Liga zadaniowa 8 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa


WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 8 - odpowiedzi

Klasy I

8. W drugiej połowie wieku BD naszej ery był rok ABCD. Jaki był to rok, jeśli wiadomo, że był to najwcześniejszy rok o tej własności

Odp.

Ze słów „W drugiej połowie wieku BD naszej ery był rok ABCD” wynika, że:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. Jedynym rozwiązaniem równania 0x01 graphic
w zbiorze liczb naturalnych jest 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Czyli był to rok 11C2. Wiadomo, że był to najwcześniejszy rok o tej własności. Zatem był to rok 1152.

Odp. 1152

Klasy II

8. Marek i Radek podzielili między siebie całą zawartość torby z cukierkami. Liczba cukierków Marka była liczbą parzystą, zaś Radka liczbą nieparzystą. Iloczyn piątej części liczby cukierków Marka i czwartej części liczby cukierków Radka był równy sumie czwartej części liczby cukierków Marka i piątej części liczby cukierków Radka. Ile cukierków było w tej torbie przed podziałem?

Odp.

Oznaczmy przez: 0x01 graphic
- ilość cukierków Marka, 0x01 graphic
- ilość cukierków Radka.

Liczba cukierków Marka była liczbą parzystą: 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Liczba cukierków Radka była liczbą nieparzystą: 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Iloczyn piątej części liczby cukierków Marka i czwartej części liczby cukierków Radka był równy sumie czwartej części liczby cukierków Marka i piątej części liczby cukierków Radka. Zatem:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Liczba 0x01 graphic
, stąd 0x01 graphic
jest dzielnikiem 5. Więc 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
. Odrzucając rozwiązanie ujemne otrzymujemy: 0x01 graphic
.

Jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. Sprzeczność

0x01 graphic
, to 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, to 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
.

Odp. 21

Klasy III

8. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, że 0x01 graphic
.

0x08 graphic
0x01 graphic

Kąty ASB i DSC są jednakowej miary (kąty wierzchołkowe).

Kąty SAB i DCS są jednakowej miary (kąty naprzemianległe).

Z kryterium kąt - kąt wynika, że trójkąt ASB jest podobny do trójkąta CSD.

W wielokątach podobnych boki są proporcjonalne, stąd:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Co należało udowodnić

Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa

D

C

B

A

S



Wyszukiwarka