1. Część teoretyczna.

Do wyznaczania modułu sztywności stosuje się metodę dynamiczną dla cienkich drutów i prętów. W metodzie dynamicznej badany drut jest przymocowany jest górnym końcem do nieruchomego uchwytu, zaś na dolnym końcu zawieszony jest wibrator. Wibrator składa się z dwóch skrzyżowanych prętów zaopatrzonych w kołki umożliwiające nakładanie dodatkowych obciążeń. Gdy wibratora zostanie skręcony o pewien kąt, w drucie wystąpi moment sił sprężystości, starający się przywrócić równowagę. Zwolniony wibrator będzie wykonywał ruch drgający.

2. Rysunek do ćwiczenia.

3. Tabela pomiarowa.

Lp.	Pomiar 1	Pomiar 2	Pomiar 3	Wartość średnia
l =	0,9 m	0,9 m	0,9 m	0,9 m
2r =	0,00025 m	0,00025 m	0,00025 m	0,00025 m
T =	11,4 s	10,5 s	11,0 s	11,0 s
2R =	0,1 m	0,1 m	0,1 m	0,1 m
m. =	0,213 kg	0,213 kg	0,213 kg	0,213 kg
d1 =	0,0175 m	0,0175 m	0,0175 m.	0,0175 m
d2 =	0,0078 m	0,0078 m	0,0078 m	0,0078 m
T1 =	21,5 s	21,2 s	21,6 s	21,5 s
T2 =	14,0 s	13,9 s	14,2 s	14,0 s
G =	---	0,000627	0,0016483	---
I =	---	0,000069237	0,00006250139	---

4. Obliczenia.

a). Obliczenia wartości.

Dane:

l = 900 mm = 0,9 m.

r = 0,125 mm czyli 2r = 0,25 mm = 0,00025 m.

T = 11,0 s

T₁ = 21,5 s

T₂ = 14,0 s

Obliczam moment bezwładności dla poszczególnych pomiarów.

I₁ = 0,213 ⋅ (0,0175)² = 0,00006523125 kg/m²

I₂ = 0,213 ⋅ (0,0078)² = 0,00001295892 kg/m²

Obliczam moduł skręcenia wg wzoru: G₁ =

G₁ =
=
= 0,000069237

G₁ = 0,000069237

G₂ =

G₂ =
= 0,0000625013895168

G₂ = 0,0000625013895168

b). Obliczenie błędów pomiarowych.

Do błędów pomiarowych możemy zaliczyć niedokładność sekundomierza, jak

i również inne naturalne warunki (np. wilgotność, temperatura) niesprzyjające podczas przeprowadzania doświadczenia.

Błędy pomiarowe mogące występować w ćwiczeniu

W naszym ćwiczeniu mogło występować kilka błędów pomiarowych. Można do nich zaliczyć:

• Błędy związane z niedokładnością wagi

• Błędy związane z niedokładnością suwmiarki (linijki)

• Błędy związane z niedokładnością stopera

Wyliczenia błędów pomiarowych :

∆M = ± 0,001

∆Rc = ± 0,001 [m]

∆Rw = ± 0,001 [m]

∆hw = ± 0,001 [m]

∆l = ± 0,01 [m]

∆d = ± 0,001 [m]

∆mw = ± 0,001 [kg]

∆I_c = │∂I_c/∂M│∆M + │∂I_c/∂R_c│∆R_c = R_c²•∆M /2 + R_c•M•∆R_c = 0,015²•0,001/2 + 0,015•0,015•0,001 = 0,000225•0,001/2 + 0,000225•0,001 = 0,000000225/2 + 0,000000225 = = 0,0000001125 + 0,000000225 = ± 0,0000003375 = ± 0,00000034

∆I_w = │∂I_w/∂M│∆M + │∂I_w/∂R_w│∆R_w + │∂I_w/∂h_w│∆h_w = (R_w²/4+ h_w²/12)•∆M +

+ (2R_w•M/4+M• h_w²/12)∆R_w + (2h_w•M/12+M• R_w²/4)∆h_w = (0,02²/4+ 0,015²/12)•0,001 + + (2•0,02•0,015/4+0,015• 0,015²/12) •0,001 + (2•0,015•0,015/12+0,015• 0,02²/4) •0,001 =

= (0,0001 + 0,00001875)•0,001 + (0,00015 + 0,00000028125) •0,001 +

+ (0,0000375 + 0,0000015) •0,001 = 0,00011875•0,001 + 0,00015028125•0,001 +

+ 0,000039•0,001 = 0,00000011875 + 0,00000015028125 + 0,000000039 = ± 0,00000031

∆I_p= │∂I_p/∂M│∆M + │∂I_p/∂l│∆l = (l²/12)• ∆M + (2•l•M/12) • ∆l = (0,19²/12)• 0,001 +

+ (2•0,19•0,015/12) • 0,01 = (0,0361/12) • 0,001 + (0,0057/12) • 0,01 =

= 0,003• 0,001+0,000475• 0,01= 0,000003 + 0,00000475 = ± 0,00000775

∆I_o = ∆I_c + 4∆I_p + 4∆I_w = ± 0,00003258

∆I₁ = │∂I₁/∂I_o│∆I_o + │∂I₁/∂m_w│∆m_w + │∂I₁/∂d₁│∆d = │4m_wd₁²│∆I_o + │Io+4 d1²│∆mw + +│Io+8mwd1│∆d1 = │4•0,147•0,19²│•0,00003258 + │0,0000539375+4•0,19²│•0,001 + +│0,0000539375+8•0,147•0,19│•0,001 = 0,0212268•0,0003258 + 0,144453937•0,001 +

+ 0,223493937•0,001 = 0,00000691569 + 0,00144453937 + 0,00223493937 = ± 0,003686

∆I2 = │∂I2/∂Io│∆Io + │∂I2/∂mw│∆mw + │∂I2/∂d2│∆d = │4mwd2²│∆Io + │Io+4 d2²│∆mw + +│Io+8mwd2│∆d = │4•0,147•0,16²│•0,00003258 + │0,0000539375+4•0,16²│•0,001 + +│0,0000539375+8•0,147•0,16│•0,001 = 0,0150528•0,0003258 + 0,102453937•0,001 +

+ 0,188213937•0,001 = 0,00000493678 + 0,00102453937 + 0,00188213937 = ± 0,002912

∆I3 = │∂I3/∂Io│∆Io + │∂I3/∂mw│∆mw + │∂I3/∂d3│∆d = │4mwd3²│∆Io + │Io+4 d3²│∆mw + +│Io+8mwd4│∆d = │4•0,147•0,1²│•0,00003258 + │0,0000539375+4•0,1²│•0,001 + +│0,0000539375+8•0,147•0,1│•0,001 = 0,00588•0,0003258 + 0,04•0,001 +

+ 0,118•0,001 = 0,000001915704 + 0,00004 + 0,000118 = ± 0,00016

∆I4 = │∂I4/∂Io│∆Io + │∂I4/∂mw│∆mw + │∂I4/∂d4│∆d = │4mwd4²│∆Io + │Io+4 d4²│∆mw + +│Io+8mwd4│∆d = │4•0,147•0,08²│•0,00003258 + │0,0000539375+4•0,08²│•0,001 + +│0,0000539375+8•0,147•0,08│•0,001 = 0,0037632•0,0003258 + 0,025653937•0,001 +

+ 0,094•0,001 = 0,000001226 + 0,000025653937 + 0,000094 = ± 0,000121

∆I5 = │∂I5/∂Io│∆Io + │∂I5/∂mw│∆mw + │∂I5/∂d5│∆d = │4mwd5²│∆Io + │Io+4 d5²│∆mw + +│Io+8mwd5│∆d = │4•0,147•0,04²│•0,00003258 + │0,0000539375+4•0,04²│•0,001 + +│0,0000539375+8•0,147•0,04│•0,001 = 0,0009408•0,0003258 + 0,0064539375•0,001 +

+ 0,047•0,001 = 0,0000003065 + 0,0000064539375 + 0,000047 = ± 0,0000535

∆α1 = │∂α1/∂t│∆t = (4•π•N/2•t)• ∆t = (4•3,14•10/2•23,03) •0,01 = (125,6/46,06)•0,01 =

= 2,727•0,01 = ± 0,02727

∆α2 = │∂α2/∂t│∆t = (4•π•N/2•t)• ∆t = (4•3,14•10/2•21,25) •0,01 = (125,6/42,5)•0,01 =

= 2,955•0,01 = ± 0,02955

∆α3 = │∂α3/∂t│∆t = (4•π•N/2•t)• ∆t = (4•3,14•10/2•13,78) •0,01 = (125,6/27,56)•0,01 =

= 4,557•0,01 = ± 0,04557

∆α4 = │∂α4/∂t│∆t = (4•π•N/2•t)• ∆t = (4•3,14•10/2•12,01) •0,01 = (125,6/24,02)•0,01 =

= 5,229•0,01 = ± 0,05229

∆α5 = │∂α5/∂t│∆t = (4•π•N/2•t)• ∆t = (4•3,14•10/2•10,2) •0,01 = (125,6/20,4)•0,01 =

= 6,157•0,01 = ± 0,06157

∆M1 = │∂M1/∂I1│∆I1 + │∂M1/∂α1│∆α1 = α1•∆I1 + I1•∆α1 = 0,237•0,003686 +

+ 0,0213•0,02727 = 0,000873582 + 0,000580851 = ± 0,00115

∆M2 = │∂M2/∂I2│∆I2 + │∂M2/∂α2│∆α2 = α2•∆I2 + I2•∆α2 = 0,278•0,002912 +

+ 0,0151•0,02955 = 0,000812038 + 0,000446205 = ± 0,00126

∆M3 = │∂M3/∂I3│∆I3 + │∂M3/∂α3│∆α3 = α3•∆I3 + I3•∆α3 = 0,662•0,00016 +

+ 0,00593•0,04557 = 0,00010592 + 0,0002702301 = ± 0,00376

∆M4 = │∂M4/∂I4│∆I4 + │∂M4/∂α4│∆α4 = α4•∆I4 + I4•∆α4 = 0,871•0,000121 +

+ 0,0038•0,05229 = 0,000105391 + 0,000198702 = ± 0,0003

∆M5 = │∂M5/∂I5│∆I5 + │∂M5/∂α5│∆α5 = α5•∆I5 + I5•∆α5 = 1,208•0,0000535 +

+ 0,00099•0,06157 = 0,000064628 + 0,0000609543 = ± 0,000126

5. Regresja.

Wykres zależności między odległością walców W od osi obrotu a czasem spadania ciężarka.

Regresja liniowa

Σ y = 80,27

Σ x = 0,57

Σ xy = 10,5225

(Σ x)² = 0,3249

Σ x² = 0,0797

a = (Σ xy - Σ x Σ y /n) / Σ x² - (Σ x)² / n

b = Σ y - a Σ x / n

y = ax + b

Podstawiając odpowiednie wartości do wyżej wymienionych wzorów otrzymujemy :

a = 93,1875 ~ 93,2

b = 5,430625 ~ 5,4

Czyli prosta posiada równanie :

y = 93,2 x + 5,4

podstawiając za x kolejne wartości otrzymujemy :

Odległość (x)	0	0,04	0,08	0,1	0,16	0,19
Czas (y)	5,4	9,128	12,856	14,72	20,312	23,108

Stąd wynika, że punkt przecięcia z osią Oy = 5,4

5. Wnioski:

Ćwiczenie polegało na zbadaniu parametrów ruchu obrotowego bryły sztywnej. Po przeprowadzeniu pomiarów okazało się, że im bliżej osi obrotu ustawimy walce W, tym mniejszy będzie całkowity moment bezwładności I, a tym samym będzie się zmniejszał moment siły M. Im bliżej osi obrotu ustawimy walce W, tym szybciej ciężarek pokona odcinek 0,5 m. Gdy skręcimy pręt o pewien kąt wystąpi w nim moment sił sprężystości, który będzie starał się przywrócić stan równowagi. Moment sił sprężystości będzie skierowany przeciwnie niż moment działający siły. Moment bezwładności rośnie w miarę oddalania się masy od osi obrotu. Jednocześnie maleje prędkość obrotowa, przez co wzrasta okres.

---