu, że wyznacznik
.

Jeśli dany jest wektor normalny
do powierzchni S, to płaszczyzna
styczna do powierzchni S w punkcie
jest postaci

.

Zatem w przypadku *

.

Natomiast w przypadku **

,

stąd

.

Definicja

Powierzchnia gładka jest to powierzchnia, która w każdym swoim punkcie ma płaszczyznę styczną, która zmienia się w sposób ciągły przy zmianie punktu styczności.

Warunkiem wystarczającym gładkości powierzchni jest by równanie określające powierzchnię było klasy
oraz w przypadku, gdy powierzchnia jest zadana w postaci uwikłanej - by nie zawierała punktów osobliwych oraz w przypadku, gdy jest określona w postaci parametrycznej - by nie zawierała punktów wielokrotnych i
.

Przykład

Równanie
lub równoważne
określa powierzchnię stożkową.

Istotnie, jeśli
, to
i przekrój płaszczyzną
jest okręgiem o środku w punkcie
i promieniu
. Natomiast jeśli
, to

zatem przekrój powierzchni płaszczyzną
jest dwoma prostymi
i
.

Widać, że powyższa powierzchnia nie jest gładka, ponieważ w punkcie
nie istnieje płaszczyzna styczna. W istocie, dla funkcji

.

równanie
jest klasy
oraz

.

Ponieważ

zatem punkt
jest punktem osobliwym.

Definicja

Płatem nazywamy figurę określoną równaniem
, D - domknięty obszar jednospójny,
.

Definicja

Płat nazywamy gładkim, gdy
.

Definicja

Powierzchnia regularna jest to powierzchnia, którą można podzielić na skończenie wiele płatów gładkich.

Przykład

- powierzchnia regularna

- półsfera nie jest powierzchnią regularną, bo dla jej brzegu (największego okręgu) nie istnieją pochodne cząstkowe, natomiast sfera jest powierzchnią regularną bo można ją podzielić na 6 płatów gładkich.

Całka powierzchniowa niezorientowana

(całka powierzchniowa funkcji skalarnej)

Niech S - płat powierzchniowy,

, gdzie
,

F - pole skalarne określone na płacie S

o wartościach w zbiorze R,

,

.

Wtedy

• płat S dzielimy na n płatów
  ,
  ,…,
  o polach
  dla i=1,2,…,n

• w każdym z płatów
  wybieramy po jednym punkcie
  , i=1,…,n

• tworzymy sumę
  

Definicja

Jeśli przy
, i przy

istnieje granica
niezależna od sposobu podziału płata i wyboru punktów M_i, to granicę tę nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną funkcji F po płacie S i oznaczamy

Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)

Niech S - gładki płat powierzchniowy zadany równaniem
, gdzie
,

.

Wtedy

Można sformułować analogiczne dwa twierdzenia:

Twierdzenie 2

Jeśli S - gładki płat powierzchniowy zadany równaniem
, gdzie
,

oraz

,

to

Twierdzenie 3

Jeśli S - gładki płat powierzchniowy zadany równaniem
, gdzie
,

oraz

.

to

Twierdzenie 4 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)

Niech S - gładki płat powierzchniowy dany równaniami parametrycznymi

,

oraz niech
. Wtedy

,

gdzie
jest wektorem normalnym odpowiadającym powyższej parametryzacji,

Definicja

Niech S - powierzchnia regularna

, gdzie
- płat gładki, i=1,…,n.

Wtedy definiujemy

.

Interpretacja geometryczna i fizyczna całki powierzchniowej niezorientowanej

1. 
   - pole płata powierzchniowego S.

2. 
   - gęstość powierzchniowa masy płata S
   
   - masa płata S.

Przykład

Obliczyć
, gdzie

S jest częścią parabolidy

wyciętej walcem
.

Na podstawie twierdzenia 3 o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną

zatem

Przykład *

Obliczyć
, gdzie
,
,
.

Ponieważ S jest półsferą, więc wygodnie jest wykorzystać współrzędne sferyczne do uzyskania parametryzacji sfery,

S:
, gdzie
,
.

Zatem

Stąd wyznaczamy wektor normalny odpowiadający powyższej parametryzacji

oraz jego długość
.

Stosując twierdzenie 4 obliczamy

Całka powierzchniowa zorientowana

(całka powierzchniowa funkcji wektorowej)

Niech S - gładki płat powierzchniowy.

Płat orientujemy czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią
. W każdym punkcie płata zorientowanego prowadzimy wektor normalny
o zwrocie od strony ujemnej do dodatniej.

Orientacja płata S wyznacza jednoznacznie orientację krzywej
.

Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegając krzywą K zgodnie ze wzrostem parametru wektor normalny mamy po stronie lewej.

Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną dodatnią; a wewnętrzna - ujemną.

Niech
- wersor normalny do płata S. Ponieważ
, więc wersor normalny zadany jest wzorem

,

gdzie
są kątami między wektorem
a dodatnimi półosiami
.

Niech
- pole wektorowe określone na płacie S,

,

oraz niech

.

W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny

.

Wartość tego iloczynu jest długością rzutu wektora
na prostą normalną, bo

.

Ponieważ

całka powierzchniowa niezorientowana

Definicja

Całkę powierzchniową niezorientowaną funkcji
, czyli

nazywamy całką powierzchniową zorientowaną funkcji wektorowej
na płacie zorientowanym S i oznaczamy symbolem

.

Uwaga

Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to

czyli

.

Niech S - powierzchnia regularna, tzn. powierzchnia która jest sumą płatów gładkich
.

Uwaga

Istnieją powierzchnie jednostronne (np. wstęga Möbiusa)

Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.

Definicja

Niech
powierzchnia regularna dwustronna,
, gdzie
płat gładki dla
.

Wtedy definiujemy

.

Uwaga

bo

Twierdzenie 1

Niech
płat powierzchniowy zorientowany,

,

.

Wtedy
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

,

całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

.

Dowód

Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej
, więc wektor normalny jest postaci

lub
.

Niech

Wtedy
oraz

Zatem

Dowodzimy analogicznie.

Twierdzenie 2

Niech
płat powierzchniowy zorientowany,

,

.

Wtedy
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

,

całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

.

Twierdzenie 3

Niech
płat powierzchniowy zorientowany,

,

.

Wtedy
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

,

całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

.

Przykład

Obliczyć całkę
po zewnętrznej stronie powierzchni

.

Rozłóżmy całkę I na sumę trzech całek
, gdzie

,

,

i dla każdej z całek
skorzystajmy z Twierdzenia k , gdzie
.

Ponieważ powierzchnia S jest płatem powierzchniowym zadanym równaniem

, gdzie

zatem

- bo rzut powierzchni S jest krzywą
(a nie obszarem).

Rzutujemy S na płaszczyznę
. Rzut
powstaje zatem

z rzutowania zarówno części
powierzchni S dla której
oraz z części
dla której
.

Rozłóżmy zatem S na sumę
, gdzie

oraz

.

Stąd

Z
,
,
otrzymujemy
.

Przykład

Obliczyć całkę

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery

I sposób.

Oczywiście

Wystarczy więc obliczyć tylko jedną z tych całek, np.
Sferę S rozbijamy na dwie półsfery: górną (względem płaszczyzny OXY)
i dolną
; a następnie korzystamy z twierdzenia.

II sposób.

Tym razem skorzystamy z definicji całki powierzchniowej zorientowanej, a następnie z twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną.

Sfera S ma następującą parametryzację:

, gdzie

i wtedy wektor normalny jest postaci

dla

gdzie

Stąd

Twierdzenie

Jeśli płat powierzchniowy S zadany jest równaniami parametrycznymi

, gdzie
,

oraz

,

to

.

Dowód

Twierdzenie (Stokesa)

Jeżeli
, gdzie S jest dwustronną

powierzchnią gładką ograniczoną krzywą regularną przestrzenną zamkniętą K,

oraz

orientacja powierzchni S jest zgodna z orientacją krzywej
,

to

Uwaga

Jeśli powierzchnia S jest płaskim obszarem w płaszczyźnie OXY, to
, i z twierdzenia Stokesa otrzymujemy twierdzenie Greena.

Twierdzenie (Gaussa - Ostrogradskiego)

Jeśli S - powierzchnia zamknięta ograniczająca obszar przestrzenny V

oraz

pole wektorowe
,

to

.

4

8

1

10