WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY
LIGA ZADANIOWA
etap 8 - odpowiedzi
Klasy I
8. W drugiej połowie wieku BD naszej ery był rok ABCD. Jaki był to rok, jeśli wiadomo, że był to najwcześniejszy rok o tej własności
Odp.
Ze słów „W drugiej połowie wieku BD naszej ery był rok ABCD” wynika, że:
,
, a
. Zatem
. Jedynym rozwiązaniem równania
w zbiorze liczb naturalnych jest
i
.
Czyli był to rok 11C2. Wiadomo, że był to najwcześniejszy rok o tej własności. Zatem był to rok 1152.
Odp. 1152
Klasy II
8. Marek i Radek podzielili między siebie całą zawartość torby z cukierkami. Liczba cukierków Marka była liczbą parzystą, zaś Radka liczbą nieparzystą. Iloczyn piątej części liczby cukierków Marka i czwartej części liczby cukierków Radka był równy sumie czwartej części liczby cukierków Marka i piątej części liczby cukierków Radka. Ile cukierków było w tej torbie przed podziałem?
Odp.
Oznaczmy przez:
- ilość cukierków Marka,
- ilość cukierków Radka.
Liczba cukierków Marka była liczbą parzystą:
, gdzie
.
Liczba cukierków Radka była liczbą nieparzystą:
, gdzie
.
Iloczyn piątej części liczby cukierków Marka i czwartej części liczby cukierków Radka był równy sumie czwartej części liczby cukierków Marka i piątej części liczby cukierków Radka. Zatem:
.
Liczba
, stąd
jest dzielnikiem 5. Więc
. Zatem
. Odrzucając rozwiązanie ujemne otrzymujemy:
.
Jeśli
, to
. Sprzeczność
, to
,
,
, a
.
, to
,
,
, a
.
Odp. 21
Klasy III
8. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, że
.
Kąty ASB i DSC są jednakowej miary (kąty wierzchołkowe).
Kąty SAB i DCS są jednakowej miary (kąty naprzemianległe).
Z kryterium kąt - kąt wynika, że trójkąt ASB jest podobny do trójkąta CSD.
W wielokątach podobnych boki są proporcjonalne, stąd:
Co należało udowodnić
Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa
D
C
B
A
S