Obliczanie wartości wyrównanych
Jako naczelną zasadę rachunku wyrównawczego przyjęto założenie, że suma kwadratów poprawek jednakowo dokładnych obserwacji jest minimalna
Gdy obserwacje 
nie są równoważne, oraz gdy z góry są określone błędy średnie obserwacji 
warunek minimum jest następujący:
lub 
= min
gdzie wagi 
przyjęto odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich obserwacji tj. 
, a c jest dowolnie przyjętą stałą.
Spostrzeżenia bezpośrednie o jednakowej dokładności
Średnia arytmetyczna
, 
, n - ilość obserwacji
, 
- liczba będąca zwykle wartością minimalną l.
Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia
to nadliczbowa ilość obserwacji
Błąd średni średniej arytmetycznej
Obliczenia kontrolne
Uwaga zwykle pomiary 
przedstawia się w postaci: 
tj. 
. 
odpowiada zwykle pomiarowi o najmniejszej wartości. Takie postępowanie upraszcza prowadzenie obliczeń jest też bliższe koncepcyjnie stosowanym metodą rachunku wyrównawczego.
Spostrzeżenia bezpośrednie o niejednakowej dokładności
Średnia arytmetyczna
,
,
n - ilość obserwacji
lub
,
,
Błąd średni spostrzeżenia o wadze 
to nadliczbowa ilość obserwacji
Błąd średni spostrzeżenia o wadze 
Błąd średni średniej arytmetycznej
Obliczenia kontrolne
Wagi spostrzeżeń mogą być określone na podstawie znanych często błędów średnich spostrzeżeń 
lub, gdy wartości 
uzyskano jako średnie z ilości n spostrzeżeń jednakowo dokładnych, wagi są wprost proporcjonalne do n lub 
.
Tw. Otrębskiego
Średnia arytmetyczna kwadratu błędu średniego obserwacji po wyrównaniu, do kwadratu błędu średniego tej samej obserwacji przed wyrównaniem jest równa stosunkowi ilości obserwacji k niezbędnych do wyznaczenia układu obserwacji do ilości wszystkich n wykonanych obserwacji.
Pomiary podwójne (parami)
Gdy przy pomiarze pewnych wielkości wykonujemy po dwa spostrzeżenia, np. przy podwójnym pomiarze długości boków lub kątów, to mówimy o wyrównaniu par spostrzeżeń.
Rozważmy dwa przypadki pomiarów podwójnych (parami) jednakowo i niejednakowo dokładne. W pierwszym pomiary wykonane są tym samym instrumentem, przez tego samego obserwatora i w jednakowych warunkach, w drugim któryś z wymienionych powyżej warunków nie jest spełniony.
Dla poniższego ciągu pomiarów podwójnych 
można wyznaczyć ciąg odpowiadających im różnic 
tj.:
.
Dysponując ciągiem różnic 
wyznaczamy błąd średni różnicy dwóch pomiarów tej samej wielkości:
.
Zauważmy, że różnice 
traktujemy tutaj jak błędy poszczególnych par pomiarów.
Ponieważ w skład każdej z różnic wchodzą dwa pomiary np. 
, a błąd średni każdego z nich jest równy 
, to zgodnie z prawem przenoszenia błędów błąd różnicy tych pomiarów jest dany zależnością
.
Stąd błąd średni pojedynczego pomiaru określony z pomiarów podwójnych
.
Jeśli pomiary parami są niejednakowo dokładne, to błąd średni różnicy dwóch pomiarów wyrażamy wzorem:
.
Stąd błąd średni typowego spostrzeżenia (o wadze równej jedności) określony z pomiarów podwójnych
.
Przykład
W ciągu poligonowym zamkniętym zmierzono dwukrotnie wszystkie boki (patrz tab.). Wyznaczyć najprawdopodobniejsze długości boków oraz błędy średnie różnicy dwóch pomiarów i pojedynczego pomiaru.
|
Wyniki pomiarów |
Średnia arytmetyczna |
d |
dd |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
150,63 |
150,68 |
150,655 |
-0,05 |
0,0025 |
2 |
155,32 |
155,30 |
155,31 |
+0,02 |
0,0004 |
4 |
158,04 |
158,08 |
158,06 |
-0,04 |
0,0016 |
5 |
151,27 |
151,20 |
151,235 |
+0,07 |
0,0049 |
|
|
|
|
|
Σ 0,0094 |
Ponieważ wszystkie boki są prawie jednakowej długości, to można uznać, że pary pomiarów są jednakowo dokładne.
Błąd średni różnicy dwóch pomiarów:
.
Błąd średni pojedynczego pomiaru:
.
Przykład
Wykonano pomiary parami trzech różnych odcinków (patrz tab.). Wyznaczyć błąd średni różnicy dwóch pomiarów oraz błąd średni typowego spostrzeżenia. Przyjąć, że błąd pomiaru rośnie proporcjonalnie do mierzonej odległości tj., że wagi p tych odległości D są proporcjonalne do odwrotności kwadratów odległości: 
.
Nr boku |
Wyniki pomiarów |
|
|
d |
pd |
pdd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
50,1 |
50,0 |
|
4 |
0,1 |
0,4 |
0,04 |
2 |
75,0 |
75,1 |
|
1,8 |
0,1 |
0,18 |
0,018 |
4 |
100,3 |
100,1 |
|
1 |
0,2 |
0,2 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
Σ 0,098 |
Dla wygody obliczeń wagi wyznaczano stosując wzór 
.
Błąd średni różnicy dwóch pomiarów:
.
Błąd średni typowego spostrzeżenia (o wadze równej jedności):
.
1
Przykład
|
l [m] |
l-l0 [cm] |
v |
vv |
1 |
248,21 |
1 |
+3 |
9 |
2 |
248,23 |
3 |
+1 |
1 |
3 |
248,28 |
8 |
-4 |
16 |
|
|
12 |
0 |
26 |
|
n-1=2 |
[l-l0 ] |
[v] |
[vv] |
l0=248,20 [m], 
.
L =12/3(cm) +248,20 = 248,24[m]
Przykład
|
l [m] |
l=l-l0 [cm] |
p |
p(l-l0 ) |
v |
pv |
pvv |
1 |
356,22 |
2 |
2 |
4 |
+2 |
4 |
8 |
2 |
356,24 |
4 |
3 |
12 |
0 |
0 |
0 |
3 |
356,28 |
8 |
1 |
8 |
-4 |
-4 |
16 |
|
|
12 |
6 |
24 |
|
0 |
24 |
|
n-1=2 |
[l-l0 ] |
|
[p(l-l0)] |
|
[pv] |
[pvv] |
l0=356,20 [m]
L = 356,20 +24/6(cm) = 356,24 [m]
Wyszukiwarka