WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 8 - odpowiedzi

Klasy I

8. W drugiej połowie wieku BD naszej ery był rok ABCD. Jaki był to rok, jeśli wiadomo, że był to najwcześniejszy rok o tej własności

Odp.

Ze słów „W drugiej połowie wieku BD naszej ery był rok ABCD” wynika, że:

,
, a
. Zatem




. Jedynym rozwiązaniem równania
w zbiorze liczb naturalnych jest
i
.

Czyli był to rok 11C2. Wiadomo, że był to najwcześniejszy rok o tej własności. Zatem był to rok 1152.

Odp. 1152

Klasy II

8. Marek i Radek podzielili między siebie całą zawartość torby z cukierkami. Liczba cukierków Marka była liczbą parzystą, zaś Radka liczbą nieparzystą. Iloczyn piątej części liczby cukierków Marka i czwartej części liczby cukierków Radka był równy sumie czwartej części liczby cukierków Marka i piątej części liczby cukierków Radka. Ile cukierków było w tej torbie przed podziałem?

Odp.

Oznaczmy przez:
- ilość cukierków Marka,
- ilość cukierków Radka.

Liczba cukierków Marka była liczbą parzystą:
, gdzie
.

Liczba cukierków Radka była liczbą nieparzystą:
, gdzie
.

Iloczyn piątej części liczby cukierków Marka i czwartej części liczby cukierków Radka był równy sumie czwartej części liczby cukierków Marka i piątej części liczby cukierków Radka. Zatem:

.

Liczba
, stąd
jest dzielnikiem 5. Więc
. Zatem
. Odrzucając rozwiązanie ujemne otrzymujemy:
.

Jeśli
, to
. Sprzeczność

, to
,
,
, a
.

, to
,
,
, a
.

Odp. 21

Klasy III

8. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, że
.

Kąty ASB i DSC są jednakowej miary (kąty wierzchołkowe).

Kąty SAB i DCS są jednakowej miary (kąty naprzemianległe).

Z kryterium kąt - kąt wynika, że trójkąt ASB jest podobny do trójkąta CSD.

W wielokątach podobnych boki są proporcjonalne, stąd:

Co należało udowodnić

Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa

D

C

B

A

S